軌道不平順激勵下懸浮隧道車隧耦合振動響應分析

林 亨， 項貽強， 陳政陽， 楊 贏

(浙江大學 建筑工程學院， 杭州 310058)

懸浮隧道(Submerged Floating Tunnel, SFT)，又名阿基米德橋，是懸浮在水下一定深度的新型封閉式交通結構物[1]。懸浮隧道一般是由隧道管體，限制管體大位移的錨固裝置和與兩岸銜接的駁岸段組成。這種結構能夠適應跨度較長、深度較深的海峽、湖泊、河流等水域，且在改善交通狀況的同時，對周邊環境的影響小。與傳統海底隧道和沉管隧道相比，懸浮隧道與陸地連接的過渡段坡度要小很多，具有工程造價低的優勢。因此，懸浮隧道被視為21世紀最具競爭力的跨江海域交通方案，得到國內外專家和學者的關注[2]。

相比其他結構，懸浮隧道依靠錨固在河床上錨索的張力來平衡自身重力與浮力的差值，在運營過程中常年受到水下洋流和車輛荷載的作用，運營的環境十分復雜。Remseth等[3]基于Navier-Stockes方程，建立考慮流體與固體相互作用的有限元模型，分析討論了懸浮隧道隨機動力響應。麥繼婷等[4]采用空間梁系有限單元模型，考慮波流與懸浮隧道之間的相互作用，討論結構放置深度、波浪入射方向及隧道斷面形式等因素的影響。Sato等[5]認為相對剛度在小于一定范圍的情況下，可以將等間距錨索支撐的懸浮隧道等效為作用在彈性地基上的梁，并在此基礎上推導結構的控制方程。葛斐等[6]利用Hamilton原理推導得到了懸浮隧道管段和錨索的運動控制方程，并采用Airy線性波和Morison方程計算波浪力，分析了波浪場中懸浮隧道的動力響應。晁春峰等[7]以千島湖懸浮隧道錨索為原型，對懸浮隧道錨索在均勻流作用下的渦激振動特性進行了試驗研究。此類研究，加深了人們對這種新型結構受力特性的認識，為后期設計建造懸浮隧道提供理論支撐和依據。

隨著高鐵和輕軌的興起，車輛荷載作用下結構的動力響應問題逐步受到人們的重視，對于懸浮隧道也不例外。Tariverdilo等[8]將移動車輛等效為移動常荷載，考慮流體附加的慣性效應分析了懸浮隧道的動力響應。董滿生等[9]將懸浮隧道簡化為兩端有阻尼的彈性支撐梁，分析考慮了等間距移動荷載對懸浮隧道管體的位移響應。雖然移動荷載能夠近似反映行駛車輛的移動特性，但卻在分析過程中忽略了車輛與隧道在行駛過程中的耦合作用。基于此，本文擬將行駛車輛和懸浮隧道分別抽象為彈簧-質量車和離散彈性支撐梁，并結合Morison方程考慮流體附加慣性效應和阻尼效應，建立懸浮隧道車隧耦合振動控制方程，基于MATLAB采用四階龍格-庫塔法對懸浮隧道在軌道不平順激勵下的車隧耦合振動進行分析，并討論流體環境、軌道不平順、錨索剛度、行駛速度等因素對懸浮隧道動力響應的影響。

1 理論分析模型

對于懸浮隧道而言，一般是由多節標準隧道管體、沿中軸線對稱布置的錨索張力腿、管節連接裝置、錨固裝置等部分組成，錨索之間的間距分別為hi(i=1,2,…,Ns)，如圖1(a)所示。其中，錨索張力腿因管體浮力始終處于張緊狀態，且在一般靜水情況下，張力腿上水平向力通過兩側對稱的錨索分力自平衡抵消，故i位置處張力腿提供的豎向剛度可表示為Ki(i=1,2,…,Ns)，如圖1(b)所示。

為了進一步研究車輛荷載作用下懸浮隧道的動力響應，做以下假定:① 不考慮橫向波流作用，故在靜水環境中隧道管體僅受錨索張力腿豎向約束力的作用；② 隧道兩端與海岸連接，近似簡化為簡支邊界條件，同時，忽略不同管節之間連接構造，將懸浮隧道整體視為Euler-Bernoulli梁；③ 為分析車隧耦合對懸浮隧道動力響應的影響，將行駛車輛簡化為單自由度的彈簧-質量車，且車輛在行駛過程中不與軌道發生分離。

(a) 模型簡化圖

(b) 模型橫斷面

于是，可得到如圖2所示的簡化分析系統模型。

圖2 簡化分析模型

參照橋梁在彈簧-質量車荷載作用下的振動控制方程[10]，懸浮隧道的豎向動力平衡方程可以表示為式(1)所示

(1)

