多頻渦激振動(dòng)狀態(tài)下柔性立管的時(shí)變水動(dòng)力特性識(shí)別

劉 暢， 付世曉， 唐笑穎， 張萌萌， 任浩杰

(1.上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240;2.約翰·霍普金斯大學(xué) 機(jī)械工程系，巴爾的摩 21218;3.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

在當(dāng)前立管渦激振動(dòng)(VIV)的預(yù)報(bào)中，渦激力載荷的構(gòu)建直接決定著立管VIV預(yù)報(bào)結(jié)果的準(zhǔn)確性?，F(xiàn)有的用于預(yù)報(bào)VIV的半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)渦激力載荷的構(gòu)建均是基于剛性圓柱體單自由度(純橫流向或純橫流向)強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)建立的渦激力系數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行的[1-2]，其包括激勵(lì)系數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)和附加質(zhì)量系數(shù)數(shù)據(jù)庫(kù)。

然而，真實(shí)情況下VIV在順流向(IL方向)與橫流向(CF方向)都存在，并且二者相互耦合，這種運(yùn)動(dòng)上的耦合使得兩個(gè)方向上的VIV水動(dòng)力也相互影響[3-4]。為了揭示立管VIV在IL方向上和CF方向相互耦合作用下渦激振動(dòng)響應(yīng)的特性，Jauvtis等[5]開(kāi)展了低質(zhì)量比兩維自激振蕩實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)其泄渦模式與單自由度自激振蕩不同：尾渦中出現(xiàn)了2T泄渦模式，即一個(gè)周期內(nèi)單邊泄落三個(gè)渦，這正是升力中含有三階成分的原因。為了獲得可更加準(zhǔn)確預(yù)報(bào)立管CF方向的VIV的數(shù)據(jù)庫(kù)，Dahl[6]開(kāi)展了剛性圓柱體的二維強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)，試驗(yàn)中將剛性圓柱體按照一定的順流向/橫流向振蕩幅值比、橫流向的振動(dòng)頻率(順流向的振動(dòng)頻率假定為橫流向的2倍)以及橫流向&順流向位移相位角進(jìn)行簡(jiǎn)諧振蕩。該試驗(yàn)獲得了可用于預(yù)測(cè)立管渦激力尤其是3階高頻渦激力的水動(dòng)力系數(shù)庫(kù)。然而，該系數(shù)庫(kù)包含的數(shù)據(jù)相對(duì)比較稀疏，且基于此系數(shù)庫(kù)預(yù)報(bào)的渦激振動(dòng)結(jié)果的準(zhǔn)確性還未得到有效驗(yàn)證。此外，如何利用此方法研究柔性立管VIV高頻響應(yīng)下的水動(dòng)力特性也有待研究。

剛性圓柱體強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)?zāi)軌蚍奖愕亟⒂糜跍u激振動(dòng)預(yù)報(bào)的水動(dòng)力系數(shù)庫(kù)，但對(duì)于柔性立管，CF方向與IL方向的耦合效應(yīng)以及三維流場(chǎng)等作用，使得柔性立管在洋流作用下的渦激振動(dòng)響應(yīng)極其復(fù)雜[7-11]，使得作用于柔性立管的水動(dòng)力載荷不同于由剛性圓柱體單向強(qiáng)迫振蕩試驗(yàn)獲得的結(jié)果[12-13]。特別地，Vandiver發(fā)現(xiàn)了在CF方向3倍基頻和IL方向4倍基頻的高階響應(yīng)，表明真實(shí)柔性立管發(fā)生渦激振動(dòng)時(shí)存在引起高頻渦激振動(dòng)響應(yīng)的高頻渦激力。Wu等[14]利用梁有限元狀態(tài)矢量空間方程和基于最優(yōu)控制理論的逆分析法獲得了立管CF方向上的鎖定頻率的渦激力及其系數(shù)。Song等[15]采用模態(tài)分析法與歐拉梁動(dòng)態(tài)響應(yīng)控制方程相結(jié)合的方法，利用細(xì)長(zhǎng)柔性立管縮尺試驗(yàn)測(cè)量的應(yīng)變信息，結(jié)合最小二乘法獲得了基頻狀態(tài)下的水動(dòng)力特性。對(duì)于單一頻率下的渦激力載荷，其被分解為與速度同相位的激勵(lì)力和與加速度同相位的附加質(zhì)量力，并進(jìn)一步歸一化為激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)。單一頻率下的渦激力系數(shù)可以準(zhǔn)確重構(gòu)出單一頻率下的水動(dòng)力載荷。

