淺談全國高考文科數學中的數列

石玲 汪舒琪 王婷婷 陳陽 李媛媛

摘 要：隨著新課標的全面實施，數列成為全國高考必考內容且分值不低，本文通過對近幾年的全國文科數學高考卷的分析，利用等比、等差數列的通項公式，前n項和公式，求Sn最大、小值，判斷是否為等差、等比數列，采用裂項相消法和錯位相減法求前n項和等方法解決高考數列問題。

關鍵詞：錯位相減;裂項相消;通項公式

一對等比數列的考察

縱觀近5年全國高考數學文科卷，主要考察等比數列的通項公式，前n項和公式，分類討論思想（q是否等于一）等基礎知識與基本運算，其中等比數列中基本量的求解，可利用通項公式及前n項和建立a1，q，n，an，Sn五個基本量之間的關系式，即“知三求二”，但an=

sn-sn-1時要n=1和n>=2討論。

1（2019全國一卷文14）.記Sn為等比數列{an}的前n項和。若a1=1，s3=3/4則S4=5/8

優解一：設公比為q，由S3=a1+a2+a3=a1（1+q+q2）=34，a1=1，得1+q+q2=34， 解得q=-12，所以a4=a1 q3=-18，，所以S4=S3+a4=58。

優解二：設公比為q，易知q≠1，設數列的前n項和Sn=A（1-qn）（其中A為常數），則a1=S1=A（1-q）=1①，S3=A（1-q3）=

34②，由①②A=23，q=-12，S4=58。

二數列與初等函數的結合

將數列與對數函數結合，這要求學生在熟練地掌握數列的基本知識的同時也要掌握對數函數基本運算和對數性質。

1（2019全國二卷文18）已知{an }是各項均為正數的等比數列，a1.=2，a3=2a2+16

（1）求{an}的通項公式;

（2）設bn=log2 an ，求數列{bn }的前n項和。

解：（1）設{an }的公比為q，由題設得2q2=4q+16，即q2-2q-8=0。解得q=-2（舍去）或q=4。因此{an}的通項公式為an=2×4n-1=2

2n-1

（2） bn=（2n-1）log2 2=2n-1，數列{bn }前n項和為1+3+…+2n-1=n2。

三對等差數列的考察

縱觀近5年全國高考數學文科卷，與等比數列相似，考察學生對等差數列通項公式，前n項和公式和等差數列基本性質的掌握情況，其中，數列的遞推關系是求數列的通項公式的重要依據，若所給條件是關于通項an與前n項和的等式，求解時，先令n=1，求出a1再借助an+1=Sn+1-Sn，求出數列各項之間的關系，這是判斷數列類型的重要依據，也是解題的關鍵。

（2019全國一卷文18）記Sn為等差數列{an}的前n項和，已知S9=-a5.

（1）若a3=4，求{an}的通項公式;（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范圍。

解：（1）設{an}公差為d.由S9=-a5得a1+4d=0.

由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8，d=-2.{an}的通項公式為an=10-2n.

（2）由（1）得a1=-4d，故an=（n-5）d。sn=n（n-9）d2由a1>0知d<0，故Sn…an等價于n2-11n+10，0，解得1≤n≤10.n取值范圍是{a|1 n 10，n∈N}。

四判斷是否為等差、等比數列

等差數列的判定與證明方法：1定義法：用定義法時常用兩個式子an-an-1=d和an+1-an=d有差別，前者必須加上n≥2，否則n=1時a0沒有意義，2等差中項法，2an=an-1+an+1 （n≥2，n∈N*）成立，3通項公式法an=pn+q對任意正整數n都成立，4前n項和公式法：驗證數列{an }前n項和Sn=An2+Bn（A，B為常數）對任意正整數n都成立，{an}為等比數列，an>0→{loga an }為等差數列（a>0，a≠1）與等差數列相似，綜上等比數列判定與證明四種方法，只是數列性質不同而已。

1.（2018全國一卷文17）已知數列{an}滿足a1=1，nan+1=2（n+1）an，設bn=ann。

⑴求b1，b2，b3⑵判斷數列{bn}是否等比數列，并說明理由⑶求{an}的通項公式。

【解題思路】由nan+1=2（n+1） an，得到an+1=2（n+1）n an，所以a2=4，a3=12，分別代入bn=

ann，求出b1，b2，b3;（2）由題設條件得出bn+1=2bn，即可證明數列是{bn}等比數列;（3）由（2）結論求出{bn}通項公式進一步求出{an}通項公式。

解 （1）有條件可得an+1=2（n+1）n an，將n=1代入得a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4。

將n=2代入得a3=3a2，所以，a3=12，從而b1=1，b2=2，b3=4。

（2）{bn }是首項為1，公比為2的等比數列，an+1n+1=2ann。即bn+1=2bn，所以{bn }是首項為1，公比為2的等比數列. （3）由（2）可（下轉第84得ann=2n-1，所以an=n2n-1

五裂項相消法和錯位相減法

既不是等差數列也不是等比數列時，求數列前n項和時可以裂項相消，錯位相減，倒序相加和分組求和，其中裂項相消是把數列和式中的各項分別裂開后，消去一部分從而計算和的方法，適用于通項為1an an+1的前n項和，其中{an }為等差數列，1an an+1=1d （1an -1an+1 ），常見的拆項方法有：an=f（n+1）-f（n）;an=1n（n+1） =1n

-1n+1;an=1（2n-1）（2n+1） =12 （12n-1-

12n+1）;an=1n（n+1）（n+2） =12[1n（n+1） -1（n+1）（+2n） ];錯位相減主要用于求數列{an，bn}的前n項和，其中{an}，{bn}分別為等差和等比數列.

1（2017全國三卷文17）設數列{an}滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.

求{an}的通項公式;（2）求數列{an2n+1}的前n項和.

解（1）∵a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，①∴n≥2時，a1+3a2+…+（2n-1）an-1=2（n-1），②①-②得，（2n-1）an=2，an=22n-1，又n=1時，a1=2適合，∴an=22n-1;（2）由（1）an2n+1=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，∴Sn=

a13+a25+…an2n+1=（1-13）+（13-15）+…+（12n-1-12n+1）=1-12n+1=2n2n+1.

[參考文獻]

[1]同濟大學數學系，《高等數學》（第五版），高等教育出版社，2002.

[2]潘承洞、潘承彪《初等數論（第三版）》， 北京大學出版社，2013年8月

（作者單位：江漢大學數學與計算機科學學院，湖北 武漢 430056）