基于Floquet理論的深水隔水管參激振動穩定性分析

王文明 郝 逸 范進朝 李皓冉 朱霄霄 顧繼俊

中國石油大學(北京)機械與儲運學院, 北京 102249

0 前言

隔水管是海洋鉆井設備必不可少的裝備,隨著國家深海戰略的提出,隔水管的工作環境也將更加復雜[1-2]。在實際作業過程中,隔水管受到水平方向海洋載荷激勵發生橫向振動,但由于波浪的作用,與隔水管頂部相連的浮體會有周期性升沉,導致隔水管軸向力周期性改變,從而引發參激振動,影響隔水管的使用壽命[3]。

國內外學者對隔水管參激振動問題進行了研究,Park H I等人基于三維有限元方法研究在參數激勵和橫向振動耦合作用下的隔水管振動問題,結果表明組合激勵的響應幅度遠大于橫向激勵響應幅度[4];Lei Song等人利用偽激勵法研究了在海洋載荷作用下的隔水管參激振動頻域響應[5];王宴濱等人利用振型疊加法將隔水管參數振動方程轉化為Mathieu方程,并用攝動法對方程求解,得到隔水管參激振動不穩定區[6];唐友剛等人考慮隔水管頂端動邊界條件,研究在剪切流作用下參激-渦激耦合振動響應,結果表明橫向振動響應頻率存在0.5倍參激亞諧成分[7];李威等人基于DQM方法得到隔水管參激振動穩定圖,研究阻尼和鉆井液流速對系統穩定性的影響,結果表明阻尼越大對系統穩定性越好,流速增加會增加系統失穩的風險[8];張杰等人基于Floquet理論分析了隔水管參激特性,考慮軸向力線性變化,模態出現耦合響應,結果表明模態耦合參數振動的不穩定區顯著增大[9]。

國外學者對隔水管參激振動研究是假設軸向力不變,并且未考慮內部鉆井液的作用,一定程度上簡化了模型,但與實際工程有一定偏差。本文研究浮體升沉幅值和周期對隔水管橫向振動穩定性的影響,假設軸向力線性變化,考慮鉆井液對隔水管的作用力,利用微元法建立隔水管橫向振動控制方程,基于Floquet理論對隔水管參激問題進行研究,得到參激振動穩定圖。選取不同區域的浮體升沉周期T和浮體升沉幅值a,計算隔水管各階模態隨時間的變化趨勢,判斷系統是否穩定。在此基礎上研究阻尼c對系統穩定性的影響,對隔水管設計過程中避免參激共振具有一定參考意義。

1 隔水管力學模型的建立

海洋隔水管系統見圖1,隔水管兩端通過鉸鏈分別連接鉆井船和海底井口,將隔水管簡化為兩端鉸接的梁,隔水管自身受到重力、浮力、頂部張緊力以及內部鉆井液的作用力,隔水管在海洋載荷作用下會產生橫向振動。

使用微元法對隔水管進行受力分析,建立隔水管橫向振動的力學模型,見圖2。取隔水管微元段ds,根據隔水管的受力分析,隔水管單位長度受到軸向力為Frt,彎矩為M,剪力為Frs,浮重為Fw,海洋載荷為Fws和慣性力。

圖1 隔水管系統模型

圖2 隔水管微元受力分析

根據隔水管微元段受力分析,建立隔水管橫向振動控制方程：

(1)

(2)

2 隔水管參激振動穩定性分析

平臺在橫向振動的同時還會隨著海洋載荷進行周期性的升沉運動,平臺周期性升沉運動會導致隔水管軸向力發生周期性變化,而軸向力周期性變換可能會引起對隔水管不利的參激共振。軸向力包含兩部分:一部分由于重力導致的靜態軸力和一部分隨平臺周期性升沉的時變軸力。要分析時變軸力引起的參激振動,首先要提取出隔水管的固有特性。

2.1 隔水管固有頻率提取

(3)

2.2 Mathieu方程建立

建立隔水管的Mathieu方程需要考慮軸向力中的動態軸力[13],假設動態軸力為簡諧形式,那隔水管的軸向力為:

(4)

假設隔水管的穩態振動表達式如下:

(5)

式中:φi(z)是第i階模態;qi(t)是模態坐標函數,m。

考慮軸向力周期性變化,將隔水管穩態振動表達式x(z,t)帶入隔水管橫向振動方程得:

(6)

式(6)與式(3)相減,振型函數具有正交性,因此對兩端乘以φj(z)并積分,并考慮阻尼作用,得到隔水管參數激勵方程:

(7)

