非高斯噪聲環境下的稀疏自適應濾波算法研究*

侯威翰，郭 瑩

（沈陽工業大學 信息科學與工程學院，遼寧 沈陽 110870）

0 引 言

目前，自適應濾波已經被廣泛應用于各種工程，如聲學通信中的回聲消除系統、無線通信中的多徑信道、水下通信和信道估計[1]等。但是，在實際應用中，存在兩個影響算法正常工作的主要因素。

首先是稀疏系統。稀疏信道廣泛存在于自然界，如水下通信的信道。稀疏信道的特點是大部分信道的系數都為零或逼近于零，只有很少部分的信道系數為正常值。具備這種特點的信道會給自適應濾波算法帶來嚴重影響。為了解決這個問題，研究者提出了很多具有針對性的方法，如成比例的歸一化最小均方算法（PNLMS）[2]。此種算法通過引入比例系數矩陣，改善固定步長的算法在對每個濾波器抽頭系數分配步長時出現的不合理現象。比例矩陣可以對每一個濾波器抽頭系數分配到的步長進行二次合理分配，從而避免在為零或者趨近于零的信道點處浪費較大的步長值。但是，這種算法在計算時收斂速度較慢。為了在解決稀疏信道的同時改善算法的收斂速度，一種成比例的仿射投影算法被提出（PAPA）[3]。仿射投影算法建立在歸一化最小均方算法（NLMS）上，引入了數據重用方法，通過輸入數據的瞬時均值來代替統計均值的方法。這種算法的收斂速度要高于歸一化最小均方算法，代價是增大了算法的計算復雜度。但是，單純引入成比例系數矩陣的算法在實際應用中效果并不理想，因為傳統的系數比例矩陣對信道的稀疏度要求很高，只能應用于非常稀疏的系統。但是，實際應用中，信道的稀疏度往往是不固定的，所以需要一種可以適應任意稀疏度的自適應濾波算法。文獻[4]在PAPA的基礎上提出了一種改進的成比例仿射投影算法（IPAPA）。這種改進的比例系數矩陣可以進一步合理分配每個濾波器抽頭系數的步長，從而可以適應各種不同類型的稀疏信道，使自適應濾波算法在保證收斂速度的同時擺脫信道稀疏度的限制。

其次，非高斯噪聲。非高斯噪聲同樣普遍存在于自然界，如圖像處理中的椒鹽噪聲、電氣開關開啟瞬間產生的脈沖噪聲、潮汐或者地震等自然現象在水中產生的噪聲等。這些非高斯噪聲同樣會給自適應濾波算法帶來嚴重破壞，尤其是基于二階統計量的自適應算法。為了解決這個問題，研究者們提出了兩種解決思路，一是仍然使用基于二階統計量的代價函數構成算法，但是引入一些簡化手段來量化計算中的誤差，如符號算法。在自適應濾波算法中，濾波器系數的調整通過誤差的反饋來實現。經過量化后，可以很大程度簡化計算誤差，從而在一定程度上減少來自于非高斯噪聲的干擾。此類算法可以基于LMS算法，也可以基于APA算法，如文獻[5]中提出的仿射投影符號算法（APSA）。但是，這一類算法不能從根本上解決問題，因為符號算法只是在計算誤差上做了簡化運算，沒有從根本上解決非高斯噪聲對二階統計量的破壞問題。基于這種符號運算的算法可能會因為符號運算的引入，使整個算法收斂速度慢甚至發散。針對此，研究者們提出了一系列基于非二階統計量的代價函數，如基于最大相關熵準則（MCC）[6]代價函數的成比例歸一化最大相關熵準則算法（PNMCC）[7]和基于最小誤差熵（MEE）[8]代價函數的成比例最小誤差熵算法（PMEE）[9]。研究者們利用熵這種具有局部相似性的函數替代傳統的二階統計量，建立了一個新的數學模型，然后利用熵這種不確定性的度量來更好地描述非高斯噪聲，從而在根本上解決非高斯噪聲對算法的嚴重干擾。只有很好地解決稀疏系統和非高斯噪聲的問題，自適應濾波算法才能保證那些在特定環境下的工程應用更好地工作。

