重視初中數(shù)學概念的生成過程
——以“因式分解”的教學為例

☉浙江省東陽市外國語學校 王玲玲

數(shù)學概念是反映數(shù)學數(shù)量關(guān)系與空間形式本質(zhì)屬性的思維方式，是數(shù)學思維的細胞.因此，講清概念，使學生正確地理解概念，對于提高數(shù)學教學質(zhì)量具有重要的意義.

概念的教學應該讓學生在現(xiàn)有知識的基礎上，經(jīng)歷前人所經(jīng)歷過的發(fā)現(xiàn)、認知、升華的過程，充分暴露知識的形成過程，讓全體學生都動手、動口、動腦，一起探索、發(fā)現(xiàn)、歸納，經(jīng)歷這樣的過程所獲得的知識，學生想忘記都難.而對于我們現(xiàn)在的很多概念課，我很想問一下：“過程都上哪兒去了？”

如果想讓學生對概念“過目不忘”，就必須讓學生有經(jīng)歷.“經(jīng)歷”，是課標里用來描述過程的行為動詞之一，是指在特定的教學活動中獲得一些感性認識.它的同義詞還有“體驗”“探究”等.課堂教學猶如一次旅游，教師為導游，對每個學生來說，不論過程怎樣，每一次“經(jīng)歷”都值得擁有，都具有不可替代的價值.

下面，以“因式分解”第一節(jié)課為例，來談談對概念教學的嘗試.因式分解與前面學習的整式乘法有著密切關(guān)系，又是后面學習分式的基礎.因式分解作為一種恒等變形，是初中數(shù)學課程“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，在恒等變形、代數(shù)式的運算、解方程、函數(shù)中有著廣泛的應用.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系，因式分解的變形過程中蘊含著豐富的數(shù)學運算.因式分解是中學數(shù)學中最重要的恒等變形之一，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具.因式分解概念的滲透就顯得很重要.

這節(jié)課主要是“因式分解的概念”及“因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系”，重點就是對這兩者的理解.

一、自己閱讀，尋找關(guān)鍵詞

一般來說，新課導入總要創(chuàng)設一些問題情境，而我們常常為了創(chuàng)設情境而創(chuàng)設，并沒有多大的意義.我當時想了很久，直接采用了下面的方式.

填一填：

m（a+b+c）=_______；（a+b）（a-b）=_______；（a+1）2=_______；（x-3）（2x-5）=________.

師：這組算式是我們學過的什么運算？

生：整式的乘法.

師：我們知道整式的乘法是由整式的積的形式轉(zhuǎn)化成多項式的形式，（PPT播放整式乘法的特點）這組算式是等式.現(xiàn)在我把每個算式左、右互換后得到了以下等式：ma+mb+mc=m（a+b+c），a2-b2=（a+b）（a-b），a2+2a+1=（a+1）2，2x2-11x+15=（x-3）（2x-5）.

師：和前面一組組等式相比，你能發(fā)現(xiàn)這組等式有何特點嗎？

生：把多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.

師：這樣的變形就是我們今天要學習的因式分解.請同學們翻開課本第98頁，讀一讀因式分解的概念，說一說其中哪幾個詞是重點.

生1：多項式.

生2：多項式、幾個整式的積.

師：大家說得都很有道理，通過你的閱讀，你對概念的理解已經(jīng)正確了嗎？下面就來考考你.

設計意圖：我在教學中并沒有直接給出因式分解的概念，也沒有對學生的總結(jié)做任何的評判，而是鼓勵學生自主探索，尋找關(guān)鍵詞.并不僅僅語文需要閱讀，數(shù)學同樣需要閱讀，所以我只是給學生搭建了一個平臺，學生仍然是課堂的主體，這樣能充分調(diào)動學生的學習積極性，使之主動探索、研究，讓學生都參與到課堂活動中，通過學生自我感受，培養(yǎng)學生閱讀、分析、歸納的能力，逐步提高自學能力、獨立思考的能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，逐漸養(yǎng)成良好的個性品質(zhì).

二、暴露解疑，歸納關(guān)鍵詞

考一考：下列代數(shù)式從左到右的變形是因式分解嗎？為什么？

（1）a2+a=a（a+1）；（2）（a+3）（a-3）=a2-9；（3）4x2-4x+1=（2x-1）2；（4）x2-3x+1=x（x-3）+1；（5）x2+1=x（ x+）；（6）24a3b2c=（2a）3（3b）2（4c）；（7）x-4=（-2）（+2）.

學生獨立思考一段時間.

師：請同學們來說一說你覺得判斷過程中存在不確定、有疑問的小題.

生1：第（7）題.

生2：第（5）題和第（6）題.

師：我們一起來看這幾道題.

講解過程中重點講評了學生有問題的幾道題，說明原因.

