基于小波邊緣刻畫與LBF水平集變分模型的圖像分割

楊志巧,羿旭明

(武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢 430072)

1 引言

在現(xiàn)代圖像處理問題中,圖像分割是恢復(fù)目標(biāo)圖像形狀[1]、檢測(cè)與識(shí)別目標(biāo)對(duì)象[2]、跟蹤運(yùn)動(dòng)目標(biāo)[3]的關(guān)鍵技術(shù),也是圖像分析和圖像理解的基礎(chǔ).自20世紀(jì)70年代以來,圖像分割一直備受研究者的關(guān)注,并在醫(yī)學(xué)、工業(yè)、軍事等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[4?7].

近年來,關(guān)于圖像分割的研究層出不窮,水平集圖像分割法[8?10]憑借其效率高和穩(wěn)定性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)得到了迅猛發(fā)展.其中基于Mumford-Shah模型[11]水平集方法是20世紀(jì)80年代提出的一種非常優(yōu)秀的圖像分割算法.隨后,Chan和Vese以簡(jiǎn)化的Mumford-Shah模型和變分法為基礎(chǔ)于在2001年提出了分段恒定兩相圖像分割的變分水平集(C-V)模型[12].設(shè)定義域?yàn)?的灰度圖像I(x,y)被水平集函數(shù)φ(x,y)的零水平集Γ劃分成互不相交的兩個(gè)區(qū)域R1={(x,y)|φ(x,y)>0,(x,y)∈?}和R2={(x,y)|φ(x,y)<0,(x,y)∈?},其中R1為目標(biāo)區(qū)域,平均灰度為c1,R2為背景區(qū)域,平均灰度為c2,Γ表示邊界,即?=R1∪R2∪Γ且R1∩R2=?.C-V模型即為下述能量泛函的極值問題

其中λ1,λ2和μ為正常數(shù),表示各能量權(quán)重系數(shù),

該模型對(duì)于灰度均勻的圖像分割很有效,而且不受噪聲影響[13],但是在分割灰度不均勻的圖像時(shí)得不到滿意的分割效果,其次該模型在每次迭代時(shí)都要檢驗(yàn)水平集函數(shù)是否為符號(hào)距離函數(shù),計(jì)算量大[14],不利于實(shí)現(xiàn).Li等[15,16]于2007年在C-V模型的基礎(chǔ)上建立了局部二值擬合(LBF)模型,能較好的解決灰度不均勻圖像的分割問題,但是該模型中沒有考慮圖像的邊緣信息,從而邊緣控制能力較弱,不利于分割一些弱邊緣或邊緣模糊的圖像[17].文獻(xiàn)[18]中提出利用小波變換對(duì)圖像進(jìn)行去噪以突出圖像中的真實(shí)邊緣,基于此,本文針對(duì)弱邊緣圖像的分割問題提出了利用小波變換的分解系數(shù)構(gòu)造出邊緣刻畫函數(shù)的方法,將其引入到模型的能量泛函中使得水平集函數(shù)在演化過程中能更迅速的捕捉到圖像的邊緣.

2 LBF模型

LBF模型是通過引入核函數(shù)Kσ(x,y)[19]來尋找最優(yōu)的輪廓曲線C,使曲線內(nèi)部區(qū)域Inside(C)和外部區(qū)域Outside(C)的圖像灰度擬合函數(shù)分別為f1(x,y)和f2(x,y).將曲線C作為零水平集φ(x,y)=0,內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域分別對(duì)應(yīng){(x,y)|φ(x,y)>0,(x,y)∈?}和{(x,y)|φ(x,y)<0,(x,y)∈?}.為保證水平集函數(shù)φ(x,y)在迭代一定次數(shù)后仍然可以保持其光滑性,增加能量懲罰項(xiàng)

水平集函數(shù)φ(x,y)的長(zhǎng)度可以表示為

于是可得到如下完整的泛函極值問題

其中?代表卷積運(yùn)算,λ1,λ2,μ和ν均為正常數(shù),表示各能量的權(quán)重系數(shù),核函數(shù)Kσ(x,y)定義為

3 基于小波變換的LBF模型

3.1 WLBF模型

圖像分割在很大程度上取決于圖像目標(biāo)邊緣的刻畫,若圖像的真實(shí)邊緣得到增強(qiáng),則更有利于圖像的分割.設(shè)原始灰度圖像I(x,y)經(jīng)過二維小波分解后分別得到低頻分解系數(shù)ILL、水平高頻分解系數(shù)IHL、垂直高頻分解系數(shù)ILH和對(duì)角高頻分解系數(shù)IHH,將4組分解系數(shù)向上重復(fù)采樣得到與原圖像大小相同的稀疏矩陣,為了表示方便,仍分別記為ILL(x,y),IHL(x,y),ILH(x,y),IHH(x,y),分別代表圖像的低頻信息,以及在水平、垂直和對(duì)角方向上的高頻信息.梯度方向是函數(shù)變化最快的方向,在圖像處理中常用來刻畫圖像的邊緣.為了突出圖像的邊緣信息,本文定義了如下基于小波分解系數(shù)的邊緣信息刻畫函數(shù)g(x,y):

