頻率相關黏性阻尼理論的時程積分計算

孫攀旭， 楊 紅,2， 劉慶林

(1.重慶大學 土木工程學院，重慶 400045；2.重慶大學 山地城鎮建設與新技術教育部重點實驗室，重慶 400045；3.深圳信息職業技術學院 交通與環境學院，深圳 518172)

黏性阻尼理論時程計算具有穩定收斂的優點，但存在能量耗散與外激勵頻率相關的缺點[1]；復阻尼理論的每周期消耗能量與外激勵頻率無關，但方程通解中含有發散項，導致時程計算不穩定[2]。克服黏性阻尼理論和復阻尼理論的缺陷，尋求一種新阻尼理論對有助于改善結構動力時程響應計算的合理性和適用性。

復阻尼運動方程計算求解時，需要依據對偶原則得到復化對偶項[3-5]，同時為保證結構動力響應計算的穩定收斂，直接剔除發散項的做法在數學處理上是不合理的[6]。因此復阻尼運動方程本質是頻域運動方程，不能直接推廣到時域中進行計算[7-8]。朱鏡清[9]將外激勵頻率考慮到黏性阻尼理論的阻尼力項中，得到頻率相關黏性阻尼運動方程，其為諧波作用下復阻尼運動方程在實數域中的表達，但無法直接適用于自由振動反應中。本文依據頻域轉化原則，提出包含結構振動頻率參數的頻率相關黏性阻尼運動方程，在滿足時程計算穩定收斂的同時，保證了每周期能量耗散與外激勵頻率無關。為方便方程的時程計算，基于速度與位移關系假定和能量守恒準則，進一步構建了適用于時程計算的運動方程，結合常平均加速度法、Newmark-β法等，可得到時程積分計算的遞推表達式，實現了頻率相關黏性阻尼理論的時程積分計算。

1 基于頻率相關黏性阻尼的時域積分

1.1 基于復阻尼的頻率相關黏性阻尼

單自由度體系的復阻尼運動方程為

(1)

式中，m為結構質量，k為結構剛度，η為復阻尼系數，g(t)為地震加速度，i為虛數單位。

復阻尼運動方程的通解中包含有發散項，發散項為指數增長函數形式，而指數增長函數在區間[0,+∞)上不可積分，其傅里葉變換不存在，將式(1)轉換到頻域的過程實質上是一個過濾發散項的過程，因此頻域運動方程是穩定的。將式(1)進行傅里葉變換，可得

(2)

當結構位移響應的振動頻率不為零時，式(2)可轉化為

(3)

經傅里葉變換之后，得時域運動微分方程為

(4)

式(4)對應的特征方程為

(5)

式(5)的特征根為

(6)

式(4)對應的齊次方程通解為

xc(t)=[Acos(βt)+Bsin(βt)]e-αt

(7)

其中，

(8)

設單自由度系統在激勵頻率為θ的諧波作用下，結構的振動頻率與諧波激勵頻率相同，位移響應為x=X1sin(θt)+X2cos(θt)，頻率相關黏性阻尼理論中其阻尼力項為

(9)

一個振動周期內阻尼力做的功為

(10)

阻尼力做功與消耗的能量相等，由式(10)可知在簡諧荷載作用下頻率相關黏性阻尼理論中阻尼每一周期消耗的能量與外激勵頻率無關。

頻率相關黏性阻尼與復阻尼在頻域范圍內是等價的，具有每個周期消耗能量與外荷載激勵頻率無關的優點，同時頻率相關黏性阻尼運動方程通解中不包含發散項，時程積分計算穩定收斂。

1.2 基于速度與位移關系的頻率相關黏性阻尼

頻率相關黏性阻尼運動方程中含有結構振動頻率，結構振動頻率為未知項，因此式(4)無法直接采用逐步時程積分計算。假定結構位移響應的振動頻率為速度與位移的比值絕對值[10]，即

(11)

將式(11)代入式(4)，可得

(12)

由式(12)可知，此時阻尼力是與彈性力大小成正比，且與運動速度反向，該規律與朱鏡清和Chen等[11]的研究成果一致，阻尼力為

(13)

設單自由度系統響應x=Xsin(θt)，一個振動周期內阻尼力做的功為

ΔW=-2ηkX2

(14)

結構的損耗因子為

(15)

由式(14)和(15)，可得到結構阻尼一個周期內消耗的能量為[12]

ΔE=πηkX2

(16)

