思維故事在學習進階中精彩演繹*
——以“與分段函數有關的取值范圍問題”教學為例

☉江蘇省宜興市丁蜀高級中學 邵 曦

一、問題的提出

高三階段的復習承載著兩大任務：一是知識梳理，形成網絡；二是拓展思維，培養能力.顯然，前者是一輪復習的定位，后者是二輪復習的立意.當前的復習課中，大多數教師階段性目標意識不明確，課堂定位有失偏頗，基本采用“先進行10～15 分鐘知識梳理（以板書或課件的方式），再羅列相關題型進行例題講解”的傳統復習模式.結果往往是教師滔滔不絕，學生昏昏欲睡，學習效果堪憂.細究其因，筆者認為緣于以下三個方面：

首先，高考復習旨在形成條理化、結構化、系統化的認知體系，進而提升分析問題和解決問題的能力.傳統的復習課中“知識梳理”和“例題講解”往往呈現“兩層皮”現象，缺乏前后一致、邏輯連貫的教學樣態，甚至題型內部也缺乏聯系，傳遞的知識是碎片化的，訓練的能力也是低層次的.

其次，從認知心理學的視角分析，學生認知方式的差異影響學習的進程.對于復習課中知識梳理這一環節，很多教師習慣自己歸納然后讓學生完成填空，這樣導致學生機械記憶，被動接受，錯失主動思考和積極參與的觸發點，以至于在新的問題情境中捉襟見肘，無所適從.

最后，傳統的“題型教學”著眼于考試題型，力求“全面撒網”，卻忽視“重點捕魚”，復習未能精準定位，學生也未能有效內化“漁魚之道”，長此以往，不利于學生遷移應用能力的提升.

學習進階理論旨在揭示學習者在學習某一主題過程中認知水平從簡單到復雜、從粗放到精致、從低層次到高層次的演進序列，凸顯思維發展的層次性和階段性.依據理論，以學生已有的知識經驗為認知起點，以有效發展學生的數學核心素養為認知終點，那么在認知起點和認知終點之間搭建助力學生思維逐步演進的“階”是關鍵.如何實施呢？高三二輪復習中，微專題復習課的設計理念完全契合學習進階理論，它聚焦具體的教情、學情、考情，立足切口小、角度新、針對性強的“專題”進行微研究，幫助學生選擇思維進階的最優路徑，鋪設層層遞進的思維支架，建構整體化、系統化、結構化的思維網絡，力求因微而準、因微而細、因微而深、因微而精.筆者以微專題“與分段函數有關的取值范圍問題”教學實踐為例，談談學習進階演繹精彩的思維故事.

二、學習進階視域下的認知分析

1.學生認知起點分析

學生已經學習了一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等基本初等函數模型，以及含“ex、lnx”的超越函數模型，并具有獨立研究這些函數性質的相關經驗.

2.學生認知潛能分析

學生經歷高三一輪復習后，對分段函數的整合功能有了進一步的理解，對處理分段函數問題的解題思想，如分類討論、數形結合、轉化與化歸等，有了進一步的熟悉，對數學問題的提煉、變式、推廣能力有了進一步的提升，但要想系統地探究分段函數的多重性質仍會有一定的困難.

3.學生認知障礙分析

學生對含有參數的分段函數需依據怎樣的標準分類討論往往比較困惑，獨立探究更是困難.他們還不善于利用函數圖像性質探究分段函數有關的取值范圍問題，沒有形成動態思維的自覺性，也沒有習慣等價轉化的思維方式.

4.學生認知差異分析

學生在認知經驗、心理、潛能方面都存在較大的差異.認知基礎薄弱的學生可能只是初步理解分段函數的概念和性質，也只能處理靜態的分段函數問題.認知基礎較好的學生，能熟練利用函數圖像研究相關性質，能用運動的觀點分析問題.一些學有余力的學生，能通過自主整理歸納和拓展訓練反思發現解決分段函數范圍問題的有效策略，具備挑戰較難問題的勇氣和能力.

5.學生認知終點分析

學生借助函數圖像嘗試解決“與單調性有關”、“與零點有關”、“與多元最值有關”等分段函數取值范圍問題，體會數形結合的思想方法，深刻理解分段函數的本質特征；學生經歷質疑、思辯、評價的過程，提高數學交流和表達的能力，感受數學的理性精神；學生通過題組化訓練，形成解決問題的經驗模塊和策略模塊，內化數學思想方法，自育數學核心素養.

三、基于微專題教學的進階策略分析

1.支架題組，思維基點

支架題1已知函數，若函數y=f（x）的最小值為4，則實數a 的取值范圍為______.（答案：［e+4，+∞））

支架題2已知函數f（x）為偶函數，當x≥0 時，f（x）=若函數y=f（x）-m 有四個不同的零點，則實數m 的取值范圍為______.

支架題3已知函數，若m＜n，有f（m）=f（n），則m+3n 的取值范圍為______.（答案：（4，+∞））

思維層級診斷：三個小題成為本課研究內容的先行組織者，抽象出高考中分段函數考查的三類熱點題型：“有關單調性”、“有關零點”、“有關多元最值”，成為后續重點內容的生長點.問題設計立足學生思維的最近發展區，應用已有的知識經驗足以應對自如，處于認知發展的“舒適區”.當然，從方法論層面彰顯了共性的數學思想方法——數形結合，這是核心主線，貫穿后續的學習研究，實現了思維結構從單點聚焦向多點發散的自然過渡.