然而由于缺乏有效分析手段，上述研究中均沒(méi)有分析考慮多頻耦合下柔性立管發(fā)生渦激振動(dòng)時(shí)的水動(dòng)力特性。僅使用鎖定頻率下的水動(dòng)力系數(shù)無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)多頻渦激振動(dòng)。

本文提出了遺忘因子最小二乘法識(shí)別柔性立管發(fā)生多頻渦激振動(dòng)下的時(shí)變渦激力系數(shù)。該算法在最小二乘法基礎(chǔ)上，引入遺忘因子，其給予更接近當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)據(jù)更大的權(quán)重。這一修正提高了該算法對(duì)時(shí)變參數(shù)的敏感度，使其能夠識(shí)別系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)。使用該方法獲得了柔性立管發(fā)生多頻渦激振動(dòng)時(shí)橫流向的時(shí)變渦激力系數(shù)，并將考慮多頻耦合的渦激力系數(shù)與單一頻率的渦激力系數(shù)進(jìn)行了對(duì)比研究。

1 時(shí)變渦激力系數(shù)識(shí)別

當(dāng)柔性立管發(fā)生渦激振動(dòng)時(shí)，將CF方向VIV的功率譜密度最大處的頻率看做為基頻(下文中基頻均依此定義)，則CF方向的振動(dòng)通常由若干個(gè)奇數(shù)倍基頻下的振動(dòng)組成，即ω,3ω,5ω…，IL方向的振動(dòng)通常由若干個(gè)偶數(shù)倍基頻下的振動(dòng)組成，即2ω,4ω,6ω…。其中CF方向上3倍以上基頻的振動(dòng)以及IL方向上4倍基頻以上的振動(dòng)被稱為高頻響應(yīng)[16],在考慮浮力塊，螺旋列板時(shí)響應(yīng)頻率會(huì)更加復(fù)雜[17]。 本文考慮更一般的情況，將立管CF和IL方向在節(jié)點(diǎn)z處的位移響應(yīng)表示如下

y(z,t)=∑yi(z,t,ωi)i=1,2,3…

x(z,t)=x0(z)+∑xi(z,t,ωi)i=1,2,3…

(1)

式中:yi(z,t,ωi)代表CF方向單一頻率ωi的位移響應(yīng)；xi(z,t,ωi)代表IL方向單一頻率ωi的位移響應(yīng),x0(z)代表平均彎曲位移。

以下將建立多頻渦激振動(dòng)狀態(tài)下柔性立管的時(shí)變渦激力系數(shù)模型，僅以CF方向的渦激力系數(shù)推導(dǎo)為例，IL方向的渦激力系數(shù)推導(dǎo)與之相同。

立管在節(jié)點(diǎn)z處的位移響應(yīng)y(z,t)可寫成多個(gè)單頻響應(yīng)的線性疊加

(2)

式中:ωi為立管橫流向渦激振動(dòng)響應(yīng)中的第i個(gè)圓頻率；y0(z,ωi)為頻率ωi下的位移幅值；φi為頻率ωi下的相位角。對(duì)渦激振動(dòng)位移進(jìn)行微分，可以得到渦激振動(dòng)響應(yīng)的速度和加速度

(3)

在此情況下，立管節(jié)點(diǎn)z處的橫流向的渦激力載荷

fCF(z,t)可表示為

(4)

式中:f(z,t,ωi)為頻率ωi下的渦激力載荷，f0(z,ωi)為對(duì)應(yīng)頻率ωi下的渦激力振幅。

將其展開(kāi)得

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中CLa(z,ωi)為節(jié)點(diǎn)z處頻率ωi下的附加質(zhì)量系數(shù)。

將式(6)和式(9)代入式(5)中有

(10)

