弱耦合對耦合映像集體動力學行為的影響

張 玢

(渭南師范學院 網絡安全與信息化學院，陜西 渭南 714099)

0 引言

耦合混沌系統在實際系統中廣泛存在，如生態系統、神經網絡、化學反應系統、物理系統，以及社交、金融、工程等許多領域。[1-2]通常情況下，耦合會使系統行為同步化。對耦合混沌系統同步的開創性研究始于1990年，Pecora和Carroll[3]在實驗中實現兩個耦合混沌系統的同步，提出混沌同步的方法，并討論混沌同步軌道的穩定性。自此，科學家對耦合混沌系統的同步化進行了大量研究。研究發現，隨著耦合強度和動力學內稟屬性的不同，耦合混沌系統的同步行為會表現出不同的形式[4-6]，如完全同步[7-9]、廣義同步[10-12]、相同步[13-15]、部分同步[16-18]、時滯同步[19-21]等等。

然而，在弱耦合的情況下，系統會展現出一些奇特的現象。Zhou Yin-zuo小組在研究基于無標度網絡的耦合邏輯斯蒂映像時，研究了弱耦合時系統的集體動力學行為。[22]隨著耦合強度的增加，對于選擇兩帶混沌融合后的分岔參數的系統而言，作者發現了以下兩個有趣的現象：第一，在耦合強度非常弱的情況下，發現系統最大李雅普諾夫指數突然減小，這意味著系統的集體動力學行為會變得更加有規律，進一步研究表明，系統處于延遲相同步狀態，并且每個節點的時間序列都是周期五。有意思的是，在該區間之外，沒有表現出周期行為。因此，穩定的周期五軌道是由相鄰節點之間的弱耦合引發的。第二，對于弱耦合區域，耦合不足夠引發全局相同步，因此會存在許多方向相集團。一般而言，集團的個數會隨著耦合強度的增加而不斷減少。但作者觀測到，隨著耦合強度的增加，方向相集團的個數在不斷增加，直到大于臨界耦合強度時，集團個數才會不斷減少。筆者在基于模塊網絡的耦合邏輯斯蒂映像的研究中，也發現存在一個弱耦合強度區間，該區間內系統處于延遲相同步狀態，并且每個節點的時間序列都是周期五的。

總結兩篇文章的相同點，相同的動力學系統，相同的耦合方式，均發現了系統在一定的弱耦合強度下處于延遲相同步狀態。不同點為網絡不同，動力學的參數雖然不同，但都處于一帶混沌區，系統表現出周期行為所處的耦合強度區間不同，隨著耦合強度的增加，方向相集團個數的變化規律不同。由此可見，弱耦合對系統的影響非常復雜，但又具有一定的共性，該課題的研究應引起足夠的重視。然而, 以上研究均局限在特定動力學參數、特定網絡結構下，并未做系統性研究。由此引發思考:動力學參數不同時，弱耦合對系統的影響是否相同；網絡結構不同時，弱耦合對系統的影響又是怎樣的。本文引入一個序參量來刻畫系統的集體行為，基于耦合映像格子，在弱耦合時，對動力學參數做系統性研究。基于不同的網絡結構時，該序參量也能夠準確判斷出系統方向相的狀態，并與Liu小組和筆者的研究結果相印證。

1 模型

筆者采用周期邊界條件的二維耦合映像格子，每個格點的動力學行為滿足如下方程：

xt+1(i,j)=f(xt(i,j))+ε[f(xt(i+1,j))+f(xt(i-1,j))+

f(xt(i,j+1))+f(xt(i,j-1))]/4。

(1)

其中：ε為耦合強度，f(x)為每個格點的動力學方程，選擇邏輯斯蒂映像，采用的系統尺寸為L×L(L=100)。

對于邏輯斯蒂映像f(x)=μx(1-x)，μ是其分岔參數，μ∈[1,4]，并且0

(a)分岔圖； (b)序參量r和分岔參數μ的關系

研究表明，當μ<μ1時，x的迭代遵循一個向上方向連著一個向下方向的規律。當μ>μ1時，會出現連續兩個向上方向。[23]基于此，作者引入了方向相的定義。對于格點i，如果t+1時刻x的值大于t時刻x的值，表明它處于向上相位，并標記為“+1”；反過來則表明處于向下相位，標記為“-1”。用St(i)表示方向相，其定義如下：

