2018年全國(guó)卷Ⅰ理科壓軸題命題來(lái)源研究

☉淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 張 昆

一方面，高三數(shù)學(xué)教師對(duì)于某些數(shù)學(xué)高考試題淵源的玩味與深入研究，可以增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在高考解題應(yīng)用中的一系列思維活動(dòng)更為深入的認(rèn)識(shí)，可以幫助數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)中形成更好的教學(xué)技藝，提醒學(xué)生注意高考解題思維活動(dòng)中某些要素（數(shù)學(xué)觀念、解題模型與方法、計(jì)算途徑等）的相似性，從而提高高考復(fù)習(xí)的教學(xué)針對(duì)性與有效性.這里從對(duì)比研究?jī)傻罃?shù)學(xué)高考?jí)狠S題的相似性出發(fā)，期望給予正在進(jìn)行高考數(shù)學(xué)解題復(fù)習(xí)施教的高三數(shù)學(xué)教師與正在應(yīng)考復(fù)習(xí)的高三學(xué)生某些啟示；另一方面，我們也要善意地提醒高考數(shù)學(xué)命題專(zhuān)家，需要其竭盡所能地命制出有價(jià)值的原創(chuàng)題，致使帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)的高三數(shù)學(xué)教師與準(zhǔn)備高考的考生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)沒(méi)有捷徑可循，也沒(méi)有規(guī)律可循，只有通過(guò)不斷地學(xué)習(xí)與思考，增加自己分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，才能在高考中取得好成績(jī).［1］于是，我們從2009年遼寧省高考數(shù)學(xué)理科壓軸題說(shuō)起.

一、從分析2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考理科壓軸題說(shuō)起

為了研究2018年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)卷Ⅰ壓軸題的命題來(lái)源問(wèn)題，我們首先引入并審視遼寧省2009年高考理科數(shù)學(xué)試卷的壓軸題及其解法.

例1（2009年全國(guó)高考遼寧卷·理21·壓軸題）已知

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：若a＜5，則對(duì)任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2，有

對(duì)于第（1）問(wèn)的分析，由于y=lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），從而可知函數(shù)（fx）的定義域?yàn)椋?，+∞），可以借助于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)概念知識(shí)的內(nèi)涵，求其單調(diào)性，從而解決第（1）問(wèn).因的形式特點(diǎn)，由于x∈（0，+∞），所以的正負(fù)性取決于其分子的正負(fù)性，而這個(gè)分子與兩數(shù)差的完全平方公式相似，于是，我們可以獲得一種分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：（ⅰ）當(dāng)a-1=1，即a=2時(shí)，可知，故（fx）在（0，+∞）單調(diào)遞增；（ⅱ）當(dāng)a-1＜1時(shí)，由條件a＞1，故1＜a＜2，則當(dāng)x∈（a-1，1）時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（a-1，1）單調(diào)遞減，在（0，a-1）和（1，+∞）單調(diào)遞增；（ⅲ）若a-1＞1，即a＞2，同理可得f（x）在（1，a-1）單調(diào)遞減，在（0，1）和（a-1，+∞）單調(diào)遞增.

對(duì)于第（2）問(wèn)的分析，筆者為了行文的需要，不妨記條件中的lnx為函數(shù)式①，要求證的為不等式②.

分析一：我們從結(jié)論-1出發(fā)，不妨設(shè)x＞1x2，還是采用分析法，要證明這個(gè)結(jié)論成立，希望證明要討論這個(gè)不等式是否成立，由它的數(shù)式特點(diǎn)，啟發(fā)我們引進(jìn)與利用函數(shù)g（x）=f（x）+x，只要討論這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性就可以達(dá)到幫助我們解決問(wèn)題的目的，由此我們認(rèn)識(shí)到，可以通過(guò)設(shè)函數(shù)nx+x的形式來(lái)解決相關(guān)的問(wèn)題.由于x∈（0，+∞），知g（′x）=x+a-1+1-a≥x由于1＜a＜5，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增.從而當(dāng)x1＞x2＞0時(shí)有g(shù)