1 傳統算法的分析

1.1 Alpha穩定分布噪聲

非高斯噪聲有很多種類，本文采用其中一種常見的Alpha穩定分布噪聲進行分析。對于一個隨機變量X，如果它的特征函數Φ滿足[10]：

就稱此隨機變量X服從穩定分布。

由式（1）可知，Alpha穩定分布方程中，涉及到α、β、γ、α四個參數。穩定分布的特性也由這四個參數決定，其中α稱為特征指數，決定了穩定分布的概率密度函數圖像拖尾的厚重程度，取值在0～2。當α=1時，穩定分布服從柯西分布。α=2時，穩定分布服從高斯分布。α的取值越小，穩定分布的沖擊性越強，反之亦然。β被稱為對稱參數，表示穩定分布的概率密度函數偏離分布中心的程度。當β=0時，此時穩定分布也被稱為對稱穩定分布，其概率密度函數的圖像關于中心左右對稱。γ被稱作分散系數，表示穩定分布中的各點對于分布中心的離散程度。a是分布中的位置參數，代表分布的概率密度函數的中心位置。本文中主要考量穩定分布沖擊性的參數是α，可以粗略認α的值被設置的越大，所得到的噪聲的沖擊性就越強。圖1給出了在α取不同值時的穩定分布概率密度曲線。從圖1可知，這種Alpha穩定分布非常適合來描述概率密度曲線類似于高斯分布，但同時有著很強的沖擊性的非高斯分布。在非高斯噪聲的環境下，穩定分布是不存在二階矩的，即該隨機變量不存在方差這一參數。所以，這種非高斯噪聲嚴重破壞了基于二階統計量作為準則的自適應濾波算法。

圖1 當特征指數α取不同值時穩定分布的概率密度曲線

因為對特征指數α進行調整可以直接改變其概率密度函數的波形，所以可以通過調整α來模擬不同沖擊程度的非高斯噪聲。

1.2 基于系數比例步長分配的自適應濾波算法

本文采用存在于稀疏信道中的回聲消除系統作為例子來說明算法的有效性。回聲消除系統作為一種在語音通信中消除回聲的手段，可以很好地抵消信號回聲對通信造成的嚴重影響。回聲消除系統本質上是系統識別的一種，通過采用某一種自適應濾波算法，依靠每次迭代后得到的計算誤差e(k)，驅使自適應濾波算法進行下一次更新。通過計算誤差e(k)的監督，使得模擬的未知系統從初始值慢慢向實際的未知系統的真實值靠近，直到最后達到或者無限趨近于真實值，從而使人為設置的初始系統模擬出未知系統的全貌。這種系統識別方法的原理如圖2所示。

圖2 基于自適應濾波算法的噪聲抵消系統

文獻[2]中，提出了一種可以重新分配各濾波器抽頭系數的算法步長的歸一化最小均方算法（NLMS），即PNLMS。這種算法對于解決在稀疏信道中算法均分步長造成的浪費所導致的不穩定問題提出了一種很好的思路。更新方程為：

其中，濾波器的抽頭系數為：

整體思路基于最小均方算法，核心在于引入比例系數矩陣G(k)，是以gn(k)作為其主對角線元素的對角矩陣，定義為：

Benesty在文獻[11]中提出了一種系數比例方法的改進算法，即改進的成比例歸一化最小誤差算法（IPNLMS）。算法中最主要的改進在于比例系數的步長參數gn(k)，其定義為：

這種算法有著更合理的步長分配機制，同時又有著不慢于PNLMS算法的收斂速度。在處理非稀疏問題時，這種算法依然可以保持著不慢于最基礎的歸一化最小均方算法（NLMS）的收斂速度。此算法通過對參數的調整，使得算法本身介于NLMS算法和PNLMS算法之間，同時擁有對信道稀疏度的適應性和對非稀疏系統的穩定性兩種優點。

引入成比例思想后，針對稀疏系統的自適應濾波算法的范圍迅速擴展。基于支持算法的硬件的快速發展，對算法的收斂速度的需求開始大于對算法復雜度的要求。一種收斂速度快的算法往往可以被廣泛應用，所以數據重用技術被引入自適應濾波算法，基于這種方法的算法也被稱為仿射投影算法（APA）。仿射投影算法的更新方程與歸一化最小均方算法一致，區別在于輸入信號將X在數據重用后記為Xap，其中P為投影階數。

基于此，所有以NLMS為基礎的算法都可以經過輸入信號的數據重用后變為仿射投影（AP）類的算法，如PAPA[12]的更新方程為：

其中的比例矩陣G(k)的主對角線元素gn(k)按照式（4）、式（5）和式（6）更新。

按照這種思路，文獻[13]提出了改進的成比例仿射投影算法（IPAPA）。它與PAPA算法的主要區別為比例矩陣G(k)的主對角線元素gn(k)按照式（7）更新。在以上這些成比例算法的基礎上，Deng等人進一步對比例矩陣的模型進行優化，提出了μ律成比例歸一化最小均方算法（MPNLMS）[14-16]和簡化的成比例歸一化最小均方算法（SPNLMS）[14-16]。至此，這兩種算法的出現，基本解決了在稀疏信道中算法步長合理分配的問題。