其中：CLe(z,ωi)和CLa(z,ωi)即為表示CF方向節(jié)點(diǎn)z處在頻率為ωi下的激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)。立管IL方向的水動(dòng)力包括平均阻力和渦激力，渦激力系數(shù)推導(dǎo)與CF方向的渦激力系數(shù)推導(dǎo)類似。本文僅分析具有代表性的CF方向的渦激力載荷和渦激力系數(shù)。

從上式可以看出，當(dāng)立管VIV出現(xiàn)多頻響應(yīng)時(shí)，需要多個(gè)頻率下的激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)才能準(zhǔn)確重構(gòu)出水動(dòng)力載荷。為了綜合考慮多個(gè)頻率的響應(yīng)與載荷之間的耦合關(guān)系，本文求解多頻耦合下時(shí)變的水動(dòng)力系數(shù)，將式(10)改寫為

(11)

其中

(12)

分別為多個(gè)單一頻率下的速度，加速度，渦激力載荷疊加，以及多頻疊加后速度時(shí)例的RMS值。

CLe(z,t),CLa(z,t)為時(shí)變的激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)，其代替式(10)中多個(gè)頻率下的渦激力系數(shù)CLei(z,ωi),CLai(z,ωi),i=1,2,3…。時(shí)變的渦激力系數(shù)CLe(z,t),CLa(z,t)綜合考慮了多個(gè)頻率下的渦激力系數(shù)，以及各個(gè)頻率之間的相互影響。

當(dāng)以上求和符號(hào)中只含有單一頻率的響應(yīng)或載荷時(shí)，水動(dòng)力系數(shù)的定義與定義的水動(dòng)力系數(shù)一致。

隨后引入遺忘因子最小二乘法(Forgetting Factor Least Square Method)(FF-LS)[18-19]識(shí)別式(11)的時(shí)變渦激力系數(shù)。該算法在最小二乘法的基礎(chǔ)上，引入了遺忘因子，其給予更接近當(dāng)前時(shí)刻的數(shù)據(jù)更大的權(quán)重。這一修正提高了該算法對(duì)時(shí)變參數(shù)的敏感度，使其能夠準(zhǔn)確識(shí)別系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)，從而獲得時(shí)變渦激力系數(shù)。

將本文的渦激力載荷，渦激力響應(yīng)表示成矩陣形式

fL=[fCF(z,t1),fCF(z,t2),fCF(z,t3),…,fCF(z,tL)]T

L=1,2,3,…

(13)

式中:t1代表初始時(shí)刻，tL代表當(dāng)前觀測(cè)時(shí)刻，對(duì)于本文的渦激力系數(shù)識(shí)別問(wèn)題，z代表沿立管軸向位置，fL是節(jié)點(diǎn)z從t1時(shí)刻至tL時(shí)刻的渦激力載荷時(shí)例，HL是節(jié)點(diǎn)z從t1時(shí)刻至tL時(shí)刻的的渦激振動(dòng)速度，加速度時(shí)例，θ(L)是立管在節(jié)點(diǎn)z，tL時(shí)刻的未無(wú)因次化的渦激力系數(shù)。以上三個(gè)矩陣的每一行代表某一時(shí)刻的采樣數(shù)據(jù)。

式(11)中的時(shí)變渦激力系數(shù)識(shí)別可以表示為識(shí)別參數(shù)θ(L)L=1,2,3,…的時(shí)例，其滿足

fL=HLθ(L)L=1,2,3,…

(14)

式中：t1,t2,t3,…,tL代表采樣時(shí)間，并且共有L組數(shù)據(jù)被采樣。式(14)表示所有tL時(shí)刻之前的數(shù)據(jù)被用于識(shí)別時(shí)變參數(shù)θ(L)。在下文中，在tL時(shí)刻的參數(shù)θ(L)簡(jiǎn)寫為θ。