此時，一個周期內消耗的能量與阻尼做功大小并不相等，依據結構阻尼消耗的能量對運動方程進行修正，改進阻尼力為

(17)

單自由度系統響應x=Xsin(θt)，一個振動周期內阻尼力做的功為

ΔW=-2λkX2

(18)

簡諧激勵作用下結構內部阻尼在一個振動周期內消耗的能量ΔE與等效阻尼力在一個周期內消耗的能量ΔW相等，且η=2ξ，故比例系數λ為

λ=πξ

(19)

由此可得到新的運動方程為

(20)

(21)

其中，

(22)

采用數值積分方法進行計算時，按照時間步長Δt進行離散，任意時刻可表示為tk=kΔt(k=0,1,2…)，利用tk時刻結構的動力響應，計算tk+1時刻結構的動力響應，但tk+1時刻的τ值無法確定，進而無法得到運動方程。當時間步長取值足夠小時，可利用tk時刻結構的動力響應確定tk+1時刻的τ值，并得到tk+1時刻的運動方程，由此進行迭代計算。

采用常平均加速度法，tk+1時刻結構的速度和位移為[13]

(23)

將式(23)代入式(21)可得

(24)

其中，

δ=πξτkk+k

(25)

(26)

由式(23)～(26)即可實現基于平均加速度法的頻率相關黏性阻尼時域積分計算。

多自由度體系的頻率相關黏性阻尼運動方程為

(27)

式中，g(t)為地震加速度，I為與地震動輸入有關的向量(N×1)，與g(t)方向相同的位移自由度元素為1，Ω為符號矩陣。

(28)

(29)

將單自由體系的基于平均加速度法的頻率相關黏性阻尼時程計算方法應用到多自由度體系，即可完成時程積分計算。

2 算例分析

如圖1所示，以鋼-混凝土組成的5層剪切型混合框架結構為例，鋼結構的阻尼比為0.02，鋼筋混凝土結構的阻尼比為0.05[14]。

圖1 豎向混合框架結構的質量和剛度分布

Fig.1 The mass and stiffness distribution of vertical mixed structure frame

質量矩陣為

(30)

剛度矩陣為

K=105N/m×

(31)

復阻尼理論下阻尼矩陣為

C=105N/m×

(32)

如圖2(a)、圖2(b)所示，當地震作用持續時間分別小于15 s、9 s時，頻率相關黏性阻尼理論時程計算結果與復阻尼理論時程計算結果一致，證明本文提出的頻率相關黏性阻尼時程計算方法的正確性。在圖2中，隨著地震作用持時增加，復阻尼理論計算的結構頂層位移逐漸發散，因此復阻尼理論只能合理地計算地震持時較小時的結構位移響應，持時較大時計算結果將會發散。相對于復阻尼理論的時程計算結果，頻率相關黏性阻尼的計算結果在地震持時較大時依然保持了穩定收斂。

(a) 遷安波東西方向分量

(b) El Centro波東西方向分量

Fig.2 Calculated results of structural top displacements with different methods

以結構頂層最大位移為指標，對混合結構的阻尼比進行敏感性分析。如圖3所示，鋼筋混凝土結構的阻尼比保持0.05不變，通過改變鋼結構的阻尼比，計算出對應的遷安波東西分量作用下結構頂層最大位移變化率(GJ)；鋼結構的阻尼比保持0.02不變，通過改變鋼筋混凝土結構的阻尼比，計算出對應的遷安波東西分量作用下結構頂層最大位移變化率(GJH)。由圖3可知，相比結構阻尼比的減小，阻尼比的增大對結構頂層最大位移變化的影響更大；相比鋼結構阻尼比，鋼筋混凝土結構阻尼比對結構頂層最大位移變化的影響更大。

圖3 不同阻尼比下結構頂層最大位移的變化

Fig.3 Changes of structural top displacements of different damping ratios

3 結 論

經理論推導和算例分析，得到以下結論：

(1) 基于速度與位移關系假定和能量守恒準則，提出了頻率相關黏性阻尼理論，可有效解決黏性阻尼理論中能量耗散與外激勵頻率相關的缺陷問題。

(2) 結合常平均加速度法，推導了頻率相關黏性阻尼運動方程時程積分計算的遞推表達式，算例分析表明，頻率相關黏性阻尼理論時程計算不受地震持時的限制，可有效避免復阻尼理論時程計算中的發散問題。