淺談全國高考文科數(shù)學(xué)中的數(shù)列

石玲 汪舒琪 王婷婷 陳陽 李媛媛

摘 要：隨著新課標(biāo)的全面實施，數(shù)列成為全國高考必考內(nèi)容且分值不低，本文通過對近幾年的全國文科數(shù)學(xué)高考卷的分析，利用等比、等差數(shù)列的通項公式，前n項和公式，求Sn最大、小值，判斷是否為等差、等比數(shù)列，采用裂項相消法和錯位相減法求前n項和等方法解決高考數(shù)列問題。

關(guān)鍵詞：錯位相減;裂項相消;通項公式

一對等比數(shù)列的考察

縱觀近5年全國高考數(shù)學(xué)文科卷，主要考察等比數(shù)列的通項公式，前n項和公式，分類討論思想（q是否等于一）等基礎(chǔ)知識與基本運(yùn)算，其中等比數(shù)列中基本量的求解，可利用通項公式及前n項和建立a1，q，n，an，Sn五個基本量之間的關(guān)系式，即“知三求二”，但an=

sn-sn-1時要n=1和n>=2討論。

1（2019全國一卷文14）.記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和。若a1=1，s3=3/4則S4=5/8

優(yōu)解一：設(shè)公比為q，由S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2）=34，a1=1，得1+q+q2=34， 解得q=-12，所以a4=a1 q3=-18，，所以S4=S3+a4=58。

優(yōu)解二：設(shè)公比為q，易知q≠1，設(shè)數(shù)列的前n項和Sn=A（1-qn）（其中A為常數(shù)），則a1=S1=A（1-q）=1①，S3=A（1-q3）=

34②，由①②A=23，q=-12，S4=58。

二數(shù)列與初等函數(shù)的結(jié)合

將數(shù)列與對數(shù)函數(shù)結(jié)合，這要求學(xué)生在熟練地掌握數(shù)列的基本知識的同時也要掌握對數(shù)函數(shù)基本運(yùn)算和對數(shù)性質(zhì)。

1（2019全國二卷文18）已知{an }是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1.=2，a3=2a2+16

（1）求{an}的通項公式;

（2）設(shè)bn=log2 an ，求數(shù)列{bn }的前n項和。

解：（1）設(shè){an }的公比為q，由題設(shè)得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0。解得q=-2（舍去）或q=4。因此{(lán)an}的通項公式為an=2×4n-1=2

2n-1

（2） bn=（2n-1）log2 2=2n-1，數(shù)列{bn }前n項和為1+3+…+2n-1=n2。

三對等差數(shù)列的考察

縱觀近5年全國高考數(shù)學(xué)文科卷，與等比數(shù)列相似，考察學(xué)生對等差數(shù)列通項公式，前n項和公式和等差數(shù)列基本性質(zhì)的掌握情況，其中，數(shù)列的遞推關(guān)系是求數(shù)列的通項公式的重要依據(jù)，若所給條件是關(guān)于通項an與前n項和的等式，求解時，先令n=1，求出a1再借助an+1=Sn+1-Sn，求出數(shù)列各項之間的關(guān)系，這是判斷數(shù)列類型的重要依據(jù)，也是解題的關(guān)鍵。

（2019全國一卷文18）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求{an}的通項公式;（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍。

解：（1）設(shè){an}公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.

由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8，d=-2.{an}的通項公式為an=10-2n.

（2）由（1）得a1=-4d，故an=（n-5）d。sn=n（n-9）d2由a1>0知d<0，故Sn…an等價于n2-11n+10，0，解得1≤n≤10.n取值范圍是{a|1 n 10，n∈N}。

四判斷是否為等差、等比數(shù)列

等差數(shù)列的判定與證明方法：1定義法：用定義法時常用兩個式子an-an-1=d和an+1-an=d有差別，前者必須加上n≥2，否則n=1時a0沒有意義，2等差中項法，2an=an-1+an+1 （n≥2，n∈N*）成立，3通項公式法an=pn+q對任意正整數(shù)n都成立，4前n項和公式法：驗證數(shù)列{an }前n項和Sn=An2+Bn（A，B為常數(shù)）對任意正整數(shù)n都成立，{an}為等比數(shù)列，an>0→{loga an }為等差數(shù)列（a>0，a≠1）與等差數(shù)列相似，綜上等比數(shù)列判定與證明四種方法，只是數(shù)列性質(zhì)不同而已。

1.（2018全國一卷文17）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設(shè)bn=ann。

⑴求b1，b2，b3⑵判斷數(shù)列{bn}是否等比數(shù)列，并說明理由⑶求{an}的通項公式。

【解題思路】由nan+1=2（n+1） an，得到an+1=2（n+1）n an，所以a2=4，a3=12，分別代入bn=

ann，求出b1，b2，b3;（2）由題設(shè)條件得出bn+1=2bn，即可證明數(shù)列是{bn}等比數(shù)列;（3）由（2）結(jié)論求出{bn}通項公式進(jìn)一步求出{an}通項公式。

解 （1）有條件可得an+1=2（n+1）n an，將n=1代入得a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4。

將n=2代入得a3=3a2，所以，a3=12，從而b1=1，b2=2，b3=4。

（2）{bn }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，an+1n+1=2ann。即bn+1=2bn，所以{bn }是首項為1，公比為2的等比數(shù)列. （3）由（2）可（下轉(zhuǎn)第84得ann=2n-1，所以an=n2n-1

五裂項相消法和錯位相減法

既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列時，求數(shù)列前n項和時可以裂項相消，錯位相減，倒序相加和分組求和，其中裂項相消是把數(shù)列和式中的各項分別裂開后，消去一部分從而計算和的方法，適用于通項為1an an+1的前n項和，其中{an }為等差數(shù)列，1an an+1=1d （1an -1an+1 ），常見的拆項方法有：an=f（n+1）-f（n）;an=1n（n+1） =1n

-1n+1;an=1（2n-1）（2n+1） =12 （12n-1-

12n+1）;an=1n（n+1）（n+2） =12[1n（n+1） -1（n+1）（+2n） ];錯位相減主要用于求數(shù)列{an，bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差和等比數(shù)列.

1（2017全國三卷文17）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

求{an}的通項公式;（2）求數(shù)列{an2n+1}的前n項和.

解（1）∵a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，①∴n≥2時，a1+3a2+…+（2n-1）an-1=2（n-1），②①-②得，（2n-1）an=2，an=22n-1，又n=1時，a1=2適合，∴an=22n-1;（2）由（1）an2n+1=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，∴Sn=

a13+a25+…an2n+1=（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1=2n2n+1.

[參考文獻(xiàn)]

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第五版），高等教育出版社，2002.

[2]潘承洞、潘承彪《初等數(shù)論（第三版）》， 北京大學(xué)出版社，2013年8月

（作者單位：江漢大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）