分析二：由于所要證明的結(jié)論式②可表示為條件函數(shù)式①圖像上的兩點(diǎn)所構(gòu)成的直線(xiàn)斜率的形式，于是，這個(gè)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為在函數(shù)式①的定義域x∈（0，+∞）內(nèi)，任意兩點(diǎn)所連的直線(xiàn)的斜率都是大于-1.由于連接兩點(diǎn)所構(gòu)成的直線(xiàn)斜率與這個(gè)條件函數(shù)式①的圖像上的某個(gè)點(diǎn)的切.當(dāng)x2＞x1＞0時(shí)，有線(xiàn)的斜率相等（它符合微積分學(xué)中的拉格朗日中值定理的條件），換句話(huà)說(shuō)，必定存在，使成立，且由1＜a＜5，可知正數(shù).由上述的結(jié)果，知，因此，只要證由于1＜a＜5，這個(gè)不等式是成立的，問(wèn)題得以解決.

這里討論這道高考數(shù)學(xué)壓軸題的目的在于，其一，這道高考題具有自身的特點(diǎn)，即它是由高等數(shù)學(xué)“拉格朗日”中值定理演化而來(lái)，由此而給教師提示了解決問(wèn)題的方法；其二，為分析下面的2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題的來(lái)源奠定基礎(chǔ).為此，我們來(lái)審視2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ中的壓軸題.

二、2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題及其解答分析

那么，2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題究竟具有怎樣的內(nèi)容呢？為此，首先引入并審視2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ的壓軸題，然后對(duì)此進(jìn)行解答分析.

例2（2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ·理21·壓軸題）已知函數(shù)

（1）討論（fx）的單調(diào)性；

（2）若（fx）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明

關(guān)于問(wèn)題（1）的分析：首先，已有的解題經(jīng)驗(yàn)提示我們，對(duì)于超越函數(shù)的單調(diào)性求解問(wèn)題需要借助其導(dǎo)函數(shù)（此處涉及一些基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，才能使問(wèn)題得以解決）的性質(zhì)：由函數(shù)式③中的lnx，可知函數(shù)式③的定義域?yàn)椋?，+∞），對(duì)函數(shù)式③進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，知f′（x）=-

其次，在平時(shí)的解題學(xué)習(xí)與反思中我們也認(rèn)識(shí)到函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式⑤中含有參數(shù)，需對(duì)其進(jìn)行分類(lèi)討論，討論的依據(jù)是由于x2＞0，故要判斷函數(shù)式③的單調(diào)性，只需判斷⑤的分子x2-ax+1⑥的正負(fù)性即可.由于代數(shù)式⑥的結(jié)構(gòu)形式類(lèi)似于一個(gè)完全平方公式，如此，可以生成一種關(guān)于判斷代數(shù)式⑤的正負(fù)性討論的標(biāo)準(zhǔn)：（ⅰ）若a≤2，則f′（x）≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)，f′（x）=0，所以f（x）在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減（.ⅱ）若a＞2，此時(shí)，令f′（x）=0，解這個(gè)方程，可得于是，我們知道，當(dāng)x）時(shí)，f（′x）＜0；當(dāng)x）時(shí)，f（′x）＞0.所以（fx）在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間 （）內(nèi)單調(diào)遞增.到此，我們完成了問(wèn)題（1）的解答.

這說(shuō)明在命題時(shí)，命題專(zhuān)家有意識(shí)地設(shè)計(jì)了這種梯級(jí)形式的模式，第一問(wèn)是一些常規(guī)的運(yùn)算問(wèn)題，只是為第二問(wèn)提供啟動(dòng)思維活動(dòng)的基礎(chǔ)，下面的第二問(wèn)的解答，就是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上展開(kāi)的.

關(guān)于問(wèn)題（2）的分析：由（1）所得的解答結(jié)論可知f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)的條件是當(dāng)且僅當(dāng)a＞2.

因?yàn)閒（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，所以由極值點(diǎn)的涵義，可知x1，x2應(yīng)該是一元二次方程x2-ax+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.故由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1·x2=1，此時(shí)，不失一般性，可設(shè)x1＜x2，則易知x2＞1.故我們可以直接計(jì)算不等式④的左邊 的 代 數(shù) 式由要求的結(jié)論不等式④，可知只需證明就達(dá)到目的了，化簡(jiǎn)這個(gè)不等式可知由不等式⑦左端的特點(diǎn)，使我們認(rèn)識(shí)到可以回歸函數(shù)式③，只不過(guò)函數(shù)式③中的x變成了不等式⑦的左端中的x2，而函數(shù)式③中的待定系數(shù)a變成了不等式⑦的左端中的2，由此提示我們可以用函數(shù)的形式來(lái)考察不等式⑦的左邊，于是，設(shè)函數(shù)lnx，由（1）的結(jié)論，知g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減.又g（1）=0，從而當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0.所以.問(wèn)題已經(jīng)解決.

