正視錯誤 靜待花開

☉江蘇省栟茶高級中學 叢昌平

教師最大的希望，莫過于讓學生一聽就懂，一學就會.但現實并非如此，教學中不難發現，基于學生的認知水平參差不齊、學習態度與學習習慣也存在著很大差異，只有少部分學生能做到一聽就懂，一學就會，而大部分學生則往往錯誤不斷.“師者，所以傳道受業解惑也”，這些錯誤其實正是教師教學“解惑”的重點與難點.哲學家波普爾說過：“錯誤中往往孕育著比正確更豐富的發現和創造因素.”那么，教師如何正視學生的認知錯誤，并將這些錯誤變成寶貴的教學資源呢？筆者結合多年的高中數學的教學實踐，談幾點做法與體會，供同仁們參考.

一、深究“錯”因，以點帶面

數學是一門嚴謹的科學，容不得一絲錯誤.作為數學教師，不僅要教會學生數學知識，更要教會學生嚴謹治學的科學態度.在日常教學中，教師經常會發現一些似是而非的數學問題，這些問題看似正確，實則錯誤，例如，在立體幾何中，“已知平面α，β，γ，若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β”，由于受平面幾何思維定勢的影響，學生經常會認為這句話是正確的.對于諸如此類的問題，教師應抓住不放，積極引導學生探究錯誤原因，讓學生“誤”中有悟，從而培養其數學思維的批判性和深刻性.

例如，在等比數列教學中，教師經常會教學生設等比數列連續的三項為，a，aq，這樣可以讓后續的計算簡便，然而學生往往只記結論，不會具體問題具體分析.筆者曾經給學生布置了這樣一道數列題：

例1已知一個等比數列{an}前四項之積為，第二、三項的和為，求這個等比數列的公比.

在課上，筆者講了等比數列連續三項的設法，而本題中出現了連續四項.學生受到等比數列連續三項的設法的影響，不假思索地想到了等比數列連續四項的設法，于是出現了如下錯解.

錯解：因為四個數成等比數列，可設其分別為，，解得或q=，故原數列的公比為或.

上述設法，看似合理，計算也簡便，卻是錯誤的，學生一臉蒙圈.于是筆者提醒學生：大家的計算結果中的公比都是正的，請問本題中告訴你這個數列是正數數列嗎？一語點醒夢中人，學生恍然大悟.原來他們只顧了解題簡潔，卻忽視了題意，犯了“顧此失彼”的錯誤.筆者要求學生哪里跌倒就從哪里爬起，請他們馬上糾錯.

正解：設四個數分別為a，aq，aq2，aq3，則，則（1+q）4=64q2.

當q＞0 時，可得q2-6q+1=0，故；

當q＜0 時，可得q2+10q+1=0，故.

糾錯后，筆者要求學生繼續思考如下問題：

問題1：等差數列的連續項數是奇數時，這個數列如何設？等比數列呢？

問題2：等差數列的連續項數是偶數時，這個數列如何設？等比數列呢？

問題3：對于等比數列的項的設法，我們應注意哪些問題？

從本例可以看出，學生認知錯誤往往有深層次的原因，如果教師在教學中忽視這些錯誤，不引導學生深究這些錯誤的原因，學生可能以后碰到類似問題時會“重蹈覆轍”，所以對待這類錯誤，教師不可掉以輕心，應積極引導學生反思錯誤、認識錯誤，并從錯誤中獲得更深刻的認識.

二、借“錯”發揮，拾階而上

失敗是成功之母，成功是無數次失敗的累加，失敗之后往往離成功越來越近.在數學教學中，教師可以針對學生出現的普遍錯誤，探明錯因后加以變式探究，在探究中不僅可以糾正學生的錯誤認識，還可以進一步提高學生對此類問題的認識，培養他們堅韌不拔的學習品質.

例如，在基本不等式的教學中，筆者布置了這樣一道題.

例2若x＞0，y＞0，且x+2y=1，則的最小值為______.

批閱作業的時候，筆者發現班級里幾乎占百分之八十的學生是這樣解的：

三、全民糾“錯”，正本清源

在語文和英語的考試中，經常有改病句的考試題型.而數學中偶爾也會出現改錯練習.筆者以為，在數學教學中，為了增強學生的防范意識，非常有必要讓學生自行建立錯題本，以達到防患于未然的目的.當完成了某個單元的教學任務后，教師可以讓學生自己搜集錯題，整理錯解，并探究錯誤原因，以此來進一步培養學生的批判性思維能力.

例如，在學習了三角函數后，筆者給學生布置了一道別樣的數學練習：請你搜集4～5 道三角函數錯題，并指出錯誤原因和正確解法.經過學生的精心搜集和整理，三角函數“錯解大觀園”令人目不暇接，本文限于篇幅，摘錄一二如下：

1.忽視三角函數的定義域

題1求的最小正周期.

錯解：因為，所以函數的最小正周期T=π.

剖析：由f（x+π）=f（x），當x=0 時，f（0）=0，但f（π）無意義.

所以π 不是f（x）的周期，產生錯誤的原因是沒有考慮函數的定義域.

正解：函數的定義域為{x|x≠2kπ+π 且，k∈Z}.

由f（x+2π）=tan（x+2π）=tanx=f（x），所以T=2π.

2.忽視對參數的討論

題2已知函數的定義域為］，值域為［-5，1］，求函數f（x）的解析式.

錯解：因為，所以.所以

剖析：錯解因默認參數a 為正數而導致“漏解”.

正解：因為，所以.所以

三角函數的教學內容雖然不難，但學生大錯沒有，小錯不斷.讓學生自行找錯糾錯，可以有效地避免這些錯誤，這種無中生“誤”的“糾錯行動”具有開放性與趣味性，深受學生喜愛，同時也培養了他們數學反思的好習慣，對培養他們的數學核心素養大有好處.

曾有一位老教師說過這樣一句話：就怕學生不出錯，這樣你就很難了解學生真正的想法.是啊，學生的錯誤，對于教師來說，就是一筆寶貴的財富，只要教師善待這些錯誤，正視這些錯誤，那么同樣可以靜待花開！F