金屬筒形諧振陀螺的頻率修調技術研究

于得川，齊國華，魏艷勇

(天津航海儀器研究所，天津 300131)

0 引言

金屬筒形諧振陀螺屬于固體波動陀螺的一種，該類陀螺用振動元件代替了傳統機械轉子陀螺的機械轉子，用微幅振動取代了高速旋轉，因而具有精度高、使用壽命長、穩定性好、能耗小、準備時間短、工作溫度范圍大、抗電離輻射能力強、對線性過載不敏感、機械部件結構簡單等突出特點[1-3]。

金屬筒形諧振陀螺的核心敏感部件為諧振子(圖1(a))，其底部貼有壓電陶瓷用于驅動和檢測。該陀螺的工作原理為，壓電電極的逆壓電效應激勵出諧振子的驅動模態(圖1 (b))，陀螺敏感軸角速度的哥氏力效應激勵出與驅動模態振形相差45°的檢測模態(圖1 (c))，壓電電極的壓電效應檢測出諧振子的檢測模態的振幅，最后壓電電極的輸出信號經外圍電路解調，即可解算出敏感軸角速度[4]。

(a) 諧振子 (b) 驅動模態 (c) 檢測模態 圖1 金屬筒形諧振陀螺核心部件及其工作模態Fig.1 The key components and work modes of metal cylindrical resonator gyroscope

理想情況下，由筒形諧振子的對稱性可知，驅動模態與檢測的固有頻率是一致的，進而驅動模態與檢測模態能夠同時達到諧振，使陀螺具有最優性能。然而，由于加工誤差、材料密度、應力分布不均、壓電粘接不對稱等非理想因素，導致諧振子在自由振動狀態下出現2個相互間展成45°的固有軸系，諧振子沿著2個軸振動的固有頻率分別達到極大值和極小值。這2個軸稱為諧振子的剛性軸，極大值極小值的頻率差稱為諧振子的頻率裂解。頻率裂解將嚴重影響陀螺的零偏漂移、靈敏度等性能，過大的頻率裂解甚至導致諧振子難以產生陀螺效應。因此，應進行必要的頻率修調以減小或消除頻率裂解[5-6]。

國外的洛杉磯加州大學[7-8]、斯坦福大學[9]、諾丁漢大學[10,14]以及國內的國防科技大學[1,11]、哈爾濱工業大學[12]、中國科學院電子學研究所[13]等機構，均已對相同原理的旋轉對稱結構的諧振子的頻率修調理論及修調方式有了一定的研究。然而，目前對于該種陀螺的頻率修調技術的研究尚缺乏系統化的修調理論的指導，使得修調過程難以量化。本文針對該金屬筒形諧振陀螺的頻率修調技術，闡述了一套更加系統、直觀的修調理論，并進行了仿真和實驗驗證。由于固有頻率與質量相關，通常諧振子的頻率修調采用添加或者去除質量的方式。因此，本文就質量修調的方式進行理論、仿真和實驗的研究。

1 頻率裂解及修調理論模型

金屬筒形諧振子的最主要振動部分為上端的諧振環，其頻率裂解機理與環形諧振子一致，因此，筒形結構可套用環形諧振子的頻率裂解模型。為了便于論文的表述和理解，這里引入2個概念：擾動模型和修調模型。擾動模型研究的是完美諧振子添加定量擾動能引起多少頻率裂解的情況；修調模型研究的是帶誤差諧振子在何處添加多少擾動能修掉頻率裂解。

1.1 質量擾動模型

現假設一理想無誤差諧振環的質量為M0，諧振頻率為ω0。如圖2所示，在諧振環上添加N個質量點，每個質量點的質量為mi，周向位置為φi，i=1,…,N， 那么質量分布不均勻將導致相差45°的2個振型，低頻和高頻剛性軸周向位置為(ψ1,ψ2)，且

(1)

圖2 添加質量擾動的諧振環Fig.2 Resonance ring with mass perturbation

這里不妨定義剛性軸位置為0～90°的波腹位置，根據諾丁漢大學的模型可知，低頻剛性軸位置滿足：

(2)