隨后，將渦激力載荷時(shí)例和渦激振動(dòng)速度，加速度時(shí)例乘上一個(gè)數(shù)據(jù)權(quán)重。觀測(cè)數(shù)據(jù)距離當(dāng)前時(shí)刻tL越近，該權(quán)重值越大。特別的，對(duì)于當(dāng)前時(shí)刻tL的數(shù)據(jù)權(quán)重為β0=1, 對(duì)于初始時(shí)刻t1的數(shù)據(jù)權(quán)重為βL-1(β為常數(shù)，并且滿足0<β≤1)。加權(quán)后的渦激力載荷表示為

(15)

同樣的，加權(quán)后的渦激振動(dòng)速度和加速度表示為

(16)

時(shí)變渦激力系數(shù)需要滿足下式

(17)

(18)

(19)

根據(jù)如下的向量微分公式

(20)

式 (19)成為

(21)

(22)

將式 (15)和(16)代入式(22)

(23)

式中:μ=β2，0<μ≤1，μ稱為遺忘因子,ΛL是加權(quán)矩陣，其對(duì)角元素滿足，Λ(L)=1，Λ(k-1)=μΛ(k),非對(duì)角元素為零。該算法本質(zhì)上對(duì)不同時(shí)刻的數(shù)據(jù)進(jìn)行加權(quán)，距離當(dāng)前時(shí)刻越遠(yuǎn)的數(shù)據(jù)，其權(quán)重越小，如圖1所示。

圖1 遺忘因子最小二乘法數(shù)據(jù)權(quán)重示意圖

Fig.1 Schematic of data weight for forgetting factor least squares method

2 識(shí)別方法驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文提出的遺忘因子最小二乘法能夠準(zhǔn)確識(shí)別時(shí)變的渦激力系數(shù)，本章使用質(zhì)量-彈簧-阻尼器模型對(duì)該算法進(jìn)行驗(yàn)證。構(gòu)造如下問(wèn)題。

(24)

式中：M,C,K分別為質(zhì)量塊的質(zhì)量，阻尼器的阻尼，以及彈簧的剛度，均為常數(shù)。

(25)

min[Freal(t)-Frecon(t)]2

(26)

設(shè)定M=10，C=40，K=1 500，模擬20 s的運(yùn)動(dòng)，每0.01 s取一個(gè)觀測(cè)數(shù)據(jù)

設(shè)定運(yùn)動(dòng)信號(hào)為

(27)

其中振動(dòng)幅值A(chǔ)1=0.01,A2=0.005,振動(dòng)頻率f1=1 Hz，f2=3f1=3 Hz,相應(yīng)的圓頻率為ω1=2πf1,ω2=2πf2,初始相位角為φ1=φ2=0。

圖 2是多頻疊加下的質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)信號(hào)(位移，速度及加速度)的時(shí)例。

使用式(24)構(gòu)造出該運(yùn)動(dòng)響應(yīng)對(duì)應(yīng)的載荷，對(duì)于多頻運(yùn)動(dòng)響應(yīng)情況下，原系數(shù)求解問(wèn)題(28)不再具有理論解

(28)

使用最小二乘法求得CLe(t)=39.55,CLa(t)=4.187，但是通過(guò)這兩個(gè)系數(shù)重構(gòu)的力信號(hào)與真實(shí)力信號(hào)差距較大(圖3)。這是因?yàn)樵诳紤]多頻耦合時(shí)，使用定常的激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)不足以準(zhǔn)確重構(gòu)出力信號(hào)。

使用遺忘因子最小二乘法可獲得質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的時(shí)變激勵(lì)系數(shù)與附加質(zhì)量系數(shù)，通過(guò)該系數(shù)時(shí)例重構(gòu)出的力信號(hào)與真實(shí)力信號(hào)之間吻合較好(圖3)，此時(shí)的激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)隨時(shí)間周期性變化(圖4)，這是多頻之間耦合作用引起的。結(jié)果表明本文所提出的遺忘因子最小二乘法能夠有效的識(shí)別渦激振動(dòng)響應(yīng)下多頻渦激力系數(shù)。

圖2 ω1和ω2疊加下的運(yùn)動(dòng)信號(hào)時(shí)例(位移，速度，加速度)

Fig.2 Time history of motion superposition underω1andω2(displacement, velocity and acceleration)

3 多頻渦激振動(dòng)下柔性立管的時(shí)變水動(dòng)力特性

3.1 模型試驗(yàn)