式中：EI為懸浮隧道的豎向彎曲剛度；w為懸浮隧道管體的豎向位移；ms為單位長度懸浮隧道的質量；cs為懸浮隧道的黏滯阻尼系數；δ為Dirac(狄拉克)函數；L為懸浮隧道總長度；Ki和wi分別為i位置錨索張力腿處的豎向剛度和豎向位移；mv為移動彈簧車質量；kv為移動彈簧車剛度；cv為移動彈簧車黏滯阻尼；v為移動彈簧車的速度；u為移動彈簧車相對其靜平衡位置的豎向位移；R表示懸浮隧道軌道不平順程度；fD為隧道管體豎向振動引起的流體對其單位長度的附加慣性力和阻尼力之和。

由Morison公式[11]，fD可表示為

(2)

式中：ρw為流體密度；D為管體直徑；CD為拖曳力系數，Cm為附加質量系數，取CD=0.7，Cm=1.0[12]。

上述式(1)，可采用分離變量法[13]，將懸浮隧道位移w(z,t)表示為如下的形式

(3)

式中：φn(z)為懸浮隧道n階的振型函數;qn(t)為懸浮隧道n階的廣義坐標。對結構兩端簡支約束中間離散支撐的懸浮隧道，其振型函數可近似的取為

(4)

用Galerkin法[14]將該偏微分方程轉化為常微分方程組，整理得

(5)

通過上述變換得到的微分方程組，可見考慮車隧耦合的懸浮隧道結構體系是一個非線性變系數的耦合振動系統。在軌道不平順激勵下，彈簧質量車的豎向振動會引起懸浮隧道的豎向振動，同時結構振動將受到結構周圍流體附加慣性力和流體阻尼力的影響，進一步影響移動彈簧車的豎向振動，懸浮隧道和彈簧質量車的豎向振動相互耦合。

2 軌道不平順模型

軌道不平順具有隨機性，通常采用功率譜來描述軌道不平順的統計特性。這里采用德國研究高速列車時選用的高、低干擾軌道譜模型，對車隧耦合的懸浮隧道動力系統進行振動分析[16]，即

(6)

式中:Ω為軌道不平順的空間頻率，單位為rad/m;Sv(Ω)為垂向不平順功率譜密度，單位為m2/(rad/m);Av為粗糙度常數，高、低干擾軌道譜分別取15.86×10-7rad/m和5.293×10-7rad/m;Ωr,Ωc分別是截斷頻率，取值為0.020 6 rad/m和0.824 6 rad/m。

為了使研究的結果能從本質上反映出軌道不平順和運行速度對系統的影響，把軌道譜從空間域轉換到時間域。由于空間域與時間域譜密度函數對應譜帶寬度內的均方值相等，則有Sv(Ω)dΩ=Sv(ω)dω。當車輛以速度v通過空間頻率為Ω的一個波時，將產生頻率為ω的一次激勵，即ω=vΩ，于是可得

(7)

式中:Sv(ω)為時間域垂向不平順功率譜密度；v為車輛運行速度，單位為m/s;ω為時間域頻率，單位為rad/s；ωr，ωc為時間域截斷頻率，單位為rad/s。

國內外常用的軌道不平順時域樣本數值模擬方法有三角級數、白噪聲濾波法、二次濾波法和逆Fourier變換法[17]。然而由于白噪聲濾波法和二次濾波法模擬的樣本作為激勵輸入時，其計算結果含有密集的高頻成分，計算可信度較低，故采用三角級數法對軌道不平順進行處理。假定軌道不平順為0均值的平穩遍歷高斯(Gaussian)過程，當上、下截止頻率為ωu和ω1時，對于給定的功率譜密度Sx(ω)，用余弦級數對軌道不平順進行模擬。

(8)

3 數值計算方法及算例

根據本文提出的理論及建立的方程，取結構前5階振型函數進行考慮，整個求解的過程如圖3所示。

圖3 數值計算方法流程圖

首先通過三角級數法，根據參數設定得到軌道不平順時域樣本序列，然后通過四階-龍格庫塔迭代計算得到t+Δt時刻結構和小車的位移響應，根據結構的速度響應可求得流體阻尼力。同時，根據車輛在行駛過程中不與軌道發生分離的位移協調假定，將軌道不平順時域樣本序列通過強制位移施加在車輛位移上，進而計算結構與車輛之間耦合作用力。整個過程是基于MATLAB編寫有關程序實現的。

目前，世界范圍內尚無一例建成的懸浮隧道工程實例，故文中懸浮隧道基本參數參考目前國內外擬建懸浮隧道的設計參數[18-19]，其中錨索等間距布置，布置形式相同，具體參數見表1。

