非對稱雙激振器振動同步傳動

顧大衛， 劉云山，2， 張居乾， 聞邦椿

(1. 東北大學 機械工程與自動化學院， 沈陽 110819； 2. 遼寧軌道交通職業學院， 沈陽 110023)

同步現象在生物、物理、工程及技術領域都發揮著及其重要的作用。研究同步的歷史可以追溯到1665年，Huygens發現了鐘擺的同步現象，并作出了相應的解釋。近年來，學者們在機械系統的同步理論上做出了大量的理論探討和試驗研究，文獻[1- 4]為其中的一些代表。

在工程技術領域，激振器的自同步原理廣泛應用于各大工程、企事業單位當中，極大地促進了社會生產力的發展。例如，自同步振動輸送機、自同步振動篩分機等。在自同步原理的應用中，有一種特殊的同步運轉方式，即當兩個或多個激振器同步運轉過程中，斷掉一個或多個(數量上少于激振器的總數)激振器的電源，斷電激振器仍然能夠跟隨帶電激振器保持同步運轉，不同的是相位差會相對有些許變化，這種現象稱為“振動同步傳動”。此概念是聞邦椿等[5]于1984年首次在國際上提出。Xiong等[6-7]從能量傳遞的角度對其已經有所討論，有關振動同步傳動的過度過程也已通過數值方法給予闡釋。然而，有關電機特性和系統的頻率俘獲及試驗上的進一步驗證和分析卻比較缺乏。

本文以雙機驅動同向回轉超遠共振振動系統(即系統的運轉頻率是其固有頻率的3倍以上)的兩個不對稱放置的激振器同步為例，從系統耦合動力學特性角度進一步加以闡釋和完善，并通過一些數值仿真和實驗來驗證其振動同步傳動機理。

1 系統動力學模型和運動微分方程

圖1為系統動力學模型，兩個同向回轉的激振器安裝于主剛體上，主剛體通過彈簧與基礎相連，兩個激振器分別由兩臺感應電機驅動。整個系統展現出三個自由度，x,y和擺動ψ，激振器1,2分別繞各自旋轉軸轉動，以φ1和φ2表示。

利用拉格朗日方程，可得系統運動微分方程為

(1)

其中

J0i=mir2+j0i,i=1,2

式中：fdi,i=1,2為電機i的軸阻尼系數；le為系統繞質心當量回轉半徑；kx,ky,kψ為x,y和ψ方向的彈簧剛度；fx,fy,fψ為x,y和ψ方向的阻尼系數。

2 振動同步傳動的同步性判據及穩定性判據

設系統穩態運行時兩個激振器轉動的平均相位及相位差為φ和2α，則有

φ1=φ+α,φ2=φ-α

(2)

設平均角速度為ωm0，根據文獻[8-11]，得系統運動微分方程(1)的穩態響應解為

(3)

其中

設θc稱為廣義動態對稱角[12]，其表達式如下

(4)

并引入下列無量綱參數

ρ1=1-Wco1/2,ρ2=1-Wco2/2

根據文獻[9]，將系統運動微分方程(1)整理，并寫成矩陣形式

(5)

其中

2.1 實現振動同步傳動的同步性判據

(6)

其中

式(6)中，TC為系統的頻率俘獲力矩，也稱為廣義動態對稱力矩；TRi為電機i的輸出殘余力矩；TD為兩電機當量有效輸出力矩之差[14]。

|TC|≥|TD|

(7)

式(7)為振動系統實現同步運轉的同步性判據，頻率俘獲力矩TC的大小由系統結構參數和電機的同步轉速兩方面因素決定。

根據文獻[9]，可得到兩個激振器在振動同步傳動狀態下的力矩平衡方程為

(8)

2.2 振動同步傳動狀態的穩定性判據

當兩個激振器已經處于同步狀態且穩態運轉時，切斷電機2的電源，式(5)中的Te02=0,ke02=0，得到振動同步傳動狀態下的頻率俘獲方程

(9)

其中

(10)

(11)

其中

λ3+c1λ2+c2λ+c3=0

(12)

其中

由Rourh-Hurwitz準則[15]可知，當矩陣C的特征方程(12)滿足

c1>0,c3>0,c1c2>c3

(13)

時，平凡解z=0是穩定的。式(13)可進一步整理成

H0>0,H1>0,H3>0,H1H2>H0H3

(14)

H0<0,H1<0,H3<0,H1H2>H0H3

(15)

(16)

根據式(14)，得H3>0，有

(17)

3 數值分析與試驗

圖2為雙機驅動振動同步試驗臺，對應圖1所示力學模型，系統結構參數如下：

β1=90°，β2=140°，r=0.05 m，m1=m2=m0=4 kg，M=330 kg，l01=0.183 m，l02=0.285 m，Jm=17.85 kg·m2，le=0.234 m，rl1=rl2sinβ2，rl1=0.782，rl2=1.218，rm=0.012，kx=190.87 kN/m，ky=150.26 kN/m，kψ=20.65 kN/rad，fx=0.32 kN·s/m，fy=0.32 kN·s/m，fψ=0.28 kN·s/rad，f1=f2=f3=0.002，ξnx=ξny=ξnψ=0.07。兩臺電機型號相同，同向回轉，型號為VB-326-W(380 V，50 Hz，6-pole，Y-連接，額定電壓0.82 A，額定轉速950 r/min，額定功率0.2 kW，激振力0～3 kN，絕緣等級IP54)。

