基于振型轉角改變的框架梁損傷檢測研究

李 林， 袁藝宸

(1.福建江夏學院 工程學院，福州 350108； 2.華中科技大學 土木工程與力學學院，武漢 430074)

框架結構是廣泛使用的結構體系，探索簡便有效的框架結構損傷檢測方法具有重要意義。由于結構模態易于通過自由振動、強迫振動以及環境振動等數據提取，因而基于結構模態數據改變的損傷檢測得到了廣泛的研究[1-2]。Hu等[3]提出了基于交叉模態應變能的結構損傷診斷方法，該方法具有所需結構損傷后模態信息少的優點，但是，該方法需要預先假設損傷位置，然后進行驗證，當結構較復雜且發生多處損傷時，可能的損傷組合數量巨大，在實施上存在困難。Roy等[4]用攝動法導出了結構一階振型及其導出量與結構損傷位置間的關系，該方法主要用于損傷定位。Ghosh等[5]研究了結構高階振型與結構損傷位置的關系，研究表明框架結構高階振型對損傷位置判別的有效性與損傷的位置密切相關。針對剪切型框架，Koo等[6-8]根據柔度矩陣可利用結構低階模態合成的特點，利用模態柔度計算得到的層間位移改變識別了結構損傷。Zhu等[9]研究了剪切型框架結構層間剛度損失的檢測方法，該方法僅僅需要測試結構的一階振型平移，就能夠識別損傷所發生的層和損傷程度，表明利用結構低階模態信息能夠有效檢測結構損傷，這對于實際工程具有很好的適用性。

剪切型框架橫梁剛度無窮大，荷載作用下梁端不會產生轉角，損傷識別時也不存在識別梁損傷的問題。而實際的框架結構橫梁剛度有限，當結構發生損傷時，損傷不僅會造成結點平動位移的變化，還會造成結點轉動位移的變化。隨著傳感技術的進步，轉角加速度傳感器不斷發展[10-11]，從而為直接獲得振動轉角數據提供了可能，通過監測結構損傷前后轉動位移的變化有可能實現結構的損傷檢測。Abdo等[12]通過對損傷梁和板的數值分析表明，振型轉角是敏感的損傷定位指標，同時具有良好的魯棒性。Kokot等[13]采用優化方法研究了簡諧荷載作用下兩跨連續梁和單層單跨框架的損傷識別問題，研究表明，在檢測中增加轉角數據能夠實質性地改進損傷識別的結果，特別是當測試數據中包含噪聲時，效果更為顯著。上述研究中的研究對象均為單個構件或簡單結構，將這些損傷檢測方法應用于多層多跨框架結構還存在較大困難。

“強柱弱梁”是框架結構設計的原則之一，合理設計的框架結構梁先于柱發生損壞，及時檢測框架梁的損傷并進行維護能夠有效保證結構的抗災能力。敏感性分析是結構分析中的常用方法，通過敏感性分析可實現檢測結構損傷[14]、有限元模型修正[15]等目的。本文以多層多跨框架結構為研究對象，以損傷前后梁柱節點振型轉角改變為損傷指標，在對梁柱節點振型轉角敏感性分析的基礎上進行框架梁損傷位置和損傷程度識別研究。

1 振型轉角敏感性分析

結構的矩陣特征值問題有以下表達形式

(1)

式中，K和M分別是剛度矩陣和質量矩陣，ωi是第i階圓頻率，φi是第i階振型。

對于平面框架結構，每個梁柱節點有2個平動自由度和1個轉動自由度。忽略梁柱的軸向變形，則對于一個n層m跨的平面框架具有n個平動自由度和n×(m+1)個轉動自由度。為便于分析，對結構進行自由度編號時可先對平動自由度從下向上編號，然后對轉動自由度從下向上、從左向右進行編號，一榀五層三跨框架自由度編號如圖1所示。圖中，u1～u5為平動自由度編號，u6～u25為轉動自由度編號。

圖1 五層三跨框架示意圖

按照上述自由度的編號方式，式(1)可用分塊矩陣的形式表示為

(2)

式中:φit、φi0分別表示第i階振型平移分量和振型轉角分量，Ktt、Kt0、K0t、K00和Mtt為對應的剛度分塊矩陣和質量分塊矩陣。取φit為對質量矩陣的標準化振型平移，即

(3)

式(2)可以表示為以下兩個方程

(4)

K0tφit+K00φi0=0

(5)

