微積分在概率論中的應用

王煥男

摘 要：微積分和概率論同是高等數學中的重要學科，也都屬于理工類和經管類各專業的一門必修公共基礎課。微積分作為理論基礎，能夠為學生打下良好基礎，同時也是數學課程的重要工具。概率論是微積分學習的一項延續，通常大學課程都是先開設微積分課程，在此基礎上再開設概率論，因此，在微積分和概率論這兩門課程的學習上始終是被關注的重點，文章將從幾個方面闡述微積分在概率論中的應用，并舉例說明，以供參考。

關鍵詞：微積分；概率論；應用

中圖分類號：O172 文獻標志碼：A 文章編號：2095-2945（2019）02-0176-04

Abstract： Calculus and probability theory are both important subjects in higher mathematics， and they also belong to a compulsory basic course of science and technology and economic management. Calculus as a theoretical basis can lay a good foundation for students， but also is an important tool in the mathematics curriculum. Probability theory is a continuation of calculus learning. Usually， college courses begin with calculus courses， and then on this basis， the study of calculus and probability theory is always the focus of attention. This paper expounds the application of calculus in probability theory from several aspects， and illustrates it with examples for reference.

Keywords： calculus； probability theory； application

在實際應用過程中，微積分不僅在天文、力學、化學、生物、工程學、經濟學等自然學科中，在社會學和科學等各個分支的學科中都廣泛的應用。作為客觀世界的事物，小到粒子、大到宇宙，無時無刻不在變化著，在這變化的過程中引入變量概念，就可以用現象來描述數學了，在對于函數的概念和運用上也能夠再次加深，同時科技的發展也需要數學分支來進行幾何生產，這也就是對微積分這門課程的認識。

概率論中有兩類重要的函數：分布函數、概率密度函數。微積分在這兩類函數中有重要的應用。下面首先給出微積分的一些相關知識點，再介紹微積分在一維隨機變量的分布函數、密度函數及其數字特征中的應用。微積分在多維隨機變量及其分布中的應用類似于一維隨機變量，比如聯合分布函數、邊緣分布函數、聯合概率密度、邊緣概率密度、條件概率密度，就是由原來的一元函數變成多元函數，由原來的定積分變成二重積分，這里不再闡述。

1 預備知識

1.1 常量與變量

我們在觀察某一現象的變化過程中，常會遇到許多不同的量，其中有些量在過程中不變化，始終保持一定的數值，我們稱這種量為常量，常用a，b，c等符號表示；而有些量在過程中是變化的，即可以取不同的數值，我們稱這種量為變量，常用x，y，z等符號表示.

2 集合在隨機事件間的關系及運算中的應用

概率論是研究隨機現象及其統計規律性的一門數學學科；隨機現象是通過隨機試驗來研究的；一個隨機試驗E的所有可能結果組成的集合稱為樣本空間；樣本空間中的元素，即每個可能結果稱為樣本點；隨機試驗E的樣本空間的子集（隨機試驗可能出現的結果）稱為E的隨機事件，簡稱事件。通常以大寫英文字母A，B，C來表示事件；僅含一個樣本點的事件稱為基本事件；在每次試驗中必然會發生的事件稱為必然事件，它包含樣本空間中所有的樣本點；不包含任何樣本點的事件，即在每次試驗中都不會發生的事件稱為不可能事件。

樣本空間的引入使得我們能用集合這一數學工具來描述隨機事件。這樣一來，試驗E的任何一個事件都是其樣本空間的一個子集，可以通過集合的運算實現事件之間的運算，為概率的計算奠定了基礎。當將事件看作集合時，隨機事件間的關系和運算與集合中對應的關系和運算完全一致（如下表）。

3 微積分在分布函數中的應用

為了描述隨機變量的概率分布，我們引進了分布函數的概念。分布函數是隨機變量最重要的概率特征，分布函數可以完整地描述隨機變量的統計規律，并且決定隨機變量的一切其他概率特征。

6 結束語

利用微積分來解決概率問題，使復雜問題簡單化。在目前經濟全球化的大背景下，對經濟發展規律的研究更加顯得迫切和重要，而數學在這一過程中的作用更加重要。微積分、線性代數、概率論與數理統計是三門重要的基礎課，三者之間有著千絲萬縷的聯系。微積分這門課程的思想和方法是人類文明發展史上的智慧結晶，它不僅提供了解決實際問題的有力數學工具，同時還給學生提供一種思維的訓練，幫助學生提高作為復合型、創造性、應用型人才必需的文化素質和修養。

參考文獻：

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