圖2 雙機驅動振動同步試驗臺

3.1 數值分析

在數值分析中，為了匹配試驗系統參數，設激振器1的回轉中心在通過質心o的y軸上，且有：β1=90°，β2=140°，l1=l2sinβ2，rl1=rl2sinβ2。

在式(7)中，可以看出影響系統實現同步的主要參數為Wsoi和WC，是無量綱參數rm,rli,μx,μy,μψ和γx,γy,γψ,βi的函數。在遠共振系統里，μx,μy,μψ及γx,γy,γψ變化很小，因此，主要研究rm,rli,βi,i=1,2對系統頻率俘獲的影響，設rl2≥rl1，β3=π-β2。兩相同電機驅動兩相同偏心塊時，有

(18)

式(16)可以簡化為

WC≥|(Wso1-Wso2)/2|

(19)

圖3(a)是β1=β3=0°條件下頻率俘獲區域，且由式(19)得知無量綱參數rm對頻率俘獲沒有影響。這里rl1rl2平面被分成三個區域：I，II和III，其中區域I和區域III能夠實現頻率俘獲。在區域I中，穩態相位差穩定在2α∈(π/2,3π/2)，在區域III中，穩態相位差穩定在2α∈(-π/2,π/2)。

圖3(b)是βi≠0°(i=1,3)且β1+β3∈(0,π/2)條件下的頻率俘獲區域，其中

Wcc≈rm[2-rl1rl2cos(β1+β3)]，

Wcs≈-rm[rl1rl2sin(β1+β3)]

(20)

當βi≠0°(i=1,3)且β1+β3∈(π/2,π)時，Wcc≥0恒成立，穩態相位差穩定在2α+arctan(Wcs/Wcc)∈(π/2,3π/2)。

(a) β1=β3=0°

(b) β1+β3∈(0,π/2)

由式(4)可知，系統廣義動態對稱角θc的近似計算值如圖4所示，廣義動態對稱角對應于振動系統平均振動能量最小值點[16]。

圖4 系統廣義動態對稱角θc

系統的同步起源存在于系統負載耦合中的廣義動態對稱特性，因此負載耦合中激振器之間的頻率俘獲力矩也稱為廣義動態對稱力矩，其限制相位超前激振器轉速的升高及相位滯后激振器轉速的下降，使得激振器之間的相位差接近系統廣義動態對稱角使得系統實現同步運轉。

由式(6)及穩定性判據(17)得知，當選擇兩臺一樣性質的電機時，兩個激振器之間的相位差2α的近似計算值如圖5所示。

圖5 2α近似計算值

根據式(3)及圖5中2α近似計算值，匯總了振動系統在不同結構參數下的運動形式，如表1所示。

表1中，當結構參數接近對稱時(β1+β3=0°)，由兩個激振器同步運轉所激發的系統的運動形式為圓周運動(rl1rl2>2)和繞質心o的擺動運動(rl1rl2<2)。當0°<β1+β3<180°時，所激發的系統運動形式為擺動運動和圓周運動共存。當β1+β3=180°時，所激發的系統運動形式為擺動運動。可以看出，當振動系統中各個激振器之間的相位差穩定在某特定值附近時，會使系統實現某種特定的運動形式。

表1 振動系統的運動形式

在表1中，當系統的結構參數接近于對稱時(β1+β3=0°)，由兩個激振器同步運轉所激發的系統的運動形式為圓周運動(rl1rl2>2)和繞質心o的擺動運動(rl1rl2<2)。當0°<β1+β3<180°時，系統運動形式為擺動運動和圓周運動共存。當β1+β3=180°時，系統運動形式為擺動運動。可以看出，當振動系統中各個激振器之間的相位差穩定在某特定值附近時，會使系統實現某種特定的運動形式。

綜上所述，在系統同步性判據和同步狀態的穩定性判據都滿足的條件下，振動系統會選擇下列三種運動形式之一：圓周運動，擺動運動，圓周運動和擺動共存。在工程設計中，為實現合理有用的圓周運動，應使β1+β3=0°且盡量增加l01,l02的長度。

Zhang等[11]研究了雙激振器對稱分布情況下的系統振動同步及振動同步傳動，通過對比，可以得出系統結構對稱性越好，兩激振器相位差趨向-θc的趨勢就越好。

3.2 試驗分析

試驗開始時，兩臺振動電機同時以電源供電，通過變頻器控制在40 Hz下工作。每臺振動電機的偏心塊質量可通過調整其偏心塊夾角大小來選擇，本試驗中將兩個偏心塊質量調整為相同：m1=m2=m0=4 kg。