通過以上環(huán)節(jié)，再一次總結(jié)因式分解的幾個關(guān)鍵詞，加深了對因式分解概念的理解.

設計意圖：學生在獲取新知識的同時，思維是發(fā)散的、多種多樣的，也許某個錯誤的想法，可以更好地拓展學生的思維，鞏固學生的新知識.在學生練習后再給出因式分解的定義，指出關(guān)鍵詞，說明在判斷過程中的幾點溫馨提示，會讓學生對概念的理解更加深刻.

三、再次鞏固，加深理解

師：我們不妨再來幾道題鞏固一下：

判斷下列各式從左到右是否是因式分解.

（1）x2+2x-3=x（x+2）-3；（2）x2-2=（x-）（x+）；（3）（a+b）x=ax+bx；（4）x-1=x（ 1-）.

設計意圖：前面雖然已經(jīng)進行了練習，但是那是在沒有明確說明概念之前的，學生還存在一定的疑惑和模棱兩可.這次的練習是在明確因式分解概念之后，可以考查學生對之前有疑惑的地方是否已經(jīng)完全弄懂，對因式分解概念的理解是否已經(jīng)到位.

四、理解互逆關(guān)系，檢驗因式分解

師：我們學習了因式分解的概念，接下來看看能否將下列多項式進行因式分解.

（1）∵3a（a+4）=3a2+12a，

∴3a2+12a=（ ）（ ）.

（2）∵（a+3）2=a2+6a+9，

∴a2+6a+9=（ ）（ ）.

（3）∵（2-a）（2+a）=4-a2，

∴4-a2=（ ）（ ）.

學生回答.

師：你是根據(jù)什么填空的？

師：我們發(fā)現(xiàn)上面的式子是我們學過的整式乘法，而下面的是今天學的因式分解.想一想，因式分解和整式乘法有什么關(guān)系？

生：互逆關(guān)系.

師：我們知道了兩者之間的關(guān)系，要檢查一個因式分解是否正確，可以通過什么進行檢驗？

生：整式乘法.

例 題：（1）x2y-xy2=xy （x-y）；（2）2x2-1=（2x+1）（2x-1）；（3）x2+2x-8=（x+2）（x-4）；（4）a2+2a+2=（a+2）2.

例題詳解，略.

師：看因式分解是否正確，只要看什么就可以了？

生：只要看整式相乘的積與多項式是否相等就可以了.

設計意圖：適當引導學生，進一步清晰地得出整式乘法和因式分解之間的互逆關(guān)系.再引導學生思考能否利用因式分解與整式乘法是互逆的這一關(guān)系來解決檢驗因式分解是否正確的問題，通過練習，讓學生自己總結(jié)出只要看右邊幾個整式的乘積與左邊的多項式是否相等就可以了.這樣的過程，讓學生在主動學習的過程中掌握了因式分解與整式乘法的互逆關(guān)系，特別是在利用這種互逆關(guān)系解決問題的過程中加深了對互逆的理解.

至此為止，因式分解的概念和與整式乘法的關(guān)系基本講解清楚了.這個教學過程就是讓學生經(jīng)歷從發(fā)現(xiàn)到認知，然后上升到理論并形成統(tǒng)一認識的過程，在接下來的教學，只需要鞏固形成的知識，并且學以致用.這樣一節(jié)課下來，學生只要認真參與，應該就不會忘記了.

一位教育家說過“之所以會忘記，是因為沒有經(jīng)歷過矛盾、沖突和重組”.事實表明，再也沒有比在問題發(fā)生的實際場境——課堂上所引起的矛盾、沖突、質(zhì)疑等對學生各方面的素養(yǎng)有更好的培養(yǎng)途徑了.當堂辨析、質(zhì)疑，不但可以很好地培養(yǎng)學生的思辨能力、口頭表達能力、思考能力，同時教會學生實事求是地對待問題、不回避錯誤、敢于暴露缺點的品質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)學的人文價值.

例如，在本節(jié)課中，對于本節(jié)課的兩個重點內(nèi)容：因式分解概念，因式分解和整式乘法的互逆關(guān)系，通過兩次暴露質(zhì)疑，讓學生首先暴露了錯誤，然后用學生比較容易接受的方式解決掉，相比教師一言堂的教法學生印象會更深刻些吧.

而且在本節(jié)課的教學中，教者把“以生為本”貫徹到底，把課堂“還”給了學生，讓學生來做課堂的主人.由學生關(guān)注學生和審視學生的錯誤，由學生矯正學生的問題，教師只是在關(guān)鍵時候點撥一下，也可以更加激發(fā)學生上課的積極性.

教學有法，教無定法，在數(shù)學概念課堂上如何讓學生有所獲，學有所得，并且“過目不忘”，這應該是我們努力的方向.