本文中均勻流場(chǎng)下細(xì)長(zhǎng)柔性立管水動(dòng)力模型試驗(yàn)在拖曳水池中進(jìn)行，立管模型橫置于水池中，立管兩端利用萬(wàn)向節(jié)與端部裝置進(jìn)行連接。端部裝置可以為立管模型提供恒定預(yù)張力。試驗(yàn)中通過(guò)拖車帶動(dòng)立管在拖曳水池中勻速運(yùn)動(dòng)的方法模擬均勻來(lái)流。試驗(yàn)裝置如圖5所示。

圖3 真實(shí)渦激力，使用最小二乘法識(shí)別的系數(shù)重構(gòu)的力信號(hào)與使用遺忘因子最小二乘法識(shí)別系數(shù)重構(gòu)的力信號(hào)對(duì)比

Fig.3 Comparison among real force, force reconstructed from coefficients identified by LS method and that identified by FF-LS method

圖4 質(zhì)量-彈簧-阻尼器激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)時(shí)例

Fig.4 Time history of excitation coefficient and added-mass coefficient in mass-spring-dashpot system

圖5 均勻流場(chǎng)下柔性立管水動(dòng)力模型試驗(yàn)裝置

試驗(yàn)采用的立管模型為縮尺模型，模型水動(dòng)力外徑為31 mm，有效長(zhǎng)度為7.9 m，細(xì)長(zhǎng)比為263。立管模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表中的結(jié)構(gòu)阻尼比為立管模型在空氣中的結(jié)構(gòu)阻尼比，通過(guò)立管模型在空氣中的自由衰減試驗(yàn)獲得，在此不做詳細(xì)介紹。

試驗(yàn)中使用光纖光柵應(yīng)變傳感器測(cè)量立管模型表面的應(yīng)變響應(yīng)信息。光纖光柵應(yīng)變傳感器分別布置于立管模型的CF1、CF2、IL1以及IL2四個(gè)方向，用于測(cè)量模型在此四個(gè)方向上的應(yīng)變，即CF1、CF2、IL1和IL2，如圖6所示。立管模型的表面分別布置有88個(gè)傳感器，其中CF1，CF2方向上各19個(gè)傳感器，IL1和IL2方向上各25個(gè)傳感器。橫流向與順流向上的傳感器均均勻分布。光纖光柵傳感器的采樣頻率為250 Hz。這里需要指出的是，立管模型每個(gè)方向上所有測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變片均埋藏在一根直徑為125～140 μm的光纖中。在模型制作時(shí)，此光纖粘貼在模型的表面，并在光纖的外面覆蓋一層厚度為0.5 m的熱縮管，以保證模型表面的光滑性。因此立管模型表面布置的應(yīng)變片不會(huì)影響模型周圍的流場(chǎng)以及模型的振動(dòng)響應(yīng)。此外，試驗(yàn)中，立管模型上四個(gè)方向上所有測(cè)點(diǎn)的應(yīng)變信息同時(shí)采集，因此，不同測(cè)點(diǎn)處測(cè)得的應(yīng)變信息之間沒(méi)有相位延遲。

表1 立管模型參數(shù)

圖6 光纖光柵應(yīng)變傳感器安裝示意圖

Fig.6 Arrangement of strain gauges on the surface of the riser model

本文選取具有代表性的的實(shí)驗(yàn)工況：均勻流2.8 m/s下CF方向的渦激振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行分析，下文不再贅述。該工況對(duì)應(yīng)雷諾數(shù)為6.4×104。