通過(guò)仔細(xì)分析這兩道題所生成的解法，我們得到的啟示是：在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，一定要分一點(diǎn)關(guān)注給過(guò)程，也就是說(shuō)，要探究形成數(shù)學(xué)知識(shí)的思維過(guò)程的一系列環(huán)節(jié)所萌生的歷史，這段思維環(huán)節(jié)的歷史就取決于數(shù)學(xué)意向展開(kāi)的三個(gè)環(huán)節(jié)的交互替換過(guò)程.使數(shù)學(xué)知性發(fā)生的那種內(nèi)在意識(shí)結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程透視在我們面前，給我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中確定教學(xué)目的與選擇教學(xué)手段提供了直觀的基礎(chǔ)，從而使教師的教學(xué)設(shè)計(jì)從探索的盲目性轉(zhuǎn)變?yōu)橛雄E可循的自覺(jué)性.［2］教師在教學(xué)準(zhǔn)備工作中，要特別注意這種探究活動(dòng)形成數(shù)學(xué)方法的過(guò)程.

三、簡(jiǎn)析2018年數(shù)學(xué)高考全國(guó)卷Ⅰ理科壓軸題的來(lái)源

筆者將2009年遼寧省數(shù)學(xué)高考卷理科壓軸題（下文簡(jiǎn)稱(chēng)“遼寧卷壓軸題”）與2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)卷Ⅰ理科壓軸題（下文簡(jiǎn)稱(chēng)“全國(guó)卷壓軸題”）及其解答分析陳述如上，由此我們發(fā)現(xiàn)“全國(guó)卷壓軸題”來(lái)源于2009年的“遼寧卷壓軸題”.簡(jiǎn)析如下：

其一，從命題題面上的題設(shè)條件來(lái)看，“遼寧卷壓軸題”利用了二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)組成了函數(shù)式①，而“全國(guó)卷壓軸題”利用了反比例函數(shù)、正比例函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)組成了函數(shù)式③，因此，這兩道壓軸題在組成元素上雖有區(qū)別，但在決定問(wèn)題本質(zhì)的對(duì)數(shù)函數(shù)的使用上其實(shí)是一致的；所使用的參數(shù)（待定系數(shù)）都是字母a.

其二，從命題題面上要求的結(jié)論來(lái)看，兩道壓軸題的第（1）問(wèn)都是一樣的.從對(duì)于主導(dǎo)性條件（函數(shù)解析式）在第（2）問(wèn)中所附加的條件上看，兩道題的第（2）問(wèn)具有不同點(diǎn)，“遼寧卷壓軸題”是在函數(shù)式①定義域內(nèi)所取的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)x1與x2，而“全國(guó)卷壓軸題”所取的函數(shù)式③定義域內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn)則是固定的，它們是函數(shù)式③的兩個(gè)極值點(diǎn)x1與x2；從兩道壓軸題第（2）問(wèn)的結(jié)論上看，這兩個(gè)不等式的左邊的形式完全一樣，不等式的右邊有所不同，“遼寧省壓軸題”就是一個(gè)具體的數(shù)字-1，而“全國(guó)卷壓軸題”也是一個(gè)具體的數(shù)字a-2，形式上看有一個(gè)字母a，但這個(gè)字母a卻并不是變量，因此，可以說(shuō)這兩個(gè)要求證的結(jié)論式并沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別.

