初中“數學實驗”理論與實踐的價值芻議

☉江蘇省南京師范大學蘇州實驗學校 王 龍

數學實驗是當前初中數學教學中比較熱門的概念之一.一般地，教師在實踐當中的具體操作，重心往往放在實驗的設計，及其對學生建構數學知識的促進作用等方面.筆者認為這樣的理解符合教學經驗，但又稍顯不足.如果想讓數學實驗對學生的數學學習起到持久的促進作用，就需要教師對數學實驗的理論與實踐價值做出持續深入的思考，這樣才能讓數學實驗與數學教學更好地結合，也才能讓學生的數學學習進入新常態.

一、面向學生實際的數學實驗理解

數學實驗是動手、動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具，在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動［1］.在筆者看來，在理解數學實驗的基本表述時，還需要結合學生的實際來進行，下面結合實例說明.

在“探究直角三角形斜邊上的中線與斜邊的關系”的教學中，可以設計數學實驗讓學生先行感知.具體地，可以讓學生用準備好的直角三角形，確定斜邊的中點，并通過折疊將一個銳角頂點與直角頂點重合.

在這樣的實驗過程中，學生的操作對象是用紙剪成的直角三角形，操作的步驟主要是兩步折疊，實驗的要點是保證銳角頂點與直角頂點重合，這是“做”的內容.除了做，還有思考的內容，重點是尋找直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數量關系.

從學生的認知能力與動作技能角度來分析，折疊這種最基本的數學實驗技能，學生是掌握的，在控制兩點重合的時候，一般不會有太大的問題.但需要注意的是，在這里如果教師明確提出了讓學生通過折疊去實現兩點重合，那么學生的操作更多的是一種指令式的操作，思維含量低、技能含量高.從數學實驗設計的角度來看，這只能是直角三角形斜邊中線與斜邊關系構建的基礎.本實驗環節中，更加重要的是，學生在折疊的時候，應當帶著思考進行.最重要的是兩個環節：一是學生在折疊的時候，心里應當想著當我（學生自己）將直角三角形的一個銳角頂點通過折疊與直角頂點重合的時候，這里存在著什么樣的數量關系？（預設的答案是：既然是對折，那就有的關系，同時折疊之后又獲得了中線關系）；二是折疊之后，學生心里應當思考所得到的中線（關鍵是認識到斜邊對折點即為中點）是否為斜邊的一半.最好應當有一種意識，即通過數學實驗得到猜想之后，還有嘗試用數學知識進行證明的意識.

如果學生處于這樣的數學實驗過程中，那就實現了數學實驗的價值.因此可以認定的是：數學實驗應當是建立在學生認知與技能基礎上的動手操作與動腦思考的結合，應當是數學實驗形成的經驗認識與數學思維（尤其是邏輯推理思維）的結合.形成了這樣的理解，有助于教師在設計實驗的時候，抓住實驗本質，從而促進學生更好地建構數學知識.尤其是對初中生而言，這樣的實驗理解，更加能夠引導教師在設計、實施數學實驗的時候，考慮到學生要素，從而能夠讓數學實驗成為課堂的有機組成部分.

二、基于數學實驗特征的數學教學

初中數學教師在理解數學實驗的時候，還應當把握數學實驗的特征.根據權威專家研究，初中數學實驗具有實驗工具兼具直觀性與多樣性、實驗內容兼具趣味性及情境性、實驗過程具有探究性與體驗性等特征［2］.這些特征具體到我們的課堂教學中，可以成為實驗設計與開展的重要依據.