3.2 渦激振動(dòng)響應(yīng)與渦激力

圖7(a)表示的是流場(chǎng)中承受張力T0的柔性立管，立管的軸線沿坐標(biāo)系的Z軸，流場(chǎng)方向與坐標(biāo)系的X-Z面平行且垂直于立管的軸線。此時(shí)，立管的IL面為坐標(biāo)系的X-Z面，立管的CF面為坐標(biāo)系的Y-Z面。由于流體具有黏性，流場(chǎng)會(huì)在立管的IL面上會(huì)產(chǎn)生不隨時(shí)間變化的阻力，即：平均阻力。在平均阻力的作用下，立管會(huì)發(fā)生彎曲變形，偏離其原始位置(Original position)，本文中將此彎曲變形稱為平均彎曲，立管發(fā)生平均彎曲后的位置稱為平衡位置(Equilibrium position)，如圖7(b)所示。此外，當(dāng)流體流經(jīng)立管表面時(shí)會(huì)在立管的周圍產(chǎn)生周期性的瀉渦，周期性的瀉渦會(huì)在立管的CF面內(nèi)和IL面內(nèi)產(chǎn)生均值為零的周期性的渦激力，使得立管在CF與IL面內(nèi)相對(duì)于平衡位置發(fā)生振動(dòng)，即：渦激振動(dòng)(VIV)，如圖7(b)和(c)所示。因此在流場(chǎng)作用下，柔性立管的水動(dòng)力載荷包括：CF方向的渦激力，IL方向的平均阻力和渦激力，相應(yīng)的，立管的總體結(jié)構(gòu)響應(yīng)包括：CF方向的VIV響應(yīng)；IL方向的平均彎曲響應(yīng)和VIV響應(yīng)。

(a)

(b)

(c)

Fig.7 Response of a submerged flexible riser with a tensional force under uniform flow

根據(jù)有限元理論，立管的有限元?jiǎng)討B(tài)響應(yīng)控制方程如下式

Mδ″+Cδ′+Kδ=F

(29)

式中：M,C和K分別為立管的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；δ為立管的位移矩陣，δ′和δ″分別為位移矩陣δ對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，即：速度矩陣和加速度矩陣；F為立管的水動(dòng)力載荷矩陣。對(duì)于節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)為N，節(jié)點(diǎn)自由度為6的立管，矩陣M,C,K的維數(shù)為6N×6N；矩陣和F的維數(shù)為6N×1。

對(duì)于承受軸向張力的立管，其單元?jiǎng)偠染仃嘖e包括兩部分

(30)

C=αM+βK

(31)

式中：a與b為Rayleigh阻尼系數(shù)，可由立管的固有頻率及結(jié)構(gòu)阻尼比求得。

立管的位移矩陣δ可表示如下

δ=[δ1,δ2,…,δN]T(i=1,2,…,N)

(32)

式中:N為立管的節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)；δi為立管節(jié)點(diǎn)i處的位移矩陣

(33)

式中：zi為立管在軸向的拉伸位移；xi和yi為立管在IL和CF面內(nèi)的線位移；θzi為立管繞其軸線，即z軸的扭轉(zhuǎn)角；θyi和θxi為立管在IL面和CF面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí)產(chǎn)生的繞y軸和x軸的角位移。在本文分析立管水動(dòng)力載荷時(shí)忽略立管沿軸向的扭轉(zhuǎn)變形，即假定：θx=0。

立管的軸向拉伸位移可由立管表面的拉伸應(yīng)變求得；IL和CF方向的彎曲位移可以采用模態(tài)分析法[21]根據(jù)立管表面的彎曲應(yīng)變求得。

立管的角位移θyi和θxi可采用中心差分法根據(jù)立管CF和IL面內(nèi)的線位移x和y求取。

在根據(jù)立管的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立起立管的質(zhì)量矩陣M、剛度矩陣K以及阻尼矩陣C后，如已知立管的結(jié)構(gòu)響應(yīng)矩陣δ,δ′,δ″，根據(jù)逆有限元方法，即可在獲得流場(chǎng)作用下VIV發(fā)生時(shí)立管的水動(dòng)力載荷F。由于求解水動(dòng)力載荷的逆有限元方法與Song等使用的方法相同，且其準(zhǔn)確性已經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，本文不再贅述，詳細(xì)驗(yàn)證結(jié)果可參見(jiàn)其論文。