進階策略分析：首先，以“預習單”的形式讓學生自主解析、獨立探究、發現問題、總結規律；然后，設置“先學留言”版塊，讓學生寫下自己的問題、內心的疑惑及發現的規律等，以期思維留痕；最后，課堂上指派學生代表展示研究成果，同伴點評，教師點撥，形成共識.通過這種板塊化的設計，讓學生的思維從理解模糊、缺乏邏輯向自主聯系、漸變有序演進.

2.核心題組，思維升華

核心題1已知函數若函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞增，則實數a 的取值范圍為______.

變式1：已知函數數列{an}滿足an=f（n），n∈N*，且數列{an}是遞增數列，則實數a 的取值范圍為______.（答案：（2，3））

核心題2已知函數若函數g（x）=｜f（x）｜-3x+b 有三個零點，則實數b 的取值范圍為______.

變式2：已知函數若函數g（x）=f（x）-ax 恰有兩個零點，則實數a 的取值范圍為______.

核心題3已知函數若f（x1）=的取值范圍為______.（答案：（-1，0））

變式3：已知函數若a＜b＜c 且f（a）=f（b）=f（c），則（ab+1）c的取值范圍為______.（答案：（16，64））

思維層級診斷：核心題1 旨在解決“與單調性有關的分段函數問題”，借助函數圖像列出不等式，變式1 注重深化對函數和數列的本質認識，辨析連續性函數與離散型函數的圖像差異，針對易錯點刺激強化；核心題2旨在解決“與零點有關的分段函數問題”，讓學生體驗通過“分離變量或分離函數”簡化作圖，凸顯等價轉化的重要性，變式2 讓學生嘗試不同的轉化方式，學會選擇和優化；核心題3 旨在解決“與多元最值有關的分段函數問題”，立足“降維”思想，將多元問題向一元問題轉化，借助函數圖像，準確找到函數定義域，變式3 通過改變函數方程的結構，加強轉化與化歸的思維.三個核心題是對三個支架題的深化和拓展，訓練學生的模式識別能力，讓學生經歷適度的思維“焦慮區”，在“憤悱”的狀態下實現“自悟”，促進思維結構從多點發散向聯想遷移有序發展；三個變式題針對三個核心題精心設計，幫助學生增強效果、鞏固記憶、熟練技能，讓學生感悟解題思想、逼近數學本質、形成學科素養，進而促進思維的整體化、系統化、結構化.

進階策略分析：以“課堂活動任務單”的形式呈現三道核心題，凸顯復習主題，讓學生先自主作答、獨立思考；通過課堂巡視，收集典型正解和錯解，投影點評，讓當事人談談解題思路和解題困惑，其他同學補充或糾正；對于三個變式題事先不呈現給學生，尋找合適的時機串講，必要時可以引導學生自己編擬問題、合作討論、積淀解題經驗.通過這樣整體的結構化設計，讓學生的思維從多點發散向關聯整合逐步進階.

3.課堂留白，思維拓展

問題1：你能談談這節課我們研究了哪些有關分段函數的熱點問題？

問題2：解決這些問題需要應用哪些思想方法？有沒有類似的解題經歷？

問題3：回憶一下，分段函數取值范圍問題還涉及其他哪些熱點方向？

問題4：請結合本課的研究內容及尚未研究的熱點問題撰寫一篇數學小論文，期待進一步交流.

思維層級診斷：通過以開放性、探究性、任務性立意的問題串，打開學生的思維空間，讓學生從思維的“焦慮區”躍遷至思維的“挑戰區”，認知結構從關聯結構進階為抽象拓展結構，從而使高階思維能力得以有效提高.

進階策略分析：建構問題鏈，導通思維鏈，引導學生用聯系的觀點發現問題、分析問題、解決問題，形成前后一致、邏輯連貫的思維體系，并讓數學小論文成為思維可視化的有效載體，最終促進數學核心素養的長期有效發展.

四、教學啟示

1.“題組化”引領高階思維

高三二輪復習中，以“支架題組化、例題題組化、變式題組化、拓展題組化”組織微專題教學，能精準定位教學目標，有效促進深度學習.微專題“與分段函數有關的取值范圍問題”涉及的題型較多，精選三類典型問題“單調性、零點、多元最值”進行研究，有助于以點帶面，凸顯重點.題組化的組織形式旨在提升學生的思維能力，促進學生的分析問題和解決問題的能力，通過設計一組或多組具有典型代表性的題目作為思維載體，每組中呈現同題多變、同題多解、同題多法、同法多題等變式方法，幫助學生習得有價值的知識和內化可遷移的數學能力和數學思想方法，從而讓高階思維自然生成.

2.主體參與，師生共育

微專題應基于高考的熱點問題和學生的認知基礎立意，教學過程中教師要關注學生的疑點和錯點重點辨析，注重質疑和思辨能力的培養，串講方法，積淀經驗，構建網絡.為了防止出現師生思維落差而造成教與學脫節，可以讓學生自主建構，展示成果，相互點評，辯論糾錯，自擬變式，聯想拓展，撰文反思等，教師通過課堂觀察，及時調整教學環節，建構精準的思維邏輯，與學生思維和諧共振.這樣，師生共育的思維場一定可以實現學生關鍵能力和教師專業素養發展的相互成全.