“數”“形”結合在高中數學幾何解題中的應用策略

（山東省泰安一中新校 山東泰安 271000）

高中數學是一門非常重要的學科，對幫助我們形成數學思維，提升數學創新意識具有非常重要的意義，作為學生我們必須加強對個人知識信息的儲備，以便形成具有較高價值的新設想和新發現。幾何題是數學課程中非常重要的知識點，對我們今后的數學學習有著非常大的影響，尤其是在知識結構體系構建中發揮著承上啟下的關鍵作用，因此，掌握幾何解題技巧是學習的關鍵[1]。由于幾何題本身較為抽象，一直以來都是我們學習的難點，但將抽象的幾何問題轉化為相應的幾何圖形求解就會使得復雜問題簡單化，抽象問題具體化，把抽象的數學語言和直觀的圖形結合起來，就是“數”“形”結合法。“數”、“形”結合解題法是幾何解題的一種重要方法，其能夠以較為簡單、直觀的方式實現對幾何題的轉換，更好的幫助我們掌握幾何知識點，把握解題要點。

一、解題思路

在數學幾何題解析過程中，關鍵是要明確問題與條件之間的位置、數量關系，將“數”與“形”相互對應起來，即可迅速把握解題的關鍵點。在熟練掌握數形結合解題方法之后，就能夠更好的實現舉一反三，從而更好的應對幾何題。而在對“數”、“形”結合解題法運用時，應當把握其具體的解題思路，分別為：（1）三角函數、復數等均基于幾何元素和條件的基礎上來進行背景的構建；（2）題目所給出的代數方程式或者等式的結構中具有所包含的較為明確的幾何意義；（3）圖象與函數所對應的關系；（4）曲線與方程之間對應的關系；（5）數軸上的點與實數之間所對應的關系[2]。

二、幾何題型解題中“數”“形”結合的應用策略

1.“數”“形”結合在幾何不等式問題解題中的應用

例題1：解不等式：√（16-x2）+√（8x-x2）>4。

解析：通過將上述不等式進行變形處理，即可獲得√（16-x2）>4-√（8x-x2）這樣一個公式，而該公式與上述不等式是等價的。

另設：y1=√（16-x2），設y2=4-√（8x-x2），對上述等式進行變形，即可獲得如下曲線方程：x2+y12=16（4≧y1≧0）以及（x-4）2-（y2-4）2=16（y2≦4）；

通過對上述兩個曲線方程進行繪圖觀察，其均屬于半圓，通過直角坐標即可表示出來：

圖1

例題1

根據圖1來看，兩個半圓之間相互交集的部位，就是本題的不等式解集，即可獲得結果，{x｜0＜x＜4}。

幾何不等式是較常見的幾何題型，也是高考中的常考題型。對于幾何不等式，在解題過程中，首先是將其化解為某個曲線方程，再根據該曲線方程來進行圖形繪制，將其在數軸上表示出來，需要引起注意的是，在進行計算過程中，必須明確定義域和值域，再通過幾個圖像的交集情況即可獲得不等式的解集。

2.“數”“形”結合在幾何圓類問題中的應用

例題2：已知直線kx-y-2=0與曲線 √〔1-（y-1）2〕=x-1有兩個不同的交點，求實數k的取值范圍。

解析：根據直線kx-y-2=0可化成y=kx-2，可知它是經過點（0，-2），斜率變化的直線。

通過對曲線√〔1-（y-1）2〕=x-1進行變形處理，可得（x-1）2+（y-1）2=1（x≥1）（0≤y≤2），此時可知該曲線是以（1，1）作為圓心，以1作為半徑的位于直線x=1右側部分的半圓。

設直線繞過點（0，-2），并通過順時針旋轉至與圓下方相切時的斜率為k1；直線過點（0，-2）和（1，0）與圓有兩個交點時的斜率為k2。可得當直線kx-y-2=0與曲線有兩個不同的交點時，斜率k滿足k1＜k≤k2。

由圓心（1，1）到直線kx-y-2=0的距離d=|k-1-2|/√（1+k2）=1，解得k1=4/3，

通過點斜式方法可解得k2=（-2-0）/（0-1）=2，由此可得4/3＜k≤2。

圖2

例題2

通過上述例題來看，在對幾何圓類問題解題過程中，通過“數”、“形”結合解題法的合理運用，能夠促使解題思路更加明確，題型得以簡化。對圓類問題的解答，其解題的關鍵是密切圍繞圓與直線的位置關系、圓與圓之間的位置關系、圓的標準方程等各項問題來實現。例如：在對直線和圓的位置關系進行判斷的過程中，對直角坐標系進行建立，便能夠更為直觀的了解到在圓外直線的表現，通過對圓心到直線的距離進行計算，若距離大于圓的半徑，即表示直線處于圓外，這種方法是“數”、“形”結合解題法解答圓類問題最基本的、最常用的方法。

結語

總而言之，幾何題型是高考必考內容，并且在所有題型中占據了較高的比例，盡管幾何題型的難度相較于函數題型比例較低，但仍然是高中數學解題的難題，這主要是由于其本身較為抽象所導致的，但把握一定的技巧，即可快速熟練的實現幾何題型的解答。“數”、“形”結合解題法的運用，能夠促使題目給定的條件得以呈現和對應，使得解題時間得以縮短，且不容易出現漏題的情況，可更好的實現對答題效率和答題準確率的提升。