其三，從前述所分析的問(wèn)題解決時(shí)使用的數(shù)學(xué)知識(shí)及其思維活動(dòng)過(guò)程上來(lái)看，關(guān)于第（1）問(wèn)的解答活動(dòng)過(guò)程，兩道壓軸題的解題方法是完全一樣的，由于具體使用的條件要素（函數(shù)）的形式不同、數(shù)據(jù)不同導(dǎo)致了解題時(shí)所采用的方法（分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)）的不同，其實(shí)質(zhì)則是完全一樣的（都是使用了“完全平方公式”來(lái)揭示思路的來(lái)源）；關(guān)于第（2）問(wèn)的解答活動(dòng)過(guò)程，兩題的異同點(diǎn)為：

其一，遼寧卷存在分析一與分析二兩種解法，而全國(guó)卷只有這一種解法.

其二，遼寧卷分析一的解題思路都是從已知出發(fā)的，如此，由于所引入的條件的要素不同，從而決定了解題思路的方法是不一樣的，“遼寧卷壓軸題”采用了引入新函數(shù)式）lnx+x（可以使用分析的手段獲得），并且引入了關(guān)鍵性的知識(shí)點(diǎn)“基本不等式”，進(jìn)而比較簡(jiǎn)潔地解決了問(wèn)題，而“全國(guó)卷壓軸題”因?yàn)樗o定了的條件x1與x2是兩個(gè)具體的極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，不需要像“遼寧卷壓軸題”一樣地引入函數(shù)，只要直接代入解析式進(jìn)行計(jì)算就行了，進(jìn)而得到了結(jié)論不等式⑦，不等式⑦的左端與題設(shè)中的條件函數(shù)式③具有相似性，因此，到此時(shí)可以引入函數(shù)式（其實(shí)是條件函數(shù)式③的具體化，即待定系數(shù)a取2時(shí)的函數(shù)式③），從而使問(wèn)題得以解決.

其三，遼寧卷的分析二，采用的微積分中的拉格朗日中值定理，其屬于高等數(shù)學(xué)知識(shí)，中學(xué)生一般沒(méi)有學(xué)習(xí)并借助于這種經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，因此，從原則上說(shuō)，這種方法考生在考場(chǎng)上是很難用得上的，而全國(guó)卷所給予的條件的兩個(gè)數(shù)x1與x2是固定不變的，不是變量，因此，不可能引入函數(shù)來(lái)加以解決，就更不可能使用拉格朗日中值定理這個(gè)知識(shí)點(diǎn)了，而只能使用這種具體計(jì)算的方法.

總之，這兩道題的題設(shè)條件與第（1）問(wèn)的形式及其解題方法雖形式上有所不同，但實(shí)質(zhì)上是相同的；這兩道題的第（2）問(wèn)形式上相同，但是實(shí)質(zhì)上有著較大的區(qū)別，其區(qū)別的要素在于遼寧卷中的x1與x2是可變量，而全國(guó)卷中的x1與x2卻是具體的不變量，由此決定了在解決第（2）問(wèn)所使用的方法上的巨大差別.雖然如此，我們從形式上依然可以說(shuō)，2018年全國(guó)卷Ⅰ的壓軸題來(lái)源于2009年遼寧卷的壓軸題.

四、簡(jiǎn)要結(jié)語(yǔ)

從這三個(gè)維度的分析中，我們發(fā)現(xiàn)，2018年“全國(guó)卷壓軸題”與2009“遼寧卷壓軸題”在題設(shè)條件、題段結(jié)論兩個(gè)方面雖有具體知識(shí)特點(diǎn)形式上的區(qū)別，但這兩道題的本質(zhì)內(nèi)涵基本上是一致的；兩道題的差別在于，由于變動(dòng)了第（2）問(wèn)的附加條件，致使求解這一問(wèn)的思路產(chǎn)生了差異.因此，我們可以得出這樣的結(jié)論，2018年全國(guó)高考數(shù)學(xué)理科卷Ⅰ的壓軸題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)來(lái)源于2009年遼寧省高考數(shù)學(xué)理科卷壓軸題.透過(guò)這種現(xiàn)象深入其本質(zhì)，一方面，對(duì)于我們高三數(shù)學(xué)教師的復(fù)習(xí)教學(xué)來(lái)說(shuō)，一定具有很好的啟發(fā)性，那就是我們要研究以往的高考真題，盡可能減輕學(xué)生“題海戰(zhàn)術(shù)”的壓力；另一方面，對(duì)于高考數(shù)學(xué)命題專(zhuān)家來(lái)說(shuō)，更需要思之再思，慎之又慎！