隨機動力作用下平面框架結構拓撲優化

白顯中 李 浩

(華南理工大學土木與交通學院，廣東 廣州 510640)

1 概述

結構的拓撲優化是指在一定的約束條件下，改變結構的布局，從而使結構某種性能能夠達到最優。目前結構拓撲優化方面的研究大部分是以靜力荷載為主，在動力荷載方面的研究相對較少。實際生活中，結構大部分都受風荷載、地震荷載等隨機動力荷載的影響，所以研究隨機動力荷載下結構的拓撲優化設計具有現實意義。

近年來，蘇成、徐瑞[1]通過時域的角度，針對于非平穩的隨機荷載下結構的動力響應提出了時域顯示法表達式，這種方法針對大型的復雜結構在隨機荷載下求解結構動力響應的過程中有較好的計算效率。洪晨[2]在上述研究的基礎上結合振型分解法提出了隨機荷載下結構的動力響應，大大降低了計算效率，并采用振型加速度法對于高階頻率進行修正，保證了精確性。陳太聰、蘇成等[3]在時域顯示的基礎上，提出了隨機動力響應靈敏度高效的時域顯示表達式。

因此，本文以結構位移方差響應為約束，總體積最小為目標建立拓撲優化模型，結合全局移動漸近線收斂法(GCMMA)[4]求解平面框架的結構拓撲優化。

2 結構動力響應及靈敏度分析

2.1 結構動力響應的時域顯示表達式

n維自由度的連續體結構在隨機動力下的方程式如下：

(1)

通過文獻[1]可知，第i時刻結構的位移響應的時域顯示表達式為：

Y(ti)=BiRi

(2)

式中:

(3)

其中，[Aa,iAa,i-1…Aa,1]為只與結構參數有關的系數矩陣。

考慮隨機荷載的過程中，往往需要從某些關鍵自由度上進行二階矩的分析。某個自由度在第i時刻的結構位移方差響應的表達式為：

cov(yi,yi)=ψBicov(Ri,Ri)(ψBi)T

(4)

其中，ψ為由0和1組成的定位向量。

2.2 結構動力靈敏度的時域顯示表達式

由上節可知，通過時域的角度來解決結構動力響應，同理可得，結構動力響應的靈敏度時域顯示表達式。假設θ是結構優化的設計變量，把式(1)兩端同時對θ求偏導，整理后可以得到表達式：

(5)

式(5)與式(1)相對比，只是右端的荷載項不同，式(5)可以類比為動力方程，同理可知，第i時刻結構的位移響應靈敏度的時域顯示表達式為：

(6)

結合結構位移方差響應在二階矩的分析，同理可得，在時間周期T內關鍵自由度位移方差最大值的靈敏度表達式如下：

(7)

3 拓撲優化模型

本文的拓撲優化模型是以結構頂部中點水平方向的位移方差響應為約束，結構所需的總體積最小為目標，其表達式如下：

(8)

find:0

4 數值算例

(9)

其中，ωg為過濾頻率；ζg為過濾阻尼比，取0.64；S0為譜強度因子，取0.001 9 cm2/s3。

本文主要研究不同ωg參數下隨機動力荷載對平面框架結構的拓撲優化設計的影響，ωg分別取2π rad/s,5π rad/s,8π rad/s所得的拓撲優化結果如圖2所示。

5 結語

本文采用了以結構位移方差響應為約束，總體積最小為目標的拓撲優化模型，采用時域顯示表達式來表現動力下結構的響應及其靈敏度，并結合了全局移動漸近線收斂法(GCMMA)求解平面框架的結構拓撲優化，通過改變隨機荷載參數中的過濾頻率ωg對平面框架結構拓撲優化的影響。為了直觀表達，以結構體積最小為目標。由圖2可知，對于不同的過濾頻率ωg所得到的拓撲優化結果也不相同。結構及其他參數一定時，過濾頻率ωg越小優化結果所需材料越少，即對于結構的影響也越小。而且可以發現三層框架結構下，底層所需的材料比頂層所需的材料要多。經過拓撲優化后的結果也比較合理，對于不同外荷載下結構的材料也達到了節省，對于今后實際工程中所需的優化設計有了一個實際的參考意義。