加聚合物型減阻劑環(huán)狀流摩阻系數(shù)新顯式方程

李 雷 代曉東,2 郝勇超

1. 中國石油大學(xué)勝利學(xué)院油氣工程學(xué)院, 山東 東營 257000;2. 中國石油大學(xué)國家大學(xué)科技園博士后工作站, 山東 東營 257100

0 前言

專家預(yù)計(jì)，“十三五”末中國長(zhǎng)距離輸送油氣管道總長(zhǎng)度將超過16×104km[1]。在控制成本的前提下,需要滿足一定輸送量的同時(shí)還必須保持一定的輸送壓力。總之,如何實(shí)現(xiàn)管道輸送降本增效的目標(biāo)是一個(gè)難題,而向輸油管道中加入聚合物型減阻劑是解決該問題的有效途徑[2]。摩阻系數(shù)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)決定著其他設(shè)計(jì)參數(shù),比如管路壓降。在石油與天然氣工業(yè)中,普遍存在管內(nèi)氣液兩相流,由于氣體速度較快,一般情況下均形成環(huán)狀流[3]。因此,預(yù)測(cè)加入聚合物型減阻劑環(huán)狀流摩阻系數(shù)具有重要意義。

對(duì)于層流,摩阻系數(shù)是雷諾數(shù)的函數(shù),但是對(duì)于湍流,摩阻系數(shù)是相對(duì)表面粗糙度和雷諾數(shù)的復(fù)合函數(shù)。Blasius H[4]提出了第一個(gè)摩阻系數(shù)關(guān)系式,主要用于光滑管壁數(shù)據(jù)的曲線擬合,該方程的適用范圍為雷諾數(shù)小于1×105。普朗特基于光滑管對(duì)數(shù)速度分布和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推導(dǎo)出了一個(gè)更精確的方程[5],該方程的適用范圍為雷諾數(shù)大于4 000,由于該方程是隱式方程,因此需要進(jìn)行迭代求解。但最新研究表明，普朗特摩阻系數(shù)關(guān)系式的常數(shù)不適合外推至高雷諾數(shù),因此Mckeon B J等人[6]又提出了一個(gè)新式摩阻系數(shù)方程。Nikuradse J[7]對(duì)湍流管流進(jìn)行了詳細(xì)研究,提出了一個(gè)計(jì)算粗糙管壁摩阻系數(shù)的近似方程。許多學(xué)者也提出了多種適用于過渡粗糙區(qū)的公式[8]。自21世紀(jì)以來,針對(duì)摩阻系數(shù)的計(jì)算問題部分學(xué)者引入了隱式函數(shù)[9-10]。例如,針對(duì)計(jì)算管流和槽流中光滑/粗糙壁面湍流摩阻系數(shù),Avci A等人[9]提出了一個(gè)基于對(duì)數(shù)速度分布的顯式方程,并且利用已發(fā)表文章中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定了該模型的常量。Shyam SS等人[11]基于人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法,建立了一個(gè)計(jì)算塑性流體在層流/湍流條件下的摩阻系數(shù)的顯式方法。Taler D[12]提出了最常用的光滑管摩阻系數(shù)的顯式關(guān)系式。

針對(duì)單相流中摩阻系數(shù)的計(jì)算,已經(jīng)積累了大量的研究經(jīng)驗(yàn),但針對(duì)環(huán)狀流摩阻系數(shù)的計(jì)算研究較少[17-19]。本文將通過對(duì)已公布的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行量綱分析和曲線擬合,基于邊界層中對(duì)數(shù)速度分布和冪律分布推導(dǎo)一種適用于環(huán)狀流的新顯式方程。

1 摩阻系數(shù)預(yù)測(cè)模型

1.1 控制方程

在充滿流體的均勻直徑圓管中,流體粘滯效應(yīng)導(dǎo)致的壓力損失與管長(zhǎng)成比例,壓力損失可以通過達(dá)西公式來計(jì)算[20]:

(1)

式中:Δp/L表示單位長(zhǎng)度的壓力損失,Pa/m;ρ表示流體的密度,kg/m3;um表示平均流速,m/s;f表示摩阻系數(shù);D表示管道直徑,m。

摩阻系數(shù)由某些參數(shù)確定,并且不是一個(gè)常量,例如輸油管路的表征參數(shù)(直徑、粗糙高度),流體性質(zhì)(運(yùn)動(dòng)黏度),流體流速。可以將摩阻系數(shù)方程應(yīng)用于不同類型的流動(dòng),包括層流,過渡區(qū),光滑/粗糙管完全湍流和自由表面流。圓管層流摩阻系數(shù)方程為:

(2)

式中:Re為雷諾數(shù)。

加入聚合物型減阻劑，可以減少垂直于壁面方向上氣液兩相流的雷諾剪應(yīng)力和速度脈動(dòng)。對(duì)于不加入和加入聚合物型減阻劑的氣液混合物摩阻系數(shù)fm、 fMD分別見式(3)和式(4):

(3)

(4)

許多學(xué)者提出了兩相流摩阻系數(shù)預(yù)測(cè)公式。例如,Al-Sarkhi[16]提出式(5)：

(5)

式中：Vsg為氣相速度，m/s;Vsl為液相速度，m/s。

本研究的目的是針對(duì)加入聚合物型減阻劑的環(huán)狀流,建立一個(gè)預(yù)測(cè)其摩阻系數(shù)準(zhǔn)確度更高的新型公式。

1.2 數(shù)學(xué)模型

邊界層中的對(duì)數(shù)速度分布和冪律分布是摩阻系數(shù)方程的基礎(chǔ),管內(nèi)典型速度剖面見圖1。

圖1 管內(nèi)典型速度剖面

重疊區(qū)中速度呈對(duì)數(shù)變化,該層稱為對(duì)數(shù)重疊層[11]。

(6)