試驗采樣時間80 s，40 s處切斷電機2的電源，采樣頻率1 024 Hz。

如圖6所示，在開始通電的一段時間內，兩臺電機均以相同電源供電，由于兩個激振器的轉動慣量接近相同，因此其角加速度也接近相同。在約10 s處，兩臺電機的角速度與相位差達到穩定狀態，此時同步轉速n1≈797.9 r/min，相位差2α≈188.6°，此結果與圖3(b)和圖5基本一致。

(a) 兩電機轉速

(b) 兩激振器相位差(2α=φ1-φ2)

圖7和圖8為供電頻率40 Hz下高速攝影機記錄的電機2斷電前后系統穩態時的回轉相位圖，以兩個激振器的回轉中心連線為基準線，相位誤差在0°～2°。如圖7所示，電機2斷電前系統穩態時兩個激振器的相位差為187.9°～190.9°。如圖8所示，電機2斷電后系統穩態時即系統實現振動同步傳動時兩個激振器的相位差為206.2°～210.7°。此結果與圖5和圖6(b)基本一致。

(a) φ1≈205.7°,φ2≈15.6°,φ1-φ2≈190.1°

(b) φ1≈299.4°,φ2≈110.7°,φ1-φ2≈188.7°

(c) φ1≈393.6°,φ2≈203.8°,φ1-φ2≈189.8°

(d) φ1≈491.8°,φ2≈300.9°,φ1-φ2≈190.9°

(e) φ1≈586.5°,φ2≈397.7°,φ1-φ2≈188.8°

(f) φ1≈681.3°,φ2≈492.4°,φ1-φ2≈188.9°

(a) φ1≈227.8°,φ2≈21.6°,φ1-φ2≈206.2°

(b) φ1≈321.0°,φ2≈114.7°,φ1-φ2≈206.3°

(c) φ1≈417.4°,φ2≈207.5°,φ1-φ2≈209.9°

(d) φ1≈515.1°,φ2≈306.4°,φ1-φ2≈208.7°

(e) φ1≈609.1°,φ2≈401.5°,φ1-φ2≈207.6°

(f) φ1≈703.2°,φ2≈495.6°,φ1-φ2≈207.6°

將試驗系統結構參數及試驗結果代入系統振動同步傳動狀態下的穩定性判據式(16)和式(17)中，如表2所示，可知振動同步傳動狀態下的穩定性指數都大于零，理論上說明系統穩定，與試驗結果相符合，驗證了所用理論方法的有效性。

表2 電機2斷電后系統振動同步傳動狀態下的穩定性

4 結 論

(1) 利用時間雙尺度法，獲取系統的頻率俘獲方程，給出了系統實現振動同步傳動的同步性判據及同步狀態的穩定性判據。此判據可以為雙機同向回轉自同步振動機實現振動同步傳動提供了理論依據。

(2) 針對當前的動力學模型，要想實現振動同步傳動，首先必須實現雙機同時供電條件下的同步運轉，產生頻率俘獲力矩，以保證系統在振動同步傳動過程中進行扭矩傳遞，使得系統得以繼續保持同步運轉。

(3) 對于當前的力學模型，當系統的結構參數接近對稱時(β1+β3=0°)，由兩個激振器同步運轉所激發的系統運動形式為圓周運動(rl1rl2>2)和繞質心o擺動運動(rl1rl2<2)；當0°<β1+β3<180°時，由兩個激振器同步運轉所激發的系統運動形式為擺動運動和圓周運動共存；當β1+β3=180°時，由兩個激振器同步運轉所激發的系統運動形式為擺動運動。因此在同步性判據和穩定性判據都滿足的條件下，振動系統會選擇下列三種運動形式之一：圓周運動，擺動，圓周運動和擺動共存。在工程設計中，為實現合理有用的圓周運動，應使β1+β3=0°且盡量增加l01,l02的長度。

(4) 電機2斷電前系統穩態時的同步轉速為n1≈797.9 r/min，相位差2α≈188.6°。振動同步傳動狀態下的同步轉速n2≈787.4 r/min，相位差2α′≈206.7°，與電機2斷電前相比，同步轉速下降，相位差增加，但斷電前后相位差的變化及轉速的變化不大。頻率俘獲力矩通過調整兩個激振器之間的相位差來達到系統能量的分配與再分配，從而保證了系統的平衡穩定運轉。

(5) 由于電機2斷電前后系統穩態時兩個激振器的同步轉速和相位差變化不大，因此振動系統的主要運動形式保持不變，即圓周運動和擺動，從而說明了系統實現振動同步傳動對系統的運動形式影響微小。而振動系統的擺動對工業生產毫無意義，在工程上，一般可以通過調整兩臺電機在機體上的位置從而使得β1+β3=0°，rl1rl2>2，從而實現對工程有用的近似圓的圓橢圓軌跡。利用該運動形式可以設計振動輸送機等振動設備。