1.3 基于符號運算的自適應濾波算法

在解決非高斯噪聲的問題上，研究者首先通過某種特殊的運算達到簡化計算誤差e(k)的目的。符號函數是一種有著量化作用的函數，其定義為：

通過符號函數sign(X)量化誤差e(k)，從而使誤差從無數種可能性簡化為三個固定的取值。這樣算法本身只能通過三種固定的誤差值進行更新迭代，使得算法更加不易受到外界有著沖擊性的噪聲干擾，從而在某種程度上回避了非高斯噪聲的破壞性影響。代表算法有仿射投影符號算法（APSA），其更新方程為：

一定程度上通過符號運算解決了非高斯噪聲的影響后，人們在考慮是否可以同時解決經常并行存在的非高斯噪聲和稀疏系統的問題。所以將比例系數的思想和符號運算同時引入APA算法，就可以得到新的成比例的仿射投影符號算法（PAPSA）和（IPAPSA）。其更新方程為：

其比例矩陣G(k)的主對角線元素gn(k)按照式(7)更新。

至此，自適應濾波算法可以在一定程度上抵御在稀疏系統中非高斯噪聲的影響，這些算法在如水下噪聲消除、房間中的通話回聲抵消等系統中得到了很好的應用。

2 基于非二階統計量的新算法

2.1 基于最大相關熵的自適應濾波算法

對于隨機變量X，它的Shannon熵被定義為：

其中N表示數據的個數，Pk表示第k個數據出現的概率。Renyi在Shannon熵的基礎上，進一步提出了α階Renyi熵，其表達形式為：

其中Vα(X)被稱為α階信息勢能，本文中使用的是當α=2時的二階信息勢能。它通過Parzen窗法得到的估計值為：

其中Kσ2為核函數，σ為核函數的長度。常見的核函數有多項式核函數和高斯核函數。出于對核函數的泛用性考量，文中選用的為高斯核函數，其表達式為：

將式（16）代入式（15），可得到關于隨機變量X與Y之間的互相關熵的表達式：

基于此，Liu提出了一種基于最大相關熵準則（MCC）的仿射投影算法（MCCAPA）[17]，其更新方程為：

至此，MCC準則的引入，使得自適應濾波算法從真正意義上擺脫了二階統計量的束縛，大幅增加了對于非高斯沖擊噪聲的抗干擾能力。

2.2 基于最小誤差熵的自適應濾波算法

利用熵這種對于不確定性的度量，研究者們又提出了一種同樣基于Renyi熵，但是約束對象從輸入信號變為計算誤差的新理論，即最小誤差熵理論（MEE）。Peng在這種理論的基礎上提出了一種成比例的最小誤差熵算法（PMEE）[9]。由式（17）可知，當相關熵的輸入部分變為兩次計算的誤差之間的差值時，相關熵就變為了誤差熵（Error Entropy）。誤差熵的原理是使兩次計算誤差之間的差值的混亂程度最小，使得計算誤差e(k)逐漸隨著迭代次數趨向規律。這樣就可以通過一個量來約束誤差的混亂程度，從而使每次迭代后進入自適應濾波器的誤差反饋可以更加規律地反映每次計算的效果，保證計算誤差平穩減小，直到最后無限趨近于零。基于最小誤差熵理論的代價函數為：

將MEE的代價函數對濾波器抽頭系數W求偏導并代入梯度下降法[18]的框架：

可以得到新的PMEE算法的更新方程為：

其中比例系數矩陣G(k)的主對角線元素gn(k)按照式（4）、式（5）和式（6）更新。PMEE是一種在抵御非高斯噪聲干擾時，同時兼顧稀疏系統的算法。

在此基礎上，可以引申出更加復雜的算法，進一步加強自適應算法在特定環境中的適應性。例如，可以將改進的比例系數矩陣（7）引入PMEE算法，或者將μ律的成比例矩陣（MP）、簡化的成比例矩陣（SP）引入其中，得到IPMEE算法、MPMEE算法或者SPMEE算法，使得算法在二次分配步長時同樣能保證較快的收斂速度和較低的計算復雜度。

3 實驗結果

3.1 實驗中的參數設置

將各類算法應用至圖2所示的自適應回聲抵消系統中，本文使用MATLAB進行仿真。實驗中采用由式（23）生成的稀疏信道對稀疏系統進行模擬。

本文中通過使用二階AR模型（24）將高斯白噪聲有色化來模擬語音信號，其表達式為：

實驗中設置的未知信道的階數和濾波器階數均為120階，迭代次數為40 000次。涉及到仿射投影的算法，其投影階數均為P=4，信噪比SNR=10。非高斯噪聲由Alpha穩定分布生成，其分布中的特征指數α=1.2。噪聲的圖像如圖3所示。

