基于稀疏先驗正則化的圖像盲去模糊

肖 宿

（淮北師范大學計算機科學與技術學院 安徽淮北 235000）

一、引言

圖像盲去模糊（BID，blindimagedeblurring）易受不適定性干擾，會嚴重降低復原圖像的質量。因此，對未知清晰圖像和模糊核應選擇合適的先驗假設，以穩健高效地獲得令人滿意的圖像去模糊結果。在過去幾十年間，基于稀疏先驗的圖像處理研究取得了豐碩的成果，產生了許多具有代表性的方法[1-6]。為充分利用稀疏性，在圖像盲去模糊模型中，常以未知清晰圖像和模糊核或其稀疏變換的lp范數（0≤p≤1或p=2）充當模型罰函數的正則項，以提高圖像盲去模糊的能力。因為l2范數不能嚴格地滿足稀疏條件，新提出的方法很少對未知清晰圖像和模糊核或其稀疏變換施加l2正則化，以防止生成過于平滑的清晰圖像。顯然，考慮到圖像盲去模糊的結果，主流的方法更傾向于使用lp范數正則化（0≤p≤1），比如l0范數正則化和l1范數正則化。雖然，以非凸l0范數作為正則項時，圖像盲復原模型變為NP-hard問題，但l0范數正則化仍然是誘導稀疏性最直接方法，因為它直接計算非零值的數量。作為l0范數的等效松弛，凸l1范數越來越受到歡迎，因為處理l1范數正則化問題很容易獲得其解析解。但只有當最終解足夠稀疏時，l1正則化和l0正則化之間等效性才有效。最近，lp范數正則化（0〈p〈1）引起了越來越多的關注，并在圖像盲去模糊中獲得了更多的應用，因為它有助相應方法復原出自然圖像[7]。盡管當p趨近零時，l0范數可被視為lp范數的極限情況。但相比較而言，lp范數（0〈p〈1）相關的問題更難處理。值得注意的是，絕大多數自然圖像雖然是非稀疏的，但根據稀疏表示理論，可以通過變換（例如，框架波變換）對圖像進行編碼以稀疏地表示它們。因此，lp范數（0≤p≤1，p=2）通常被用于圖像的變換系數而非圖像本身。

在陳繁昌等人[8]建立的全變分盲去模糊（TVBD，total variationblinddeblurring）模型中，l1范數被用于刻畫未知清晰圖像和模糊的梯度稀疏性，以實現稀疏正則化。在快速傅里葉變換域中，使用共軛梯度迭代計算TVBD模型的歐拉-拉格朗日（EL，Euler-Lagrange）方程，以交替估計未知清晰圖像和模糊核。因直接計算EL方程的效率低，因此Li等人[9]建議采用分裂Bregman迭代處理TVBD模型，從而顯著減少了計算開銷。為了改進文獻[8]的工作，Liao等人[10]提出用模糊核的拉普拉斯算子l2范數替換TVBD模型中模糊核的TV-l1范數。因為正則化參數也會影響恢復質量，作者還引入廣義交叉驗證對其自動選擇。受變量分裂（VB，variablesplitting）應用的啟發，文獻[10]采用與之類似的方法處理清晰圖像估計子問題。考慮到自然稀疏性，胡哲等人[11]應用拉普拉斯算子l2范數對模糊核正則化，并利用了圖像的變換稀疏性而非梯度圖像的稀疏性，即清晰圖像首先表示為預定義字典和對應的稀疏的乘積，然后變換系數的l1范數被用作正則項。蔡劍鋒等人[12]也將分裂Bregman迭代應用于清晰圖像重建和模糊核估計。為了保持估計模糊核的連續性和稀疏性，使用框架波系統下未知模糊核稀疏表示的二次l2范數和l1范數對其正則化。其中，l1范數正則化可避免由模糊核估計產生的誤差干擾。當采用分裂Bregman來解決BID問題時，原問題通常分解為更容易子問題加以處理。張海潮等人[13]提出一種聯合方法同時估計模糊核，恢復清晰圖像和面部識別。為了利用稀疏先驗改進BID，使用訓練字典稀疏地表示清晰圖像，并以產生的變換系數的l1范數和未知清晰圖像梯度的lp范數（p=0.5）作為正則項。通過快速傅里葉變換，多尺度估計方法和稀疏投影交替地求解其建立的BID模型。邵文澤等人[14]將混合l1范數和二次l2范數正則化應用于清晰圖像和模糊核以改善BID。通過融合變量分裂和增廣拉格朗日方法，交替迭代地執行清晰圖像重建和模糊核的估計。基于圖像梯度和暗通道稀疏先驗，潘金山等人[15]為未知的清晰圖像提供了一種混合的l0范數正則化，以獲得令人滿意的圖像盲去模糊結果。二次l2范數正則化被用于模糊核，將模糊核估計簡化為可直接求解的最小二乘子問題。為利用稀疏邊緣先驗，Almeida等[16]對清晰圖像梯度和模糊核分別進行lp范數（p=0.4）正則化和l1范數正則化。使用帶連續策略的交替優化過程導出圖像去模糊問題的局部最小解。Amizic等人[17]分別對清晰圖像及其變換系數的二階差分執行lp范數正則化和l1范數正則化，并使用拉普拉斯算子l2范數來正則模糊核[10],[11]。通過優化-最小化（majorization-minimization）和壓縮感知重建方法交替處理子問題以獲得估計的清晰圖像，模糊核和變換系數。

本研究的重點是通過分裂交替最小化（SAM，split alternating minimization），廣義軟閾值（GST，generalized soft-thresholding）函數和快速傅里葉變換等來解決BID問題。為了消除不適定性的不利影響，構造一個新的含稀疏lp范數正則化的BID模型。SAM將所建立的模型解耦為可迭代交替處理的子問題，這些子問題可以通過快速傅里葉變換和GST等有效地計算。在標準測試圖像上進行實驗以評估所提出方法的有效性和性能。