方程(7)屬于Mathieu方程,隔水管的固有頻率與參數T和a都在Mathieu方程中,采用Floquet理論[17]通過參數平面T-a來研究系統穩定性非常方便。即若在T與a的某一定值之下,系統的參激振動響應無界,系統發生參激共振。在參數平面T-a上,對應發生參數共振的點的集合所形成的區域叫做參激共振區。

3 算例及影響因素分析

3.1 基于Floquet理論的參激穩定性分析

(8)

令Y(t)=[y1,y2,...,y19,y20]T,式(8)寫成Y′(t)=A(t)Y(t),其中A(t)是一個周期矩陣,自變量為平臺升沉幅值a和平臺升沉周期T,采用Floquet理論研究方程穩定性[18]。

Floquet理論:對于式Y′(t)=A(t)Y(t),有一個形式為Y(t)=P(t)etR的解,其中P(t)是一個2N·2N的矩陣,周期為T,R也是一個2N·2N的常數矩陣。根據Floquet理論,總存在一個常矩陣B,使得Y(t+T)=Y(t)B。因此有B=eTR,通過求解B或R的特征值便可得出系統的穩定性,假設矩陣B的特征值為λi,穩定性判定辦法見表1。假設初始條件Y(0)=I,利用經典四階龍格-庫塔方法即可求解[19]。

表1系統穩定性判定方法

λi是否穩定max(λi)>1不穩定max(λi)=1臨界穩定max(λi)<1穩定

選取隔水管計算參數見表2。

表2算例參數

名稱數值名稱數值隔水管總長/m1 000水深/m1 000隔水管外徑/mm533海水密度/(kg·m-3)1 030隔水管壁厚/mm25.4鉆井液密度/(kg·m-3)800隔水管密度/(kg·m-3)7 850截面慣性矩/mm41.4×108彈性模量/GPa206鉆井液流速/(m·s-1)2頂張力系數1.2阻尼/(N·s-1·m)0.2

利用Floquet理論求得隔水管參激振動不穩定區,見圖3。

圖3中橫坐標為浮體升沉周期T,縱坐標為浮體升沉幅值a,任意周期和幅值代表一組參數激勵,其中黑色區域的參數組合代表為參激不穩定區,白色區域的參數組合代表為參激穩定區。

圖3 隔水管參激振動不穩定區

選取不穩定區參數a=3,T=22.6;臨界穩定區參數a=2.3,T=12.2;穩定區參數a=1,T=7.4。分別求得各區域前十階模態時間歷程曲線,見圖4。

從圖4-a)看出,選擇不穩定區參數組合,當平臺升沉頻率是一階固有頻率的2倍時,一階模態被激發(虛線),隨著時間的增加,時間函數一直無限增長,引發參激共振;從圖4-b)看出,選擇臨界穩定區參數組合,可以看出當給定二階臨界穩定的參數激勵,相應模態被激發(虛線),并一直維持臨界穩定狀態。在阻尼的作用下,其他模態隨著時間推移逐漸降低,但由于模態之間相互耦合,并不會消失;從圖4-c)看出,選擇穩定區參數組合,由于阻尼的存在,隨著時間推移,各階模態最終消失。

3.2 阻尼對隔水管參激穩定性影響

當不考慮阻尼,隔水管參激方程變為式(9),利用同樣的方法對方程降階處理和求解,得到不考慮阻尼的T-a平面,圖5-a)。黑色實線表示無阻尼下臨界穩定曲線,黑色實線以上區域表示不穩定區,黑色實線下方區域表示穩定區。為了方便比較阻尼對參激振動的影響,圖5-a)中紅色虛線為阻尼c=0.2的臨界穩定曲線,可以看出阻尼的存在有效地擴大了隔水管參激穩定區域。

為了分析阻尼大小對穩定區的影響,選取0.2、0.3、0.4、0.5四種阻尼進行計算,得到四種阻尼下的臨界穩定曲線,見圖5-b),可以明顯地看出隨著阻尼的增大隔水管參激穩定區增大。

(9)

表3隔水管前十階振動參數

階數n=1n=2n=3n=4n=5n=6n=7n=8n=9n=10頻率ωn/(rad·s-1)0.140.280.420.570.720.881.051.221.391.57周期/s45.322.4114.8010.988.677.126.015.174.524.00主不穩定區22.6511.207.405.494.333.563.002.592.262.00

a)不穩定區

b)臨界穩定區

c)穩定區

a)有無阻尼的影響

b)不同阻尼的影響

4 結論

1)將隔水管系統簡化為兩段鉸接的梁,采用微元法建立了隔水管橫向振動控制方程,考慮隔水管軸向力周期性變化,利用主坐標變換法得到隔水管系統的Mathieu方程。

3)阻尼的存在使得隔水管參激穩定區域增加,并且阻尼越大,穩定區越大,因此在設計隔水管時增加橫向振動阻尼,在一定程度上可以有效避免參激共振。