圖3 當α=1.2時由穩定分布所生成的非高斯噪聲

使用歸一化均方偏差（NMSD）作為衡量算法性能的指標，其定義為：

其中wi為每次迭代后的濾波器抽頭系數，w0為未知信道的真實值。通過NMSD可以整體上表述經過自適應算法調整過后的初始濾波器抽頭系數與未知信道之間的偏離。這個值越小，說明算法調整后的自適應濾波器越逼近未知信道。NMSD值下降的越快，說明算法的收斂速度越快。而NMSD值進入平穩狀態后波動越小，說明算法對未知信道的跟蹤能力越強。

3.2 仿真結果及分析

本文選用了PMEE、MCCAPA、PAPA、PAPSA以及IPAPSA五種算法進行對比，其中囊括了基于二階統計量（PAPA，PAPSA，IPAPSA）和非二階統計量（PMEE，MCCAPA）的算法，分別包含兩種不同的比例矩陣的算法（P/IP），以及基于傳統的LMS類（PMEE）和基于數據重用的APA類（MCCAPA，PAPA，PAPSA，IPAPSA）算法。仿真得到的各算法NMSD曲線如圖4所示。

圖4 文中各類算法的NMSD曲線

通過實驗可以明顯觀察到，同時兼顧稀疏系統特性和非高斯噪聲干擾的PMEE算法有著最快的收斂速度、最低的NMSD值和波動最小的平穩狀態。此外，和PMEE收斂速度類似，但是波動稍大的是MCCAPA算法，但是這種算法的NMSD值卻相較于PMEE算法大很多。可見，在稀疏信道中，稀疏性的干擾會對沒有采用比例系數方法的算法造成較大程度的破壞。對于PAPSA和IPAPSA兩種算法，由于采用的都是APA的算法基礎，所以它們有著類似的收斂速度。但是，由于改進后的比例系數矩陣可以更加合理地分配步長，因此基于IP的算法IPAPSA在稀疏系統中有著比PAPSA算法更加低的NMSD值。以上四種方法從整體上比較，基于非二階統計量的兩種算法（MCCAPA，PMEE）要優于基于傳統二階統計量并使用符號運算進行誤差量化的兩種算法（PAPSA，IPAPSA），改進后的成比例算法（IPAPSA）要優于傳統的成比例算法（PAPSA）。在以上選擇的五種算法中，表現最差的為成比例仿射投影算法（PAPA）。因為它既沒有采用改進后的比例系數矩陣（IP），也沒有采取任何抵御非高斯噪聲的手段，所以在這兩種負面環境的強烈干擾下，此算法基本失效。

4 結 語

本文針對稀疏系統和非高斯噪聲兩種對自適應濾波算法有著嚴重影響的環境進行了分析，并且選用了五種現有的算法進行仿真比較。經過仿真驗證后發現，在稀疏系統中，比例系數矩陣可以保證算法分配出較大的步長給不為零的信道點。對于值為零或者趨近于零的信道點，則分配以較小的步長，在此基礎上建立的更加合理的分配方法即為改進的比例系數矩陣。基于這種方法的算法在稀疏系統中比起基于未改進的傳統比例系數矩陣的算法有著較低的穩態值。未在本文中列舉的新的成比例算法，如有著更快收斂速度的μ率成比例方法（MP）、有著和MP方法幾乎同樣的收斂速度、計算復雜度較低的簡化成比例方法（SP）。如果將它們應用于對非高斯噪聲有魯棒性的算法中，可以起到更好的效果。

對于非高斯噪聲的影響，目前主流的解決方法分為兩大類，即采用量化誤差的手段和使用非二階統計量重新構造代價函數的手段。本文在實驗中也選用了屬于這兩大類中的五種算法，分別驗證了二者的優劣。經試驗驗證，非二階統計量（例如Renyi熵）能夠更加準確地描述非高斯噪聲。這種代價函數要比傳統的代價函數更加適用于非高斯噪聲中的魯棒性算法的構造。無論是最大相關熵算法（本文中選用的算法為MCCAPA）還是最小誤差熵算法（本文中選用的算法為PMEE），其在非高斯噪聲中的表現均要好于其他種類的算法。

由于稀疏系統和非高斯噪聲廣泛存在于自然界，未來自適應濾波算法和其自適應的設計思路也會被應用于更加廣泛的領域。這樣不免會出現以上兩種情況同時存在對自適應算法的干擾。針對這種情況，系數成比例思想和非二階統計量將成為兩個重要的解決問題的工具，并被廣泛應用于如稀疏信道估計、水下噪聲消除等領域。雖然這兩種方法都存在一定的不足，如非二階統計量會增大算法的計算復雜度，增加硬件設備的計算量，但其對自適應濾波算法已經產生了深遠影響。今后研究者們也會進一步加強對稀疏系統和非高斯噪聲問題的研究，提出收斂速度更快、穩定性更高、對未知系統跟蹤效果更好的自適應濾波算法。