淺議均值不等式在高等數學中的應用

摘 要：在高中數學的教學環節當中，均值不等式是其教學中的重點內容，對于我們高中生來說，其也是學習的難點。均值不等式在高中數學當中有著極為廣泛的應用，能夠有效幫助我們解決一些難題，簡化解題過程。事實上，均值不等式在高中數學的學習過程中以及高等數學中都有較為廣泛的應用，能夠有效幫助證明高等數學中的一些基本概念及定理。本文就以均值不等式在高等數學中的應用進行研究，以進一步明確均值不等式在高等數學中的應用。

關鍵詞：均值不等式；高等數學；應用

引言：均值不等式在高等數學的學習過程當中有著非常重要的作用，相對于高等數學中的一些概念及定理來說，傳統的解題方式以及我們現有的知識結構都很難按照數學要求來證明高等數學中的部分公式及定理。然而，通過運用均值不等式，能夠有效幫助我們化解公式和證明中的各種難題，同時能夠引導我們更好的利用題設條件，并對題目中所給出的條件進行適當的變形處理，再結合湊整法以及構造函數等多種解題方式，從而不斷開拓我們的解題思路，簡化高等數學中一些存在難度的題目，幫助我們更好的掌握高等數學中的知識及概念。

一、均值不等式的重要性

在高等數學的學習過程中我們會發現，極限概念在高等數學知識體系中有著非常重要的地位。高等數學中的很多重要的概念，都是通過極限的思想來定義的。而人們在運用極限思想的過程中用到了均值不等式，并在均值不等式的基礎上來證明極限定理，以證明極限的存在性及極限是否有意義。在高等數學的學習過程中，有很多運用均值不等式的題目，借助均值不等式的解題思路，可以簡化高等數學的解題步驟。因而在高等數學的學習過程中，則要求我們能夠學會應用均值不等式來解決相應的數學題目，要能夠充分理解均值不等式的含義，抓住關鍵的題型，掌握解題技巧，進而在解題的過程中，適當的引入均值不等式來簡化解題的步驟[1]。在高等數學的解題過程中，除了用均值不等式來證明相關的公式定理，同時還能夠利用均值不等式來解決高等數學中的一些相關題目。

二、均值不等式的運用

（一）證明高等數學中的公式

均值不等式的應用范圍較廣，其在高等數學中極限的定義及公式定理的證明過程中都有著極其重要的作用。在高等數學中有兩個重要的極限，在對其進行證明的過程中需要運用均值不等式。

例如，n無限趨近于無窮，1+1/n的n次方等于e，在判斷該重要極限是否存在的證明過程中，首先要證明數列1+1/n的n次方是單調遞增的。在這里，我們可以令a1=a2=a3=……=an=1+1/n，a（n+1）=1，則由均值不等式，我們就可以得出，1+1/n的n次方是小于1+1/（n+1）的n+1次方的，如此，我們就可以證明函數1+1/n的n次方是單調遞增的函數。除了利用均值不等式來證明該極限是單調遞增的之外，我們還可以利用均值不等式證明1+1/n的n次方這個函數是有上界的。利用均值不等式來證明該函數的上界，就能夠得到該函數的極限即能達到的最大值e。在此類題目的證明過程當中，則要求我們能夠掌握基本的推導能力，在均值不等式的運用過程當中，我們要根據證明的公式及定理不斷調整均值不等式的形式，進而使得高等數學中大部分的公式定理能夠得到有效的證明。

除了利用均值不等式來證明高等數學中的公式及定理之外，其在高等數學的積分不等式證明過程當中也有非常重要的作用[2]。通過對函數的積分，結合函數的定義域，進而將其區間進行n等分，并取極限，以達到證明的目的。

（二）解高等數學中的題目

在高等數學的解題過程當中，有很多題目需要運用到均值不等式，利用均值不等式能夠有效減少解題的步驟，同時讓解題過程更加清晰、明確，便于我們理解和領悟。

例如，某廠用鐵板做成一個體積為8立方米的有蓋長方體水箱，問長寬高各取多少時才能夠用料最?。吭谶@個題目當中，首先我們已經知道了長方形的體積為8立方米，事實上，在計算過程當中，我們需要算出這個長方體水箱的表面積，那么我們可以設置一個長方形的水箱，長為x米，寬為y米，則其高應該為8/（xy）米，結合長方體表面積計算公式，我們可以構造出一個關于x和y的新函數，這就是目標函數。在這個函數當中，我們可以通過對函數進行求導，再結合均值不等式以判斷x和y能夠取到的最小值，最后的計算結果為，當長寬高相等時即一個邊長為2米的正方體，用料最省。利用均值不等式進行解題，能夠快速得出答案，同時能夠有效簡化解題步驟，有效增強我們的學習效果。

三、結束語

總之，均值不等式在整個數學知識的學習過程當中有著非常重要的地位，借此能夠解決很多的數學題目。在高等數學的學習過程當中，利用均值不等式能夠幫助我們進一步加強對相應公式定理的理解和記憶，同時能夠簡化公式定理的證明步驟和過程。

參考文獻：

[1]章國鳳.均值不等式在高等數學中的應用[J].廣西教育學院學報，2008（05）：151-153.

[2]常軒瑞.淺談平均值不等式的應用[J].中華少年，2017（02）：178-179.

作者簡介：鮑振甲 性別：男 民族：滿 出生日期：2001年5月。