二、本文提出的BID方法

對于圖像退化，BID旨在按照期望由給定的模糊圖像估計清晰圖像和模糊核。設y，k和x分別代表觀察到的模糊圖像，未知模糊核和未知清晰圖像。圖像退化可以表示為

其中，“★”表示卷積運算，n是加性噪聲。從數學的角度看，BID問題屬于求逆問題，亦屬于不適定問題，因此，式(1)通常不存在唯一解。為了求解BID問題一般將其納入正則化框架，以使其適定化，從而BID問題模型可統一表示為

其中，J(x,k)是罰函數；F(x,k)是數據擬合項；第二和第三項是正則項，它們分別代表對清晰圖像和模糊核的先驗約束。在過去十余年中，稀疏先驗在圖像處理領域取得了巨大成功。因此，它們現在被視為許多正則化BID方法的首選。

本研究的重點是解決稀疏先驗正則化BID問題，以有效地重建清晰圖像和估計模糊核。基于式(2)，我們將BID問題建模為其中，數據擬合項懲罰y和k*x之間的距離；和是稀疏性促進正則算子；參數μ1和μ2是大于零的常數；D是變換算子（例如，冗余小波變換）。在由D表示的變換域中，x可以被編碼為稀疏系數，即Dx是稀疏的；||·||p是lp范數，p的取值范圍[0,1]，它有助于消除異常值和微小細節。對于信號z，其lp范數可以寫成

其中，zi表示z的某個元素。直接計算式(3)是行不通的，因為該式的罰函數包含兩個未知的參數和相應的lp范數。為解決這個棘手的問題，建議采用SAM方法，即交替最小化迭代（AMI，alternating minimization iteration）加VB。

SAM將問題(3)等同于下面兩個交替迭代的問題：

其中，Km是第m次迭代中獲得的km形成的模糊算子，并且在估計x時其值固定的；Xm+1是第(m+1)次迭代中獲得的xm+1形成的卷積算子，并且在估計k時其值是固定的。借助AMI，多變量最小化問題(3)被簡化為單變量最小化問題(5)和(6)。為了解決這些問題，SAM使用VB等效地將它們轉換為

其中，u和v是松弛變量。通過引入這兩個變量，問題(5)和(6)的數據擬合項和正則項被解耦，這簡化了問題處理。再次應用AMI，問題(7)和(8)被分解為

其中，參數β1和β2是正的常數。

該x子問題和k子問題是最小二乘類型的，可以使用快速傅里葉變換做如下計算

其中，F(·)和F-1(·)分別表示快速傅里葉變換和快速傅里葉逆變換；F★(·)是F(·)的復共軛；符號“?”表示點乘。對于u和v子問題，采用GST[18]計算可得

其中，um+1i和vm+1i分別是um+1和vm+1的任意元素。上述GST函數定義為綜上所述，本文所提出的BID方法可以概括為：

SPR-BID方法輸入：模糊圖像y和冗余變換D輸入：μ1,μ2,β1和β2初始化：k0=u0=v0=0輸出：xm+1和km+1 1．Form=0 to M do 2．根據式(10)更新xm+1 3．Loop執行多尺度策略{4．根據式(10)更新km+1 5．對km+1施加約束ki≥ 0和∑iki=1}6．Endfor

三、實驗與結果

對圖1所示合成模糊圖像和真實模糊圖像進行去模糊實驗，以分析上述SPR-BID的性能。為了公平和準確，模糊圖像從基準數據集[19,20]下載，這些數據集目前被大多數BID研究采用。SPR-BID和另一項研究中提出的方法[12]進行比較，比較從輸出質量和平均速度兩方面進行。對于去模糊后的合成圖像，通過峰值信噪比（PSNR）客觀地測量輸出質量并對其視覺評估，去模糊后的真實圖像僅通過視覺效果來評估，因為相應的原始清晰圖像不存在。在所有實驗中，文獻[12]中的方法保留了其默認設置，以展示該方法的實際性能。經調整，SPR-BID方法參數設置如下：μ1=0.01，μ2=15，β1=1，β2=15000，p=0.5，M=10。為精確表征圖像的全局特征和局部細節，采用雙樹復數小波變換作為冗余變換D。在配置 Windows7OS（64位），MATLAB R2012a平臺，Intel Corei5-4258UCPU和4GBDDR內存的筆記本電腦上運行兩種BID方法。每種方法執行5次去模糊任務，平均時間耗費見表1。

如圖2以和表1所示，結果清楚表明所提出的SPR-BID方法在模糊估計和恢復清晰圖像方面的有效性。與文獻[12]中的方法相比，SPR-BID方法在速度和恢復質量方面具有優勢。在視覺上，因SPR-BID方法復原了更多的細節特征（例如，突出邊緣）并移除了更多的環形偽像，因此生成的去模糊圖像更清晰。在速度方面，本文提出的SPR-BID方法可以在80秒內處理尺寸為1024×768的圖像。

表1 兩種方法處理圖1時消耗的平均時間

圖1 合成模糊圖像和真實模糊圖像

圖2 BID方法的輸出結果

四、結語

本研究致力于快速準確的圖像盲去模糊，提出了一種稀疏先驗正則化方法，它融合了lp范數正則化，SAM和GST。在交替迭代中，通過使用適當的方法計算和處理幾個子問題，等效地解決了本文所創建的圖像盲去模糊模型。在實驗中，通過處理合成模糊圖像和真實模糊圖像，所提出的SPRBID方法被驗證是有效的，通過對比實驗還證實了SPRBID方法的優越性。