含脈沖作用下連續切換系統的有限時間穩定

景 麗, 關勝楠

(沈陽師范大學 數學與系統科學學院, 沈陽 110034)

0 引 言

自20世紀60年代以來,現代控制理論已經在工業生產、軍事科學以及航空航天等許多方面都取得了成功的應用。在1966年,文獻[1]中首次提出了混雜狀態連續時間動態系統,從此混雜動態系統成為了控制領域中的研究課題之一[2]。

近年來,從控制理論到控制工程對切換系統研究的興趣不斷提高。切換系統由一系列的連續子系統或離散子系統及作用在各個子系統之間的切換規則組成。切換系統有著廣泛的實際背景,在各種控制系統中均有切換的存在,比較常見的有自動擋機動車控制系統、交通智能控制系統、大電網控制系統、火箭發射系統等[3]。

目前切換系統的成果很多,在穩定性方面主要考慮漸近穩定性。所謂漸進穩定是指在時間無窮的范圍內從任意狀態出發的運動都漸進收斂于原點。更需要研究系統在有限時間內的動態行為,即有限時間穩定。也就是指:在某一給定的時間間隔內,對于給定的系統初始狀態,其狀態軌跡始終保持某一給定的范圍內。線性切換系統穩定性問題的分析主要應用統一Lyapunov函數、分段Lyapunov函數等方法進行。相關研究顯示,如果線性切換系統的子系統漸進穩定,則子系統的狀態矩陣可以互換,整個線性切換系統都是漸進穩定的。有限時間穩定比漸近穩定的研究更有優越性。

總的來說,目前國內外學者對切換系統圍繞切換系統的建模、分析與控制3方面做了不同程度的較有意義的研究,其中切換系統各種穩定性分析與魯棒控制是研究較多的問題之一。通過國內外學者做出的大量研究,基本形成一個初步的理論研究框架,但存在很多復雜問題尚待解決,比如目前對于切換線性系統穩定性分析的研究成果比較豐富,但切換非線性系統穩定性分析的研究依然比較少,尤其時滯切換非線性系統穩定性分析的研究成果就更少了。

在實際應用中,脈沖作用是不可避免的,這無疑惡化了系統的性能,甚至會導致系統的不穩定。對于脈沖系統的研究早在20世紀60年代V.D.Milinam和A.D.Myshkis就已經做過一些工作,之后又有學者們運用Lyapunov函數方法對脈沖系統進行了研究[4]。在外部脈沖的影響下,如何保證切換系統的穩定性并給出判定條件成為現有文獻的重點研究內容。

脈沖系統和切換系統則因在諸如通訊網絡、電力系統、機器人行走控制系統以及采樣數字控制系統等中的廣泛應用而得到大量關注。脈沖系統是指系統的狀態瞬時發生變化,這種變化通常用狀態跳躍來描述。典型的脈沖系統如:昆蟲數量控制系統、化學作用系統、金融系統等。在電力系統等實際系統中,脈沖跳變和切換機制又時常同時存在[5]。關于非連續脈沖隨機系統的穩定問題在文獻[6]中被提出;文獻[7]分析了不確定脈沖隨機系統的采樣魯棒H∞濾波的問題。實際中還有這樣的系統,當某些狀態發生瞬時跳躍時,系統的結構也隨之發生變化,如生命醫學中研究如何有效控制某些傳染病的流行,比較有效的方法是,在適當的時候給某些病人注射疫苗,以達到最佳控制效果,不同的接種率可能導致不同的控制結果。顯然接種率是一個脈沖量。這樣的系統稱為切換的脈沖系統或具有脈沖作用的切換系統。在過去的十幾年中,脈沖系統的發展極大地吸引了國內外學者們的研究興趣[8]。

然而,具有狀態跳變的切換系統的有限時間穩定的相關研究較少。例如文獻[9]中給出了線性脈沖切換系統漸近穩定的充分條件,并且利用Laypunov直接法來設計一個能使脈沖切換系統魯棒鎮定的一個線性切換反饋控制器和一個脈沖反饋控制器。文獻[10]中對脈沖切換系統的能控性和能觀性做出了研究,文獻[11]研究了脈沖切換系統的最優控制問題,以及帶時滯的脈沖切換系統的穩定性的研究。因此,探討具有脈沖作用的切換系統(連續切換系統、離散切換系統)的有限時間穩定就顯得十分重要[12]。

本文主要分析含脈沖作用下連續系統的有限時間穩定性,應用Lyapunov穩定性理論,并運用MATLAB線性矩陣不等式等進行研究。

1 預備知識

給定一連續時間脈沖切換系統

定義1(切換系統的切換信號定義)[13]

對于任意給定的初始時間τ0及初始值x0,x0=x(τ0),與切換信號σ對應的切換序列:

s=x0(i0,τ0)(i1,τ1)(i2,τ2)…(ik,τk)…

定義2(連續切換系統的有限時間穩定)

給定3個常數c1,c2,Tf(c10),一個正定矩陣R,一個切換信號σ(t)。若xT(0)Rx(0)≤c1?xT(t)Rx(t)≤c2,?t∈[0,Tf),則稱系統關于(c1,c2,Tf,R,σ)是有限時間穩定的。

引理1 給定適當維數的矩陣Y,D和E,其中Y是對稱的,則Y+DFE+ETFTDT<0,對所有滿足FTF≤I的矩陣F成立,當且僅當存在一個常數ε>0,使得Y+εDDT+ε-1ETE<0[14]。

引理2 對于任意一個n級實對稱σ(t)矩陣A,都存在一個n級正交矩陣T,使TTAT=T-1AT成對角形。

2 主要結果

成立,那么系統是關于(c1,c2,Tf,R,σ)在脈沖作用下是有限時間穩定的。其中,Ei為脈沖矩陣,發生于子系統切換時刻。另外,

證明 選擇如下形式的Lyapunov函數

F(t)沿著切換系統的軌跡對時間t求導,得

將上式在[tk,t]上進行積分得

V(x(t))=Vσ(tk)(x(t))

系統在切換時刻脈沖作用產生,當時刻t=tk時有

其中

(4)

(5)

由引理2,可得

則式(5)可寫為

則有

(6)

其中

重復上述過程,可以推出

當t=tk-1時,

當t=tk時,

因為V(x(t))

所以

又因為

重復上述過程,可以推出

V(x(t))<(b′)k+1eα(t-t0)V(x(t0))=(b′)k+1eαTfV(x(t0))

(7)

可得Pi≥λ1I,Pi≤λ2I。從而有

結合式(7)～式(9)及xT(0)Rx(0)≤c1,可得

證畢。

3 數值仿真

考慮連續時間切換系統,其參數為

仿真參數選擇如下:

c1=0.1,c2=10,Tf=50,α=0.01,ε=0.1

由定理可求出系統切換的平均駐留時間τa=41.975 5 s。設初始條件為(x1,x2)=(0.2,0.1),應用MATLAB軟件進行仿真,得到切換系統的相軌跡(圖1)及切換系統有限時間穩定(圖2),由2圖可以看出相應的系統是有限時間穩定的。

圖1 切換系統的相軌跡Fig.1 Phase trajectories of switched systems

圖2 切換系統有限時間穩定Fig.2 Finite time stabilization of switched systems

4 結 論

本文研究了在含脈沖作用下連續時間切換系統的有限時間穩定性的問題[16],利用構造V函數和平均駐留時間方法得到了在脈沖影響下,系統仍是有限時間穩定的充分條件。以本文的方法為基礎,可以研究含脈沖作用離散時間切換系統有限時間穩定的問題。