其中，α2為徑向振幅與切向振幅的比值。并且頻率極大值ω1與頻率極小值ω2分別為：

(3)

其中，M為添加N個質量點之后的總質量。現定義頻率裂解為極大值頻率與極小值頻率的差值，即頻率裂解大于等于零。根據式(3)可得：

(4)

式(4)左邊又可化為：

(5)

假設添加質量誤差很小，則質量誤差引起的頻率裂解之后的諧振頻率與原有諧振頻率相差很小(對于一般機加工制造的諧振子，修形前的固有頻率與修形后的固有頻率相差小于0.5%)。因此，式(5)可進一步化為：

(6)

那么,將式(6)代入式(4)可得：

(7)

觀察式(7)右邊，暫且令：

(8)

將式(8)代入式(7)可得：

ω1-ω2=acos4ψ1+bsin4ψ1

(9)

由式(2)及式(8)可得：

(10)

綜合式(8)、式(9)與式(10)可得：

(11)

為了進一步描述頻率裂解及剛性軸角度位置，現引入2個參數σc、σs，稱二者為裂解因子，表示帶誤差諧振子頻率裂解的嚴重程度，二者的定義式如下：

σc=(ω1-ω2)cos4ψ1

σs=(ω1-ω2)sin4ψ1

(12)

即裂解因子可以通過測量頻率裂解和剛性軸角度位置估算得到。根據式(11)和式(12)不難發現，頻率裂解及剛性軸位置可用向量表示，(σc,σs)為用坐標表示的頻率裂解向量，即：

(13)

(14)

(15)

式(15)即為頻率裂解的質量擾動模型，顯然質量點向量的和與其引起的頻率裂解向量呈線性關系，即二者方向相反，模的大小為λ倍關系。

1.2 質量修調模型

現考慮一帶誤差諧振子，其初始頻率裂解向量為Δ0ej4ψ01，對應的裂解因子為(σ0c,σ0s)。根據式(15)在諧振環上添加N個質量點進行頻率修調，修調后的頻率裂解可表達為：

(16)

修調后裂解因子所表示的向量為：

(17)

修調后的剛性軸位置滿足的關系式簡化為：

(18)

式(16)、式(17)、 式(18)即為帶誤差的諧振子的質量修調模型。質量修調的目的是尋找合適的質量點及其位置，使得修調后的頻率裂解為零，或者裂解因子全為零，即：

(19)

將這一修調目的式代入式(16)或者式(17)，即可得到修調方程：

(20)

或者：

(21)

通過求解修調方程式(20)或者式(21)，即可求得質量修調的位置，以及需要添加或者去除質量的大小。然而，在上述修調方程中，質量敏感系數λ是一個未知量，需要在修調實驗中進行標定。

對于以上修調模型，考慮一些特殊情況，可推導出一些簡單的結論：

當N=1，即只添加一個大小為m1的質量點進行修調，設其位置為φ1，代入方程式(20)得：

Δ0ej4ψ01-λm1ej4φ1=0

(22)

求解以上方程可得2組解：

(23)

此組解代表添加質量點修調的情況：

(24)

此組解代表去除質量點修調的情況，其中，k=0,1,2,3。顯然這里(4ψ01+2kπ)/4代表的是修調前的修諧振子的4個高頻剛性軸的位置，(4ψ01+(2k+1)π)/4代表的是4個低頻剛性軸的位置。

以上2組解表明，質量修調既可以在高頻振型的4個波腹位置添加質量，也可在低頻振型的4個波腹位置去除質量，如圖3所示。兩種修調方式對頻率裂解的影響是一致的，但對2個極值頻率的影響卻有所不同：添加質量修調，會使高頻振型的頻率減小，使之朝著接近低頻振型的頻率變化，進而達到修調目的；去除質量修調的機理正好與之相反。