基于文中所提出的彈簧質量車模型，假定其總質量為mv=1.2×105kg，彈簧車的剛度為kv=2.1×107N/m，彈簧車的阻尼為cv=85 000 N·s/m，移動速度為v=90 km/h。同時，三角級數法進行時域軌道不平順的模擬，取軌道空間波長為0.01～250 m，分別擬合得到高、低干擾軌道不平順樣本序列，如圖4所示。

表1 懸浮隧道基本參數取值

(a) 低干擾軌道不平順

(b) 高干擾軌道不平順

4 結果分析

4.1 流體環境和軌道不平順的影響

在車輛行駛的路線段，由于軌道相對于理想的平滑軌道位置產生偏差，這種幾何參數偏差稱之為軌道不平順，而軌道的高低不平順是引起行駛車輛豎向振動的主要根源。又因為懸浮隧道常年在水下運營，結構振動時還將受到流體環境效應的影響。基于此，圖5(a)和(b)分別給出考慮流體環境和不考慮流體環境情況下，彈簧-質量車以車速90 km/h行駛在不同軌道不平順激勵下懸浮隧道跨中位置位移時程曲線。可以發現，光滑軌道情況下，由于式(2)中流體慣性項的作用，流體環境中結構跨中位移值為7.28 mm，相比不考慮流體環境結構跨中位移值7.04 mm，增加了3.41%。同時，比較考慮流體環境與不考慮流體環境的結構跨中位移時程曲線發現，在軌道不平順激勵下，跨中位置的位移時程曲線在其對應的光滑軌道位移時程曲線基礎上受迫振動。這說明車隧耦合作用將會對懸浮隧道動力行為產生影響，相比簡化的移動荷載而言這種耦合振動效應不應該被忽視。

(a) 考慮流體環境

(b) 不考慮流體環境

同時，為了定量的分析流體環境對懸浮隧道在不同軌道不平順激勵下的車隧耦合振動的影響。分別將高、低干擾軌道不平順激勵下結構跨中位移值與光滑軌道情況下跨中位移值作差分析，得到高、低干擾軌道不平順激勵下跨中位置在不同時刻位移離差絕對值，并在此基礎上作位移離差包絡圖曲線如圖6所示。

由于軌道不平順具有隨機性，故將不同時刻的位移離差絕對值再作平均，通過該位置處的位移離差均值來定量描述該位置在車輛行駛過程中局部振動程度。由圖6(a)和(b)可知，考慮流體環境懸浮隧道跨中在高、低干擾軌道不平順激勵下的位移離差均值分別為0.769 mm和0.347 mm，占其光滑軌道位移值10.92%和4.77%。而不考慮流體環境懸浮隧道跨中在高、低干擾軌道不平順激勵下位移離差均值分別為0.375 mm和0.222 mm，占其光滑位移值5.33%和3.15%。可以發現無論是否考慮流體環境，結構在低干擾軌道激勵下的位移離差均值要小于高干擾軌道激勵下的位移離差均值，考慮流體環境的位移離差均值要大于不考慮流體效應的位移離差均值。這說明，在高干擾軌道不平順激勵下，車輛行駛作用導致彈性支撐懸浮隧道更劇烈的振動，并且結構振動在流體環境中因為流體慣性力被進一步放大。

(a) 考慮流體環境

(b) 不考慮流體環境

4.2 結構錨索剛度的影響

錨索是懸浮隧道重要的支撐和限位結構，錨索截面、材料以及布置型式等因素通過影響錨索的支撐剛度對懸浮隧道振動特性產生重要的影響。常見的錨索布置形式有“M”型、“X”型和“川”型等[20]。靜水環境中分別取錨索豎向等效剛度K為5×107N/m，8×107N/m和1×108N/m[21]，對懸浮隧道在高、低干擾軌道不平順激勵下跨中位置處的動力響應進行分析計算，得到計算結果如圖7所示。由圖7(a)和(b)可知，當K從5×107N/m增大至1×108N/m時，懸浮隧道在低干擾軌道不平順激勵下跨中最大位移值分別由10.58 mm減小至6.66 mm，兩者相差-37.5%；而其在高干擾軌道不平順激勵下跨中最大位移值從12.03 mm減小至7.79 mm，兩者相差-35.2%。對比發現，在相同干擾軌道不平順激勵下，錨索剛度較大的懸浮隧道，其跨中位移響應就越小。由此可見，錨索剛度對在軌道不平順激勵下的位移響應具有抑制作用。

(a) 低干擾軌道不平順

(b) 高干擾軌道不平順

與此同時，為了分析不同錨索剛度對懸浮隧道整體結構振動的影響，圖8給出具有不同錨索剛度的懸浮隧道分別在高、低干擾軌道不平順激勵下，各位置處的位移離差均值的計算結果。通過圖8(a)和(b)可見，位移離差均值沿著懸浮隧道長度方向起伏變化。受到邊界和彈性支撐約束力影響，邊界位置和錨索支撐處的位移離差均值在不同錨索剛度情況下差別不大，而在各跨中位置處的位移離差均值在不同錨索剛度情況下呈現一定的差異變化。計算結果能夠驗證本文所提出離散彈性支撐模型的準確性。