圖8和圖9分別為渦激振動(dòng)應(yīng)變的時(shí)空分布和渦激振動(dòng)應(yīng)變的功率譜密度沿立管軸向分布。可以看出，該工況下CF方向的渦激振動(dòng)應(yīng)變包含多個(gè)頻率成分。定義渦激振動(dòng)應(yīng)變的功率譜密度最大的頻率為基頻，本文記為ω1=2π×f1=2π×16.8 rad/s，同時(shí)該應(yīng)變響應(yīng)中出現(xiàn)了三倍基頻的高階響應(yīng)，本文記為ω2=2π×f2=2π×50.4 rad/s。

使用模態(tài)分析法重構(gòu)出渦激振動(dòng)位移并使用上述逆有限元理論根據(jù)VIV位移重構(gòu)出柔性立管發(fā)生VIV時(shí)的總體水動(dòng)力載荷，其在下文的分析中作為真實(shí)渦激力載荷。圖10是CF方向的渦激力時(shí)空分布。圖11是水動(dòng)力載荷的功率譜密度沿立管軸向分布。從圖中可以看出，柔性立管發(fā)生渦激振動(dòng)時(shí)，在CF方向出現(xiàn)了三倍基頻3ω下高頻渦激力，Dahl在兩自由度剛性圓柱體自激振動(dòng)試驗(yàn)中也發(fā)現(xiàn)了CF方向的三倍基頻渦激力，并認(rèn)為是由于高雷諾數(shù)下，立管兩自由度的運(yùn)動(dòng)引起了2T泄渦模式引起的。

從渦激力的功率譜密度分布圖(圖11)中可以看出，高頻成分的作用不可忽略。

圖8 渦激振動(dòng)應(yīng)變的時(shí)空分布

圖9 渦激振動(dòng)應(yīng)變的功率譜密度沿立管軸向分布

圖10 渦激振動(dòng)水動(dòng)力載荷的時(shí)空分布

圖11 渦激振動(dòng)水動(dòng)力載荷的功率譜密度沿立管軸向分布

3.3 時(shí)變渦激力系數(shù)

首先，使用帶通濾波器將渦激力載荷，渦激振動(dòng)速度，渦激振動(dòng)加速度分解至基頻ω1=2π×16.8 rad/s和高頻ω2=2π×50.4 rad/s下，并分別記為

濾波帶寬分別為16～17.5 Hz和50.1～50.7 Hz。將基頻和高頻下的渦激振動(dòng)響應(yīng)和渦激力載荷進(jìn)行線性疊加

(34)

圖12是基頻ω1，高頻ω2，基頻與高頻疊加的渦激力RMS值與濾波前渦激力RMS值軸向分布對(duì)比，發(fā)現(xiàn)僅考慮基頻ω1或僅考慮高頻ω2時(shí)，其RMS值較濾波前的渦激力載荷偏小，而同時(shí)考慮基頻ω1，高頻ω2下的渦激力載荷時(shí)，其與濾波前的真實(shí)渦激力較接近。

圖12 立管渦激力載荷RMS值沿立管軸向分布

Fig.12 Axial distribution of RMS value of vortex-induced force (solid line: superposition of basic frequencyω1and high frequencyω2, dotted line: before filter)

將式(34)代入式(11)的時(shí)變渦激力系數(shù)模型中，則需要求解的時(shí)變渦激力系數(shù)CLe(z,t),CLa(z,t)需滿足下式

(35)

隨后使用本文提出的遺忘因子最小二乘法識(shí)別出上式中的待求解的時(shí)變渦激力系數(shù)。

圖13和圖14是多頻耦合下的激勵(lì)系數(shù)與附加質(zhì)量系數(shù)時(shí)空分布，可以看出考慮多頻耦合作用時(shí)，激勵(lì)系數(shù)和附加質(zhì)量系數(shù)會(huì)發(fā)生周期性變化，且包含多種頻率成分。

圖13 基頻ω1與高頻ω2耦合下的激勵(lì)系數(shù)時(shí)空分布

Fig.13 Time-space distribution of excitation coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2

圖15和圖16是不同算例下渦激力系數(shù)沿立管軸向分布(實(shí)線：時(shí)變激勵(lì)力系數(shù)的時(shí)間平均值；圓：基頻ω1下的激勵(lì)力系數(shù)；三角：高頻ω2下的激勵(lì)力系數(shù))。