2 頻率修調仿真

這里利用ANSYS有限元分析軟件，通過模態分析功能，分別仿真了筒形諧振子的質量擾動模型和質量修調模型。

2.1 質量擾動模型仿真

如前所述，擾動模型研究的是完美諧振子添加定量擾動能夠引起多少頻率裂解的情況。首先在ANSYS中建立了完美無誤差筒形諧振子的有限元模型，如圖4所示。諧振子材料為XX合金，其材料屬性如表1所示。

圖4 筒形諧振子的理想有限元模型Fig.4 Ideal finite element model of cylindrical resonator

表1 金屬諧振子的材料屬性Tab.1 Material properties of metal resonator

通過模態分析可得諧振子的2個工作模態如圖5所示，對應頻率分別為x542.07Hz，x542.09Hz，頻率裂解只有0.02Hz，可忽略不計，認為是理想諧振子。

圖5 筒形諧振子的兩工作模態Fig.5 Two working modes of cylindrical resonator

通過在諧振子唇沿上添加mass21單元模擬質量擾動，單元實常數的正負代表添加或者去除質量。分別在諧振子唇沿的任意角度位置，添加不同的質量點，進行模態分析，得到不同質量點對應的頻率裂解如表2所示。

表2 不同質量點對應的頻率裂解Tab.2 Frequency split corresponding to different mass points

同時，圖6所示為頻率裂解與質量點的關系曲線，不難發現，在固定位置添加質量點引起的頻率裂解與質量成正比，符合擾動模型。比例系數即為式(15)擾動模型中的質量敏感系數λ，在圖6中對應為直線的斜率。根據圖6中直線的斜率，可以算得該結構的諧振子的質量敏感系數為 3.105mg/Hz。

圖6 頻率裂解與質量關系曲線Fig.6 Relationship curve of frequency split and mass

2.2 質量修調模型仿真

同樣，修調模型考慮在帶誤差諧振子上添加質量點進行頻率裂解消除的情況。在以上建立的無誤差模型的基礎上，通過該變諧振子局部單元的密度、楊氏模量使諧振子產生頻率裂解。圖7所示為一個帶誤差諧振子的頻率裂解模型，其頻率裂解大小為10.17Hz，高頻剛性軸位置為76.83°，低頻剛性軸位置為31.83°。

圖7 帶誤差諧振子模態分析結果Fig.7 Modal analysis results with error harmonic oscillator

根據式(23)、式(24)可知，在諧振子唇沿76.83°、166.83°、256.83°、346.83°位置添加質量點，或者在31.83°、121.83°、211.83°、301.83°位置去除質量點(單元實常數為負)均可消除頻率裂解。為保證諧振子的對稱性，同時在4個對稱的位置添加或者去除相同的質量。這里分別仿真了添加和去除不同質量頻率裂解的變化情況，結果如圖8所示。顯然由式(22)可知，在剛性軸的正對位置添加或者去除質量，頻率裂解與質量點大小呈線性關系，圖8的仿真結果驗證了這一結論。

(a) 高頻軸加點修調

(b) 低頻軸去點修調圖8 添加正/負質量點頻率裂解變化曲線Fig.8 Frequency splitting curve after adding positive/negative mass point

根據式(23)以及圖8的仿真結果，最終在諧振子76.83°、166.83°、256.83°、346.83°位置添加3.274mg正質量點，頻率裂解被修調至0.010Hz，在31.83°、121.83°、211.83°、301.83°位置，添加3.275mg負質量點，頻率裂解被修調至0.011Hz。

3 頻率修調實驗

3.1 修調系統

根據恒彈性合金諧振子的特點，搭建了一套電磁激勵、聲場檢測系統來測試諧振子的頻率裂解及剛性軸位置。如圖9所示，整套系統由諧振子及其支承座、微型轉臺、電磁鐵、微麥克風、XY軸位移平臺、頻率響應分析儀、微型臺鉆組成。