(2)

2 數值模擬

本文主要研究弱耦合對系統集體行為的影響。分別用序參量r和格點的時間序列來描述系統的集體動力學行為,序參量的定義如下:

(3)

為了得到更多的認識，先對單映像時μ與r的關系進行研究，如圖1所示。從圖1(a)可以看出，在μ1處，出現了兩帶融合的現象。該處的融合是由于不穩定周期一軌道和混沌吸引子碰撞所引起的混沌危機。[24]對于μ<μ1，r=1，表明系統處于方向相有序狀態，從x的時間序列圖2(a)中可以看到，系統只存在一上一下的方向相。對于μ>μ1，r=0，表明系統處于方向相無序狀態，存在連續兩個向上的方向相，如圖2(b)所示。與此同時，對應周期窗口處，r有非零值。

(a)μ=3.65； (b) μ=3.75

對單映像有了一定的了解之后，再考慮二維耦合映像格子(公式(1))。圖3描述了對于耦合映像格子在不同耦合強度下，序參量r隨著μ的變化關系。從圖3可見，隨著耦合強度的增加，存在臨界分叉參數μc，在該處r值突然變為0。從圖3中還可以看出，μc隨著耦合強度的增加而增加。另外，周期窗口的參數區間，隨著耦合強度的增加不斷變化，直到ε=0.017時，周期窗口完全消失。由此可見，利用序參量r，可以有效地識別系統方向相所處的狀態，并且能夠準確地判斷出分岔參數的臨界點，以及周期窗口所在的分岔參數區間和所需耦合強度大小。

圖3 不同耦合強度下序參量r與分岔參數μ的關系

進一步研究發現，弱耦合對系統集體動力學行為有3種類型的影響，下面通過x的時間序列來具體刻畫。第一類，無耦合時系統方向相無序，有耦合后先處于周期狀態，隨著耦合強度進一步增加，方向相又變為無序狀態。選取μ=3.866舉例說明。從圖4中可以看出，當ε=0時，任意3個相連格點的方向相處于無序狀態。然而耦合強度有微弱增加時，如ε=0.013，系統就會處于周期運動狀態。隨著耦合強度進一步增加，ε=0.017，系統的方向相又變為無序狀態。

參數為μ=3.866，耦合強度分別為(a) ε=0； (b) ε=0.013； (c) ε=0.017

第二類，無耦合時系統方向相無序，有耦合后變為有序狀態。以ε=3.7為例，從圖5可以看到，當耦合強度從0增加到0.016時，系統的方向相從無序變為有序狀態。

參數為μ=3.7，耦合強度分別為(a) ε=0； (b) ε=0.016

第三類，無耦合時系統方向相是周期狀態，有耦合后變成無序狀態。圖6展示ε=3.742時x的時間序列。很明顯，弱耦合使得系統的方向相從周期五的相延遲同步狀態，轉變為無序狀態。

參數為μ=3.742，耦合強度分別為(a) ε=0； (b) ε=0.013

3 結論

本文研究了弱耦合對二維耦合邏輯斯蒂映像格子系統的集體動力學行為的影響，基于方向相引入了序參量，用其刻畫了系統方向相的狀態，并對動力學分岔參數做了系統研究。研究結果表明，弱耦合對系統集體行為的影響非常復雜。首先，弱耦合的作用能夠引起周期窗口消失。其次，弱耦合對無耦合時系統方向相處于無序狀態的影響路徑有兩種：第一，隨著耦合強度的增加，系統會先經歷周期狀態，再變為無序狀態。第二，有了弱耦合的作用，系統方向相會直接從無序狀態變為有序狀態。最后，當系統無耦合處于周期狀態時，弱耦合使系統集體動力學行為變為無序狀態。值得一提的是，用本文的研究方法能夠得到與Zhou Yin-zuo小組相同的結論。此外，本文只局限于一種網絡拓撲結構，并未對同種網絡拓撲結構的屬性變化以及不同網絡拓撲結構進行研究，這將是我們后續工作的研究方向。