方程思想在解含三角形n等分線問題中的應用

（四川省內江天立（國際）學校 四川內江 641000）

方程思想貫穿中學數學始終.幾何學科中求值問題常涉及利用方程思想解題，其核心解題思路是以所給條件為抓手、表示題中相關量、尋求等量關系、建立方程求解未知量.本文以“含三角形n等分線”為問題導向，以方程思想為解題主線，分別研究六類等分線問題，供讀者參考.

類型1 三角形內角n等分線形成的角

例1 在△ABC中，∠A=α，∠ABC、∠ACB的n等分線分別交于點O1、O2、…、On-1，求∠BOn-1C的度數.（用α表示）

解析 因為∠ABC、∠ACB的n等分線分別交于點O1、O2、…、On-1，故令∠O1B C=∠O2B O1=∠O3B W2O=…=∠ABOn-1=x°，

∠O1C B=∠O2C O1=∠O3C O2=…=∠ACOn-1=y°，

點評：該問題實質上是求∠BOn-1C與∠A的數量關系，可借助“三角形內角和為180°”，利用方程思想分別將這兩角放入△ABC和△On-1BC中研究，值得注意的是，解答時設元x、y但不求x、y的值，體現了整體代入消元、“設而不求”思想.另外，此題拆去邊BC，立得類型2.

類型2 “規形圖”n等分線形成的角

例2 如圖，∠ABD，∠ACD的n等分線相交于點G1、G2…、Gn-1，若∠BDC=α，∠BG1C=β，求∠A的度數．（用α、β表示）

分析

此題解法類似例1，抓住∠B GiC=∠ABGi+∠ACGi+∠BAC，利用方程思想，

類型3 三角形外角n等分線形成的角

點評：此題與上題類似，類比推理可得.

類型4 三角形內角n等分線和外角n等分線形成的角

例4 如圖，在△ABC中，∠A=α，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；

∠A1BC和∠A1CD的平A分線交于A點A2，得A∠A2；∠AnBC和∠AnCD的平分線交于點n，得∠n，求∠n的度數.（用α表示）

解析 令∠ABA1=∠A1B C=x°,∠ACA1=∠A1C A2=y°，

點評：本例與前3例有所不用，體現在反復利用迭代思想或觀察規律求∠An.此題常作為考試選擇、填空中壓軸試題.

類型5 折線“8字”型n等分線形成的角

例5 ∠BAD的平分線AE1與∠BCD的平分線CE1交于點E1，∠BAE2的平分線AE2與∠BCE2的平分線CE2交于點E2，......，∠BAEn的平分線AEn與∠BCEn的平分線CEn交于點En，則∠AEnC與∠ADC、∠ABC之間是否仍存在某種等量關系？若存在，請寫出你得結論，并給出證明；若不存在，請說明理由。

解析 折線“8字”型問題，要抓住（以此題為例）

∠ADC+ ∠DCB=∠ABC+∠DAB

這一等量關系解題.此題不妨令∠DCB=x°,∠DAB=y°，

則∠ABC-∠ADC=x°-y°.

由CE1平分∠BCD，AE1平分∠BAD，

類型6“ M ”型n等分線形成的角

例6 如圖，AB∥CD，∠BAD的平分線AE1與∠BCD的平分線CE1交于點E1，∠BAE2的平分線AE2與∠BCE2的平分線CE2交于點E2，......，∠BAEn的平分線AEn與∠BCEn的平分線CEn交于點En.判斷并說明∠AEnC與∠ADC、∠ABC之間存在的數量關系.

分析：解法同上題，答案略.

點評：“M ”型n等分線形成的角與折線“8字”型n等分線形成的角具有相似之處，可類比推理分析問題.

以上所述6類“含三角形n等分線形成的角”僅為單一命題形式，常見地還有以組圖形式、問題串形式等考查學生思維，方程思想方便之處在于簡化角的書寫表達，便于分析問題.教學時教師需注重引導學生將復雜問題簡單化、簡單問題條理化.