好的問題總是成堆出現的
——從2019年全國卷Ⅱ第20題談起

☉江蘇省南通中學 李維堅

著名的美籍匈牙利數學家波利亞曾說：“當你找到第一個蘑菇后，要環顧四周，因為它們總是成堆生長的.”

對于2019年全國Ⅱ卷第20題，看似不顯山不露水，其實簡約卻不簡單.

題目已知函數f（x）=lnx-.討論f（x）的單調性，并證明f（x）有且僅有兩個零點.

該問題的載體是近幾年大熱的“取點”問題.正所謂“眾里尋點千百度，那點卻在燈火闌珊處”.“取點”問題在歷年高考、模擬題中頻繁出現，一般利用單調性和零點存在性定理解決.現在有的模擬題考查難度加大，有時需要先放縮再“取點”，有時需要先取含參的點再放縮，令師生求而不得、苦不堪言.前幾年的全國卷均以此作為壓軸題，令人望而生畏.

而今年，本題的“取點”唾手可得.

那么本題中隱藏的玄機又在何處呢？下面筆者談談自己的拙見.

其一，本題函數單調性的判斷不需要導數的知識，高一的學生可通過“分而治之”化歸為基本函數的方法，或者通過單調性定義判斷出來.對比現在很多考題中的函數的構造，為了求導而求導，出現了很多現實生活中根本不可能建模，或者根本不存在的函數，成為了復雜函數的堆砌，完全脫離了數學實際.而本題中的函數，構造簡約，是兩個基本函數：定義域不連續，對數函數和一次分式函數的和，考查的是學生對基本初等函數的認知水平和解決能力，可以說一看就了然于心，這個函數分別在（0，1）、（1，+∞）上是單調增函數.用導數來判斷單調性，真是殺雞焉用牛刀.

其二，很多網上的答案在區間（1，+∞）上取的點是“e”和“e2”，證得f（e）=＜0，f（e2）=＞0，所以根據零點存在性定理知，f（x）在（1，+∞）上有唯一零點.繼而，在區間（0，1）上又取點“”和“”，同理可證得.

那么問題來了，我們常說要解題反思，解題反思包含的一個環節就是“解后反思”.波利亞說：“數學問題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”

解題之后的回顧帶來了對問題進一步的認識.

本題開啟了“取點”的新局面：利用原函數的性質簡化“取點”的個數，達到事半功倍的效果.解決了一個新的問題時，我們應該考慮“相似的問題”、“相近的問題”，好的問題總是成堆出現的，問題促使我們思考，提高我們的數學思維能力.

相似的問題如下，一道調研壓軸題，同樣僅需高一的數學知識就可以解決.

變式：已知函數f（x）=時，是否存在實數x，使得f（-x）=-f（x）？若存在，試確定這樣的實數x的個數；若不存在，請說明理由.

通過對上題的解后反思，我們不難發現，本題函數的單調性一目了然，本題的問題方程f（-x）=-f（x）所蘊含的性質，恰恰幫我們簡化了“取點”的道路.

但本題的求解之路并非簡單地重復全國卷.

思考維度1：直接作差構造函數.當x≥1且x≠2時，令g（x）=f（-x）+f（x）=，易得g（x）在區間（1，2）和區間（2，+∞）上分別是單調減函數.在區間（1，2）上，g（x）≤g（1）=-1-a＜0，不存在滿足條件的x.在區間（2，+∞）上，易得g（3）=，根據單調性考慮取大于2小于3的數，此時將具體的數代入會有解題困難，考慮取含參數的大于2 小于3 的，代入得；若是失效，可嘗試取離2更近的數，比如，或，代入g（x），看成關于a的函數F（a），求其范圍即可.由此可得函數g（x）在區間（2，+∞）上有且只有一個零點x0.而根據此函數的性質f（-x）=-f（x），當x0（x0≠0）滿足此方程時，實數-x0也一定滿足f（-x）=-f（x），即滿足f（-x）=-f（x）的根成對出現，互為相反數.因而，所有滿足f（-x）=-f（x）的實數x的個數為2個.

這種思維方式幾乎與全國卷一脈相承，完美融合了基本函數的單調性、對稱性及零點存在性定理.

思考維度2：對于方程f（-x）=-f（x），更多的人可能條件反射想到的是將分式方程化為整式方程、三次方程，這恰是我們導數應用中的重點，也是我們完全可駕馭的.化歸后再構造函數h（x）=ax3-（2a+1）x2-2x+2，并研究其單調性.下面筆者撇開導數，利用“分而治之”的策略，回歸函數單調性的定義來談談本題的解法.

首先第一次利用“分而治之”，h（x）化為h（x）=ax2（x-2）-x2-2（x-1），易得其在區間［1，2］上函數值恒小于0.下面用定義證明h（x）在（2，+∞）上是單調增函數：任取x1，x2∈（2，+∞），且x1＜x2，則h（x1）-h（x2）=（x1-x2）［（ax12+ax1x2+ax22）-（2a+1）（x1+x2）-2］.

（ax12+ax1x2+ax22）-（2a+1）（x1+x2）-2=ax1（x1-2）+ax2（x2-2）+ax1x2-x1-x2-2.

因而h（x1）-h（x2）＜0.所以h（x）在（2，+∞）上是單調增函數.

易得h（2）＜0，h（3）＞0，由零點存在性定理可知，h（x）在（2，+∞）上有且只有一個零點，以下同思考維度1.

思考維度2雖然在函數的處理策略上與全國卷大相徑庭，但是“分而治之”的思想方法卻是一用到底，這啟發我們在解題時，要沉下心觀察數式的結構特質，事先要有解題規劃，這樣才能明確解題方向，在方向的指引下，不斷尋求問題的突破口.

張奠宙教授曾以賈島的《尋隱者不遇》中一句深刻雋永的“只在此山中，云深不知處”來通感“零點存在性定理”.“零點存在性定理”又是“二分法”的基石，而本文中反復使用的“分而治之”又何嘗不是“二分法”和“化歸”的應用之一呢.

“數學化”地處理問題，不僅在遇到新的數學問題時能以黃楊木般“困于天而能自全于天”的心態解決問題，進而發現一堆好的數學問題，而且也可以在其他領域發現問題，并通過數學建模去解決問題.有了通性通法的指導，面對難題，黃楊舊厄三年閏只是偶然，赤驥非無萬里姿才是常態.