由式(5)可得

(6)

將式(6)代入式(4)得

(7)

通常結構損傷造成結構剛度減小，不會引起結構質量變化。因此，式(7)對第s根桿件的線剛度is求偏導數得

(8)

式(8)兩邊前乘第r階振型平移的轉置，并利用振型對質量矩陣的正交性得

(9)

(10)

結構各階振型平移為一組線性無關的向量，結構任一階振型平移對構件線剛度求導后仍為向量，可表示為結構各階振型平移的線性組合，即

(11)

將式(11)代入式(10)得

βr=

r≠i

(12)

Ktt、Kt0和K0t僅與柱的剛度有關，因此，當只有梁發生損傷時，有

(13)

(14)

(15)

將式(13)、(14)和(15)代入式(12)得

(16)

式(5)兩邊對is求偏導數得

(17)

式(6)兩邊對is求偏導數得

(18)

比較式(17)和式(18)得

(19)

將式(19)代入式(16)得

(20)

通過上述代換，可避免對逆矩陣求導。

當r=i時，有式(3)成立。式(3)兩邊對is求偏導數得

(21)

將式(11)代入式(21)得

βi=0

(22)

將式(20)和代入式(11)得

(23)

(24)

2 框架梁損傷檢測方法

2.1 損傷位置檢測方法

由式可見，結構以某階振型振動時，與該階振型對應的慣性力與彈性恢復力相互平衡。當某梁發生損傷時，該梁所在樓層的層間抗側剛度減小。由于結構的質量不發生改變，忽略結構損傷造成結構頻率的微小改變，則作用在各層的慣性力保持不變。因此，包含損傷梁的樓層層間振型位移增大，樓層層間振型位移的增大將導致損傷梁所在樓層梁柱節點轉角增大。由于梁損傷削弱了梁對節點轉動的約束能力，與損傷梁相連的梁柱節點比同層其余節點會發生更大的轉角改變。因此，在單根梁發生損傷的情況下，可根據梁兩端振型轉角的改變判別損傷梁位置：當某梁的兩端節點振型轉角均發生顯著改變時，則該梁為損傷梁。

當有多根梁發生損傷時，由于多損傷的相互影響，上述單損傷的損傷位置判別方法有可能發生漏判。基于敏感性分析結果，采用迭代算法可消除多損傷的相互影響，進行損傷梁的位置判別。

(25)

(26)

(27)

當多根梁發生損傷時，利用迭代算法消除多損傷的相互影響。第1步選出所有兩端節點振型轉角改變顯著增大的梁，這些梁的編號用s1表示。第2步，利用式計算每一根所選出梁的損傷對其余梁柱節點的振型轉角改變的影響，即

(28)

(29)

2.2 損傷程度檢測方法

從損傷定位算法可以發現，通過迭代消除了多梁損傷的相互影響，迭代終止后損傷梁兩端的振型轉角改變僅僅由其自身的損傷造成，與其它梁的損傷無關。因此，梁的損傷程度可以用迭代終止后的修正節點振型轉角改變來確定。

(30)

框架梁損傷識別的流程如圖2所示。

3 數值算例

3.1 結構模型與損傷工況

以一五層三跨框架(見圖1)為例驗證所提出的框架梁損傷識別方法。框架各層層高和各跨跨度分別為3 m和6 m，框架梁的截面尺寸為0.2 m×0.5 m，框架柱的截面尺寸為0.5 m×0.5 m，圖中梁下數字為梁編號，圓圈內數字為節點編號。每層的質量均為50 000 kg，梁、柱的彈性模量取3×104N/mm2。考慮三種損傷工況，工況1和工況2分別為不含噪聲的單損傷和多損傷工況，工況3為在多損傷工況2的基礎上添加了10%的高斯白噪聲[16]，以研究測試噪聲對識別結果的影響，各工況如表1所示。

圖2 框架梁損傷識別流程圖

Fig.2 Flow chart of damage identification for frame structures

表1 損傷工況

3.2 損傷位置檢測

由于在模態實驗中低階模態信息更易準確提取，因此僅采用一階模態數據進行損傷識別。三種工況下損傷前后初始一階振型轉角改變如圖3所示。

由圖3(a)可見，損傷后節點10和節點11一階振型轉角顯著增大，恰好為損傷梁8兩端的節點。由圖3(b)可見，梁4兩端的5號和6號節點、梁8兩端的10號和11號節點、梁14兩端的18號和19號節點一階振型轉角顯著增大，恰好梁4、梁8、梁14是損傷梁。但是，由于多損傷的影響，損傷梁1兩端節點1和節點2的一階振型轉角改變并未顯著增大，其值反而小于0。如果直接根據初始一階振型轉角改變顯著大于0來判別損傷梁的位置，會漏判梁1的損傷。由于測試噪聲的影響，圖3(c)中各節點的一階振型轉角變化情況與圖3(b)有些細微的差別，但總體變化情況一致。