(7)

式中:y=R-r，K、N為實(shí)驗(yàn)確定的常數(shù)。

假設(shè)式(7)中r=0,最大速度可通過式(8)計(jì)算:

(8)

由于計(jì)算環(huán)狀流的摩阻系數(shù)前需要確定速度分布,因此為了獲得管內(nèi)平均流速,應(yīng)對(duì)式(7)進(jìn)行積分。但由于對(duì)該方程的積分較困難,因此假設(shè)平均流速um是最大速度的一部分,盡管式(8)中針對(duì)各種流動(dòng)的常量取值不同,但是平均速度仍具有相同的格式,因此平均流速可通過式(9)描述:

(9)

針對(duì)加入聚合物型減阻劑的氣液混合物,利用量綱分析確定達(dá)西公式中的摩阻系數(shù)[11]:

(10)

(11)

將式(9)與式(11)聯(lián)立得:

(12)

式(12)適用于2.4×105

(13)

式中:系數(shù)a1、a2和b由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和最小二乘法得到。在該方法中,參數(shù)S由式(14)定義:

(14)

式中:n為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)編號(hào);fMDE為加入聚合物型減阻劑的氣液混合物的實(shí)驗(yàn)?zāi)ψ柘禂?shù)。

最小二乘法中,參數(shù)S對(duì)參數(shù)a1、a2和b分別求導(dǎo)如下:

(15)

(16)

(17)

同時(shí)聯(lián)立式(15)～(17)求解,求得a1、a2和b,a1=1.319×1020、a2=158、b=-6.4,將a1、a2和b代入式(13)得，加入聚合物型減阻劑氣液混合物的計(jì)算摩阻系數(shù)fMDP:

(18)

1.3 模型的驗(yàn)證

不同管徑對(duì)應(yīng)的fMDp與fMDE見圖2。針對(duì)不同直徑的輸油管路,利用式(16)計(jì)算加入聚合物型減阻劑的氣液混合物混合摩阻系數(shù)fMDp,并且基于圖2中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[17]fMDE驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果。此外,引入?yún)?shù)fMD(D0/D)-1與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比,計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合度較好，見圖3。

a)D=0.012 5 m

b)D=0.001 9 m

c)D=0.025 0 m

d)D=0.095 3 m

圖3 fMD(D0/D)-1預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比

2 結(jié)果分析

針對(duì)加入聚合物型減阻劑的氣液混合物,利用Al-Sarkhi(fMDAL)計(jì)算fMDp和摩阻系數(shù),并與fMDE[17]相比較,結(jié)果見圖4。fMDp和fMDE之間的擬合度要好于fMDAL和fMDE。計(jì)算結(jié)果的平均絕對(duì)百分偏差與標(biāo)準(zhǔn)差見表1,同時(shí)也表明了利用式(16)計(jì)算的精度。減阻率DR定義為使用聚合物型減阻劑DRP(fMDp)的摩阻系數(shù)減少值與不使用聚合物型減阻劑DRP(fm)的摩阻系數(shù)之比值:

(19)

式中:fm和fMDp分別利用式(3)與式(18)進(jìn)行計(jì)算。

將與氣體流速和液體流速對(duì)應(yīng)的減阻率變化量分別與圖5～6中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[16]進(jìn)行比較。結(jié)果表明本研究得出的結(jié)果與環(huán)狀流(高Vsg)中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合度較好。

表1基于平均絕對(duì)百分比誤差與標(biāo)準(zhǔn)差對(duì)比fMDp和fMDAL

項(xiàng)目平均絕對(duì)百分比誤差標(biāo)準(zhǔn)差fMDAL0.1030.09fMDp0.0620.089

圖4隨fMDE增大的fMDp與fMDAL的對(duì)比

a)Vsl=0.1 m/s,D=0.012 7 m

b)Vsl=0.4 m/s,D=0.012 7 m

c)Vsl=0.104 m/s,D=0.025 4 m

d)Vsl=0.125 m/s,D=0.025 4 m

圖6 當(dāng)Vsg=38 m/s,D=0.012 7 m時(shí),對(duì)比不同液體流速(Vsl)下的DR估算值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

3 結(jié)論

1)針對(duì)加入聚合物型減阻劑的環(huán)狀流,通過對(duì)已發(fā)布的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)使用量綱分析和曲線擬合,推導(dǎo)了預(yù)測(cè)其摩阻系數(shù)的新顯式方程,該方程基于邊界層的對(duì)數(shù)速度分布和冪律分布,計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比表明兩者的擬合度較好。

2)比較本文計(jì)算結(jié)果和Al-Sarkhi的計(jì)算結(jié)果,可知fMDp和fMDE之間的擬合度要好于fMDAL和fMDE。針對(duì)環(huán)狀流(高流速),將對(duì)應(yīng)于氣體表面流速Vsg的減阻率DR變化量與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較,本文計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)之間的擬合度較好,并且減阻率DR隨著氣體表面流速Vsg的增加而逐漸減小，新顯式方程可用于準(zhǔn)確預(yù)測(cè)環(huán)狀流摩阻系數(shù)，有助于加強(qiáng)對(duì)管道輸送能力的控制。