采用NF FRA5097頻率響應分析儀進行頻率裂解的測試，測試原理如圖9右邊所示[15]。頻率響應分析儀的OSC通道產生交流信號輸出給INPUT1通道，同時給電磁鐵進行掃頻，電磁鐵產生的交變磁力激勵諧振子產生振動。對于在空氣中振動的諧振子，其聲壓場的分布如圖10所示，顯然振形波腹處對應最高聲壓壓強，在波節點處對應最低聲壓壓強，并且聲壓變化的梯度方向指示了模態振型的方向，因此，采用微麥克風檢測諧振子的振動信號。微麥克風將諧振子的振動轉化為電壓信號，輸入到頻率響應分析儀的INPUT2通道。通過一定頻率范圍的掃頻，頻率響應分析儀根據2個INPUT通道的幅值比實時地進行頻率響應分析，從而能夠得到頻率響應曲線。幅頻特性曲線的最大值點對應的頻率即為諧振頻率。

圖9 頻率修調系統以及模態測試系統原理圖Fig.9 Principle diagram of frequency tunning system and modal test system

圖10 諧振子振動時聲壓分布Fig.10 Sound pressure distribution in the vibration of a resonator

通過轉動轉臺測試不同角度位置的頻率響應曲線，即可判斷出剛性軸位置及頻率裂解大小。對于金屬筒形諧振子，去除質量修調是最簡單方便的修調方式，本實驗采用微型臺鉆在低頻軸對應角度位置輕微地鉆出微槽實現質量的去除。

3.2 修調過程及結果

首先進行諧振子模態測試，當電磁鐵對應諧振子上的激勵位置沒有對準某一剛性軸，而是處于兩軸之間時，兩模態位置均會受到電磁分力，掃頻過程中兩模態會被依次激勵，掃頻結果如圖11(a)所示。通過轉動轉臺調整激勵位置，當頻率響應曲線只有一個峰的時候，對應激勵位置即對準了剛性軸的位置，圖11(b)、(c)所示分別為對準低頻軸和高頻軸的情況，諧振子的頻率裂解為8.72Hz，低頻軸對應轉臺 11°、101°、191°、281°位置。

(a)

(b)

(c)圖11 修調前諧振子掃頻曲線Fig.11 Sweep frequency curve of resonator before tunning

根據仿真結果，該結構的諧振子對應的質量敏感系數為3.105mg/Hz，修掉該諧振子8.72Hz的頻率裂解總共需去除2.8mg質量，平均分配到4個對稱位置上，每個位置需要去除0.7mg質量。本實驗所用微型鉆臺的鉆頭直徑有0.6mm和0.4mm兩種，0.6mm的鉆一次去除量約為0.3mg，對應頻率裂解約1Hz;0.4mm的鉆用于精調，利用鉆尖輕微鉆一下可實現0.01～0.1mg的微量去除，對應頻率裂解約0.03～0.3Hz。

圖12所示為修調后的諧振子，諧振子唇沿上孔的編號對應打孔的順序，每次修調后的頻率變化情況如表3所示。

圖12 諧振子打孔修調順序Fig.12 Tuning sequence of resonator punch

表3 修調過程頻率變化Tab.3 Frequency change of tunning process

表3的結果可按照上文已推導的算法進行修調，頻率裂解得到有效減小，而且減小量近似于去除量，呈線性變化，再次驗證了上述理論的正確性。根據打孔的體積與材料密度以及頻率裂解的變化，估算該諧振子的實際質量敏感系數約為2.5mg/Hz,小于仿真結果(3.105mg/Hz),這是由于較深的孔降低了諧振對應位置的剛度。

4 結論

1)根據環形結構質量擾動模型，推導了修調質量點與頻率裂解更加直觀的向量形式，即頻率裂解可表示為一向量，消除裂解向量的最佳方式即在其反向添加質量或者正向去除質量，構造負向量與其抵消。

2)針對金屬筒形諧振結構，通過仿真與實驗驗證了這一理論，在高頻剛性軸添加質量或者在低頻剛性軸去除質量均可達到頻率修調的目的，進而達到改善陀螺性能的目的。