(a) 工況1

(b) 工況2

(c) 工況3

以節點初始一階振型轉角改變為基礎，通過迭代計算來消除多損傷的相互影響，迭代過程如圖4所示。由圖4(a)可見，梁8兩端節點10和11的一階振型轉角改變值保持不變(由于節點10和11的一階振型轉角改變值相等，圖中二者的曲線重合)，其余所有梁柱節點一階振型轉角改變值趨近于0，因此可判斷梁8發生了損傷。由于僅梁8發生損傷，為單損傷工況，不存在多損傷的相互影響，因此僅通過一次迭代就能夠收斂。由圖4(b)可見，通過迭代，梁1兩端的節點1和2、梁4兩端的節點5和6、梁8兩端的節點10和11、梁14兩端的節點18和19的一階振型轉角改變值趨于某一固定的正值，其余所有節點一階振型轉角改變值趨近于0，因此，可判斷工況2中梁1、4、8和14發生了損傷。對于中間跨梁，如梁8，由于對稱性，迭代終止后的兩端節點一階振型轉角改變值基本相等；對于邊跨梁，如梁4，迭代終止后的兩端節點一階振型轉角改變值不相等。特別注意經過迭代，梁1兩端節點1和2的一階振型轉角改變值從負值變為了正值，從而能夠判斷出梁1發生了損傷。由于多損傷的影響，需要迭代3步后才能收斂。由于測試噪聲的影響，圖4(c)中未損傷梁端振型轉角迭代終止值未趨近于0，而為一些較小值，工況3迭代終止后的節點一階振型轉角改變如圖5所示。由圖可見，根據同一梁端節點轉角同時顯著增大的梁為損傷梁的判別準則，仍可準確判別梁1、4、8和14發生了損傷。

(a) 工況1

(b) 工況2

(c) 工況3

圖5 工況3節點最終一階振型轉角改變

Fig.5 The final changes in the first mode shape rotational angles of beam-column nodes in case 3

3.3 損傷程度檢測

根據損傷梁的位置判別結果，假設梁1、4、8、14分別發生5%、10%、……、40%的損傷，計算得到各損傷程度下損傷梁端節點的一階振型轉角改變，如表2所示。然后，根據迭代終止后的損傷梁端節點修正一階振型轉角改變值的大小，對應表2中的數據按照式計算各梁的損傷程度。當梁兩端節點的一階振型轉角改變值不相等時，取平均后再插值。損傷程度識別結果如圖6所示。由圖6(a)和(b)可見，單損傷工況和多損傷工況下損傷梁的損傷程度均得到了準確的識別。由圖6(c)可見，噪聲給損傷程度的識別結果造成一定的誤差，但誤差較小，在可接受的范圍，本方法具有較強的抗噪能力。

表2損傷梁不同程度單損傷工況下梁端一階振型轉角改變值(×10-6)

Tab.2Thechangesinthefirstmodeshaperotationalanglesofbeam-columnnodesofdamagedbeamsindifferentsingledamagecases

損傷程度損傷梁端節點編號1256101118195%1.961.712.211.911.781.781.191.1910%3.953.444.453.853.593.592.412.4115%5.995.216.745.835.445.443.683.6820%8.067.019.077.847.337.334.994.9925%10.178.8511.449.899.259.256.356.3530%12.3210.7213.8611.9811.2111.217.757.7535%14.5212.6216.3214.1013.2113.219.209.2040%16.7514.5718.8316.2715.2515.2510.7110.71

(a) 工況1

(b) 工況2

(c) 工況3

4 結 論

在梁柱節點振型轉角敏感性分析的基礎上，通過迭代計算能夠準確識別框架結構梁的損傷位置和損傷程度。相對于高階模態數據，低階模態數據能夠更加容易準確地獲得。本方法可僅利用結構的第一階模態數據進行損傷識別，因此更加易于在實際工程中得到應用。