例如，在“探究多邊形的內角和”這一知識的教學中，引導學生聯想在此前數學學習中曾經運用過的“拼角”實驗——將三個角剪下來拼成一個平角，得出三角形的內角和為180°（其實也有學生是通過量角的大小并求和的方式進行的）.考慮到這樣的實驗需要進行轉換，且對于初中生而言，就算拼角之后目測是一個平角，也不能讓他們完全相信這就是平角（這就是初中生的邏輯思維與小學生的形象思維的區別）.因此，我們可以根據數學實驗的特征，去優化實驗.比如，筆者結合后面用平行線知識通過邏輯推理證明內角和為180°的思路，為學生設計了一個“轉角”的實驗.具體做法是：將任意三角形的一邊沿一個頂點向外轉動一個角度，并與該頂點的對邊重新組成一個三角形，這時學生發現除一個角的大小沒有變化之外，另外兩個角的大小都變化了，但和是不變的.然后繼續向外轉，直到該邊與轉動頂點的對邊平行，這時可以理解為一角為0°，另一角剛好與大小不變的角互補.于是通過這樣一個“做”的過程（實際上是作圖、變圖的過程），學生可以初步猜想三角形的內角和是180°.

這樣的實驗過程中，學生雖然沒有具體的折疊、剪切等行為，但通過作圖實現“轉角”這個過程本身，充滿著數學實驗的意蘊：轉角本身思維性極強，有明顯的情境性；轉角基于畫圖，其中的探究性與體驗性不言而喻，學生通過探究（尤其是推理思維）猜想、發現三角形內角和的大小關系，是實驗操作與實驗思考結合的產物.學生在這樣的過程中，不會因為機械的講授而感覺到數學知識的抽象，不會因為被動的聽講而感覺到數學學習過程的無趣.相反，卻會因為自己能夠在數學實驗的過程中，親自動手、自主探究、積極思考、有效猜想而讓數學知識的得出過程變得有趣、有味.顯然，這樣的學習過程更加符合初中學生的認知特點，所建構起來的數學知識在學生的記憶中也更加牢固，在問題解決的過程中需要調用時，也會更加便捷.

于是我們可以認為，初中數學實驗的有效設計，固然要基于數學知識構建的需要去進行，但不能忽視數學實驗本身應有的特征，如果為了知識學習需要而忽視了實驗特征，很多時候數學實驗就只具其形，這是應當極力避免的.

三、數學實驗教學不回避問題分析

從教學實踐的角度來看，在數學實驗運用的過程中，也存在著一些問題.一方面，我們認識到這是不可避免的，另一方面，我們也認為實驗暴露出問題，原本也是數學實驗優化的必由之路.有研究者通過研究、比較發現，當前數學實驗存在思維含金量不高、實驗價值利用率不大、數學本質遷移性不強等問題［3］.

關于思維含金量問題，實際上上面已經有所闡述：過于重視實驗的做而忽視實驗的思考，自然會導致思維含量偏低；在數學公開課或比賽課上，數學實驗不應當成為課堂的點綴，在日常的數學課堂上，數學實驗不應當只成為激發學生數學學習興趣的簡單手段，面向數學知識構建的需要設計數學實驗，才是數學實驗的初衷；數學實驗最好具有一定的系統性，無論是數學實驗的工具選擇，還是數學實驗操作辦法，如果能夠讓學生形成良好的操作直覺、思維直覺，那么數學實驗就能夠真正成為學生構建數學知識的重要輔助，也才能真正融入到學生的數學學習過程中去.

總之，初中數學實驗以現代知識論為導向，以具身認知理論和兒童發展理論為基礎，體現的價值為：促進學生的知情發展，還原教學的完整過程，挖掘隱性課程資源，提升教師的專業水平［4］.在初中數學教學中，教師應當悉心引導學生形成運用數學實驗、利用數學實驗學習數學知識的意識與能力，以發揮數學實驗的應有作用，完善學生的數學學習方法與手段.即使從數學學科核心素養培育的角度來看，數學實驗也能夠更好地給學生提供數學抽象的情境，進而讓學生順利地運用邏輯推理形成數學模型，因此，數學實驗在培育學生核心素養方面，也有著重要的作用.這應當成為我們面向數學實驗進一步的研究重點.