(a) 低干擾軌道不平順

(b) 高干擾軌道不平順

為分析在高、低不平順激勵下不同錨索剛度懸浮隧道動力行為的差異，比較不同工況下的位移離差均值可見，當K從5×107N/m增大至1×108N/m時，懸浮隧道沿隧道長度方向的整體位移離差均值均有所增加。同時，低干擾軌道不平順激勵下最大位移離差均值分別從0.356 mm增加至0.390 mm；而其在高干擾軌道不平順激勵下最大位移離差均值分別由0.726 mm增加至0.846 mm。相比而言，具有較大錨索剛度的結構整體位移離差均值增幅值要大于較小錨索剛度結構整體位移離差均值增幅值。結果表明，在軌道不平順激勵下，具有較大錨索剛度的懸浮隧道對軌道不平順更敏感，局部振動更劇烈。

4.3 車輛行駛速度的影響

此外，車輛行駛的速度是影響懸浮隧道振動的另一個重要的影響因素。因此，對不同車輛行駛速度為30 km/h、60 km/h、90 km/h和120 km/h時，懸浮隧道在高、低干擾軌道不平順激勵下加速度響應進行計算，得到懸浮隧道跨中加速度響應包絡圖，如圖9所示。由圖9可知，低干擾軌道不平順激勵下，懸浮隧道結構跨中位置在不同行駛速度所對應的最大加速度幅值分別為163.42 mm/s2、126.44 mm/s2、167.73 mm/s2和145.27 mm/s2。而在高干擾軌道不平順激勵下，其所對應的最大加速度幅值分別為256.26 mm/s2、242.40 mm/s2、405.79 mm/s2和392.91 mm/s2。

(a) 低干擾軌道不平順

(b) 高干擾軌道不平順

同時，對不同車輛行駛速度下車體加速度作頻域分析，得到功率譜密度圖，如圖10所示。車輛的自振頻率為2.11 Hz，車體加速度能夠反映車輛振動的特性。比較車體加速度功率譜密度幅值，高干擾軌道不平順激勵下的加速度功率譜密度幅值要高于低干擾軌道不平順激勵下的功率譜密度幅值，且加速度功率譜密度幅值隨著車速增加而增大。

總的來說，低干擾軌道不平順激勵情況下，耦合系統受車輛行駛速度的影響要低于高干擾軌道不平順激勵情況下。快速行駛車輛在高干擾軌道激勵下向耦合系統輸入更多的能量，使耦合系統發生更強烈的振動，故可通過控制車輛行駛軌道的平順度以降低高速通行要求下產生的車隧耦合振動影響。

(a) 30 km/h

(b) 60 km/h

(c) 90 km/h

(d) 120 km/h

5 結 論

本文把車輛行駛在懸浮隧道的動力響應問題抽象為彈簧-質量車作用在兩端簡支的離散彈性支撐梁上的動力模型，并結合Morison方程考慮流體附加慣性效應和阻尼效應，建立了懸浮隧道車隧耦合振動的微分控制方程。通過四階龍格-庫塔法對懸浮隧道在軌道不平順激勵下車隧耦合振動進行分析，討論了流體效應、軌道不平順、錨索剛度和行駛速度等因素對懸浮隧道動力響應的影響，從中可以得到以下結論：

(1) 懸浮隧道車隧耦合振動同時受到軌道不平順和流體作用效應的影響。基于數值計算結果，考慮流體作用效應的結構位移有3%左右的增加；而在軌道不平順激勵下，考慮耦合振動的結構位移平均有5%～10%的增加。可見，這種耦合作用效應在振動分析中不應該被忽視。

(2) 懸浮隧道錨索剛度對在軌道不平順激勵用下結構位移響應具有抑制作用。邊界和錨索支撐位置附近處，結構振動因邊界約束影響受錨索剛度變化影響小；而在其他位置，具有較大錨索剛度的懸浮隧道對軌道不平順更敏感，局部振動更劇烈。

(3) 車輛行駛速度對懸浮隧道在軌道不平順激勵下車隧耦合振動具有一定的影響。通過比較發現，在高干擾軌道激勵下，快速行駛的車輛使耦合系統發生更強烈的振動，故可通過控制車輛行駛軌道的平順度以降低高速通行要求下產生的車隧耦合振動影響。

文中僅分析了單自由度彈簧質量車在軌道不平順激勵下對于懸浮隧道的車隧耦合振動響應的影響，對于多自由度車輛模型及橫向波浪、洋流等共同作用的懸浮隧道動力特性分析有待進一步的研究。