圖14 基頻ω1與高頻ω2耦合下的附加質(zhì)量系數(shù)時(shí)空分布

Fig.14 Time-space distribution of added-mass coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2

圖15 激勵(lì)系數(shù)沿立管軸向分布(實(shí)線：時(shí)變激勵(lì)力系數(shù)的時(shí)間平均值；圓：基頻ω1下的激勵(lì)力系數(shù)；三角：高頻ω2下的激勵(lì)力系數(shù))

Fig.15 Axial distribution of excitation coefficient (solid line: Time-average value of time-varying excitation coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2, round: excitation coefficient under basic frequencyω1, triangle: excitation coefficient under high frequencyω2)

圖16 附加質(zhì)量系數(shù)沿立管軸向分布(實(shí)線：時(shí)變附加質(zhì)量系數(shù)的時(shí)間平均值；圓：基頻ω1下的附加質(zhì)量系數(shù)；三角：高頻ω2下的附加質(zhì)量系數(shù))

Fig.16 Axial distribution of added-mass coefficient (solid line: Time-average value of time-varying added-mass coefficient under coupling between basic frequencyω1and high frequencyω2, round: added-mass coefficient under basic frequencyω1, triangle: added-mass coefficient under high frequencyω2)

通過(guò)對(duì)比可以得出以下結(jié)論：考慮多頻耦合時(shí)的時(shí)變渦激力系數(shù)時(shí)間平均值沿立管的軸向分布與基頻下的渦激力系數(shù)沿立管軸向分布有所區(qū)別，這是高頻響應(yīng)和高頻渦激力耦合作用的結(jié)果。

為了驗(yàn)證識(shí)別的時(shí)變渦激力系數(shù)能夠準(zhǔn)確重構(gòu)出渦激力載荷，使用獲得的渦激力系數(shù)CLe(z,t),CLa(z,t)依據(jù)下式重構(gòu)出渦激力載荷

(36)

圖17是根據(jù)識(shí)別獲得的時(shí)變渦激力系數(shù)重構(gòu)出的渦激力載荷與真實(shí)渦激力在立管中點(diǎn)的時(shí)例曲線對(duì)比，兩者基本一致，表明該識(shí)別方法獲得的渦激力系數(shù)重構(gòu)得到的渦激力載荷可以準(zhǔn)確還原真實(shí)渦激力載荷的分布特性。

圖17 使用FF-LS識(shí)別得到的多頻耦合下的時(shí)變渦激力系數(shù)重構(gòu)的水動(dòng)力載荷與真實(shí)水動(dòng)力載荷對(duì)比

Fig.17 Comparison between real vortex-induced force and force reconstructed from time-varying vortex-induced force coefficients identified by forgetting factor least square method

4 結(jié) 論

本文提出了遺忘因子最小二乘法識(shí)別考慮多頻耦合的時(shí)變渦激力系數(shù)。首先使用質(zhì)量-彈簧-阻尼的理想模型驗(yàn)證了遺忘因子最小二乘法可以識(shí)別系統(tǒng)的時(shí)變參數(shù)。其可以考慮多頻之間的耦合效應(yīng)，且識(shí)別的時(shí)變參數(shù)可以準(zhǔn)確重構(gòu)出力信號(hào)。隨后應(yīng)用該方法識(shí)別了基頻與高頻耦合作用下，柔性立管發(fā)生渦激振動(dòng)下橫流向的時(shí)變渦激力系數(shù)。結(jié)果顯示柔性立管發(fā)生多頻渦激振動(dòng)時(shí)，其渦激力系數(shù)會(huì)周期性變化，且渦激力系數(shù)的時(shí)間平均值亦不同于基頻下的渦激力系數(shù)，這是基頻與高頻耦合作用的結(jié)果。使用識(shí)別的時(shí)變渦激力系數(shù)進(jìn)行反演重構(gòu)得到的渦激力與真實(shí)渦激力相吻合，驗(yàn)證了該方法識(shí)別多頻耦合下的時(shí)變渦激力系數(shù)可以準(zhǔn)確重構(gòu)渦激力載荷。本文后續(xù)工作請(qǐng)參見(jiàn)文獻(xiàn)[22]。