高考數學試題研究的幾種視角

（江蘇省漣水中學 江蘇淮安 223400）

一、研究試題的重要性

古人認為“書讀百遍，其義自見”，才有今人的“題海戰術”，這樣造成我們一些同學在做一些比較新穎的題型時，感覺特別生疏，無從下手，這樣的弊端正好暴露了我們學習的短板。我們經常會羨慕一些同學，他平時學習跟大家一樣，該玩的時候玩，該學習的時候學習，但是一到考試時就考得特別好，有些下了很大功夫的學生反而成績不怎么樣，我就是這樣的學生，有時我就在想，要是我也有跟他們一樣的腦子，該多好！后來發現自己錯了，大家都是“上帝咬過一口的蘋果”，只要不是天生的愚笨，大家都是一樣的，只是人家在學習的過程中是用心在學習，而我只是在完成一種任務，給自己強加了冗余的“砝碼”，導致付出與收獲不平衡。我開始去向學習好的同學取經，發現他們題做得不多，但是他們做得精，經常反思，不斷研究試題，不光有了深度，還有了廣度。從中領會了出題人的意圖，直切試題實質，從而發揮試題功能的最大化，對于學習有了事半功倍的效果。[1]

二、研究試題的視角

針對不同的題型，我們都要有應對的“法門”，平時我們就要養成勤思勤問的學習態度，學會用“火眼金睛”去觀察，透過現象看本質，以“變”對“萬變”，把知識運用“活”了，才能受益終生。我根據自己平時關于學習數列總結下來的經驗，以此為例，談談關于我們在解這類試題時該養成怎樣的視角去研究。[2]

題目1：已知等比數列{an}的公比為q，記bn＝am（n－1）＋1＋am（n－1）＋2＋…＋am（n－1）＋m，cn＝am（n－1）＋1·am（n－1）＋2·…·am（n－1）＋m（m，n∈N*），則以下結論一定正確的是（ ）

A．數列{bn}為等差數列，公差為qm

B．數列{bn}為等比數列，公比為q2m

C．數列{cn}為等比數列，公比為qm2

D．數列{cn}為等比數列，公比為qmm

視角1 研究試題的立意

立意就是要知道出題人考查這道題需要涉及哪些知識點，哪些思想方法，要運用到哪些解題技能，來考察同學們的解題能力，以達到檢測學生學習情況的目的。而針對本題，設計的考點是：①等比關系的確定；②等差關系的確定。只有熟練掌握等差數列與等比數列的定義、通項公式及其前n項和公式才是解題的關鍵。

視角2研究試題的解法

“條條大路通羅馬”，只要我們的思路對，高考試題基本都可以一題多解，這樣寬口徑地考察同學，就需要我們在平時做題的時候，多積累解題方法，遇到這類題型腦海中就需要有一定的方式方法。既會有樸實自然的通法，又會有簡捷的巧法，這既能培養我們的學習興趣，又能培養我們思維的發散性、靈活性和深刻性，還能培養我們的數學探究意識，為我們的終身學習奠定基礎。

n＋1nn公比為q，利用等比數列的通項公式可得

得出即可判斷出C，D兩個選項．

視角3 研究解題的思想方法

每種題型都需要研究它的解題思想方法，這樣我們在做題時才能廣開思路，比如我們在解決三角函數這類題型，經常會用到數形集合思想、化歸轉化思想和分類討論思想，三角函數是根據圖像而建立的數學語言，所以我們在對任意角的三角函數研究都可以借助單位圓來進行轉換。而對有關等比數列問題時，可用到下列的幾種常見思想方法：

（1）方程的思想。等比數列中有五個量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）求關鍵量a1和q，問題迎刃而解。

單調性：當或時，{an}是遞增數列；

當或時，{an}是遞減數列；

當q＝1時，{an}為常數列；

當q＜0時，{an}為擺動數列．

（3） 分類思想。當q＝1時，{an}的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，{an}的前n項和Sn＝＝.等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是常考易錯點。

視角4 研究試題的變式

對于教學大綱中的知識點，出題中都會涉及到，而數學進行了這么多年的考試，為什么我們在刷題的過程中，難做到一模一樣的原題呢？就在于它的多變性，所以研究試題的變式，可以發散我們的思維，不管試題怎樣進行重組、引申、拓展，我們都可以找到它們發展的規律，讓我們在不變中應萬變。數學的魅力在于“變”，有“變”才有“用”，有“變”才能“活”。

通過對本題拓展研究，我們可以找到許多變式，下面給出一種常見的變式：

數列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），n∈N*.

（1）證明：數列是等差數列；

（2）設bn＝3n·，求數列{bn}的前n項和Sn.

本題考查利用等差數列的定義證明數列是等差數列；考查數列求和的方法：錯位相減法。數列求和的關鍵是求出通項并選擇合適方法，（1）將nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1）的兩邊同時除以n（n＋1）得＝＋1，由等差數列的定義得證。（2）由（1）求出bn＝3n· ＝n·3n，利用錯位相減求出數列{bn}的前n項和Sn.

在高考中，經常以解答題形式綜合考查等差數列與等比數列的基本知識和基本方法，不管它怎樣變化，我們只要把通用公式和數學方法記住，遇到此類題目我們都可以根據母題的發散思維去解題。