數列教學中學生學習障礙分析與對策研究

☉江蘇省高郵市第一中學 周桂群

數列是一類特殊的函數，它的特殊性在于定義域發生了變化，于是，它的圖像與性質也發生了相應的變化.然而，在數列教學中，我們發現學生往往看不透這些變化，出現了一些障礙.本文就這個問題展開討論并提出對策.

障礙一、對數列的有關概念認識不到位

對數列的有關概念認識不到位，主要表現在對等差、等比數列的概念及等差中項或等比中項的定義的理解上.比如，對于等差數列來說，忽視常數數列，誤認為an=kn+b（k≠0，n∈N*）才是等差數列的通項形式；而對等比數列則往往忽視公比q≠0 和q=1，缺乏分類討論意識.對于等比中項也是認識模糊，例如，如果問他們，4和9的等比中項是多少，他們會毫不遲疑的回答是±6，而當問他們等比數列{an}中a5與a7的等比中項是多少時，他們也會毫不遲疑的回答是a6，卻不會告訴你是±a6，其根本原因就是沒有真正領會等比中項這個概念的含義.又如：

例1“b2=ac”是“a，b，c 成等比數列”的（ ）.

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件

解析：當a=b=c=0 時，滿足條件b2=ac，但它們不能構成等比數列；當a，b，c 構成等比數列時，有b2=ac.因此“b2=ac”是“a，b，c 成等比數列”的必要不充分條件.所以本題答案選B.

點評：本題是等比數列概念題，考查了等比數列的概念和充分必要條件的判定兩個知識點.而學生出錯的主要原因是對等比數列概念模糊、思考不嚴密，忽略了等比數列定義中的公比q≠0，即等比數列的任一項都是非零值.在這一問題中，還需特別注意b2=ac 與是非等價的.

對策：學生對數列概念認識模糊的主要原因是沒有關注這些概念的內涵與外延，這就要求教師在新授課時“先入為主”，反復強調理解有關概念上的注意點，通過舉反例的方法糾正學生的認識，也可以類比初中數學中的某些概念加深對數列概念的認識.例如，筆者在對等比中項這個概念與初中學的平方根作了相同與相異的類比，學生恍然大悟.

障礙二、對數列的有關運算掌握不夠

在數列問題中，常常出現求數列某一項am、基本量（a1，n，d，q）、通項公式an及前n 項和Sn等計算問題.在計算過程中，整體代換意識薄弱，不能合理運用有關公式進行恒等變形，是學生運算能力不夠的主要表現.例如，用數列的有關公式和性質求解一些基本量的問題時用錯公式或運算錯誤；再如，對等比數列前n項和Sn公式的結構特征認識不透，不能從整體的意識去分析和思考問題等.比如，計算中有時把作為整體，將會使運算更加簡便.

例2等比數列{an}的前n 項和為Sn，且S3+S6=2S9，求公比q.

解析：假設q=1，則S3=3a1，S9=9a1，S6=6a1，所以9a1≠2×9a1.

事實上，因為a1≠0，所以9a1≠2×9a1，因此q≠1.這樣由S3+S6=2S9，可得

又q≠0，所以2q6-q3-1=0，則（2q3+1）（q3-1）=0.

因為q≠1，所以2q3+1=0，解得.

點評：在利用等比數列前n項和公式解決問題時，學生易忽略q=1 的情形，事實上，在等比數列求和時要注意討論公比q=1 和q≠1 兩種情況，此外，當q≠1 時，，有時要把作為整體進行運算.

對策：教師應引導學生熟記等差、等比數列的定義、性質、通項公式、前n 項和公式，利用方程思想列出關于首項與公差（公比）的方程，解出首項與公差（公比）.當然在問題解決中，巧用等差、等比數列的性質可以簡化計算，提高學生的運算能力.

障礙三、對問題的轉化不等價

在數學解題中，常常要運用化歸與轉化思想將問題進行轉化，數列問題也不例外.在數列解題中學生存在的主要問題：一是審題不到位，導致解題中設元不合理；二是轉化意識不強，沒能將已知條件進行恰當的轉化，沒能將非等差數列、非等比數列轉化為等差數列、等比數列加以解決.

例3已知一個等比數列{an}的前四項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數列的公比.

解析：設四個數分別為a，aq，aq2，aq3，則a4q6=，且aq+aq2=.所以（1+q）4=64q2，當q＞0 時，可得q2-6q+1=0，解得；當q＜0 時，可得q2+10q+1=0，解得

點評：在解決這個問題時，學生容易忽略了等比數列的公比可能為負數的情況，問題轉化出現錯誤，將這四個數設為，，aq，aq3，則有解得q=或，故原數列的公比為或.這樣解法錯誤原因在于將這四個數設為，aq，aq3之后，其公比q2＞0，各項一定同號.

對策：在數列教學中，教師應著力培養學生思維的嚴謹性.尤其是對于等比數列，應強調數列中的每一項的前后兩項都是同號的，在求解等比數列問題時，要有檢驗意識.有時為了計算方便，有意識地把各項設成對稱形式，但往往會顧此失彼，要杜絕這種錯誤的發生，事后檢驗不可少.

障礙四、對數列項數的確定不準確

數列是一種特殊的函數，特殊之處在于它的定義域是正整數集或其子集，因此解題中重視項數n 的取值范圍是非常重要的.在這方面，學生除了在解答等差數列、等比數列有關問題時易漏掉n=1 時的情況，還突出表現在以下兩處：一是用錯位相減法求數列前n項和時，考生對中間環節兩式相減后構成等比數列是n 項或n-1項時常出現錯誤；二是數列應用題問題，比如個人儲蓄問題、養老保險問題、分期付款問題等一系列綜合應用問題，將它們轉化為特殊數列時項數也會經常出錯.

例4已知數列{an}的通項公式為an=2n.

（1）若數列{bn}滿足求數列{bn}的通項公式；

解析：（1）bn=2（3n+1）（n∈N*）.（過程略）

則Tn=c1+c2+…+cn=（1·3+2·32+3·33+…+n·3n）+（1+2+3+…+n）.

令Pn=1·3+2·32+3·33+…+n·3n，

則3·Pn=1·32+2·33+3·34+…+（n-1）·3n+n·3n+1.

兩式相減得-2Pn=3+32+33+…+3n-n·3n+1，

即-2Pn=，所以

點評：本題主要考查利用遞推關系式求數列的通項公式和利用錯位相減法對數列求和.而對于這類問題學生容易出錯的有兩處，一是在求數列通項公式時缺乏對數列首項的檢驗意識；二是在利用錯位相減法求和轉化為等比數列后，對這個等比數列的項數的計數有誤.于是，這類問題看似思路明晰，學生卻不能“笑到最后”.

對策：培養學生認真細致踏實的學習習慣，“寧等十分鐘，不搶一秒鐘”，克服解題的急躁心理，同時培養學生的檢驗意識，當錯位相減法求和做完后，利用S2，S3的值對這個結果進行檢驗，確保萬無一失.

當然，學生的學習不是一帆風順的，出現錯誤在所難免.作為教師，在教學中不僅要關注學生的學習誤區，更要研究克服學生思維障礙的對策，只有這樣才能在曲折中不斷提升學生的數學核心素養.