其中

將此刻畫函數(shù)g(x,y)引入到LBF模型的能量泛函中,得到基于小波變換的LBF模型(簡(jiǎn)記為WLBF模型),此時(shí)圖像的分割問題轉(zhuǎn)化為如下能量泛函的極值問題:

為了求解上述問題,分別針對(duì)φ,f1,f2最小化,先固定f1和f2,可以得到能量泛函E(φ,f1,f2)關(guān)于φ的梯度為

其中

δ(φ)=H0(φ).由梯度下降流理論[20],令,即得水平集函數(shù)的演化控制方程為

其演化的初始條件定義為

類似地,針對(duì)f1(x,y)和f2(x,y)最小化,可以得到如下形式的更新公式

3.2 數(shù)值計(jì)算格式

水平集函數(shù)的演化過程由上述演化方程來刻畫,為了數(shù)值求解演化方程,本文利用偏微分方程的差分解法.假設(shè)平面網(wǎng)格步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)分別為h和?t,經(jīng)過n步演化,水平集函數(shù)φ(x,y)在離散點(diǎn)(i,j)處的值用表示,在時(shí)間和平面上采用如下中心差分格式進(jìn)行離散化,即

且

在第n步演化中,水平集函數(shù)φ(x,y)用φ(n)(x,y)來表示,則

于是

此時(shí),演化方程的離散化形式為

3.3 求解算法

根據(jù)上述分析,其改進(jìn)模型的求解算法步驟如下

步驟1設(shè)置初始化參數(shù):給定數(shù)據(jù)項(xiàng)系數(shù)λ1,λ2,正則項(xiàng)系數(shù)μ,懲罰項(xiàng)系數(shù)ν,網(wǎng)格間隔步長(zhǎng)h,時(shí)間步長(zhǎng)?t,權(quán)重系數(shù)w,核函數(shù)參數(shù)σ,迭代次數(shù)n;

步驟2初始化水平集函數(shù)φ(x,y),并根據(jù)函數(shù)的演化公式f1(x,y),f2(x,y),初始化f1(x,y),f2(x,y);

步驟3將圖像進(jìn)行小波分解,并構(gòu)造邊緣信息刻畫函數(shù)g(x,y);

步驟4根據(jù)曲線演化方程描述的形式,計(jì)算水平集函數(shù)φ的演化方程式,即

步驟5從水平集函數(shù)中提取出迭代n次后的零水平集函數(shù)圍成的閉合曲線;

步驟6判斷此時(shí)的分割效果是否滿意,如果滿意,則輸出分割結(jié)果,并終止迭代;如果不滿意,則轉(zhuǎn)到步驟4,繼續(xù)下一次迭代,直到分割結(jié)果令人滿意為止.

4 圖像分割實(shí)驗(yàn)

在對(duì)本文的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)以前,本文先對(duì)LBF模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)中采用Heaviside函數(shù)

其中正則化參數(shù)ε=1,能量泛函中各參數(shù)分別為μ=0.001×2552,ν=1,空間步長(zhǎng)h=1,時(shí)間步長(zhǎng)?t=0.1s,核函數(shù)參數(shù)σ=3,λ1=λ2=1.實(shí)驗(yàn)中選取了4張典型的灰度圖像,包含灰度均勻和灰度不均勻的兩種圖像,迭代次數(shù)分別設(shè)置為10、50以及500,演化過程及分割結(jié)果分別如圖1所示.

觀察上述使用LBF模型對(duì)圖像進(jìn)行分割的結(jié)果,該模型對(duì)于灰度較為均勻的圖像分割結(jié)果比較理想,但是對(duì)多孔圖像和灰度不均勻圖像,分割效果如圖1中下面兩幅結(jié)果所示,其結(jié)果并不令人滿意.

接下來對(duì)本文中提出的WLBF模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)中本文選取db3小波對(duì)圖像進(jìn)行分解,邊緣刻畫函數(shù)的權(quán)重參數(shù)分別取0,0.5以及1進(jìn)行實(shí)驗(yàn),其余參數(shù)選取和使用LBF模型進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的參數(shù)一樣,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.

觀察上述3種權(quán)重系數(shù)下的分割效果,發(fā)現(xiàn)w=0.5時(shí)的分割效果比另兩種情況更好,故在本文實(shí)驗(yàn)中選取權(quán)重參數(shù)w=0.5進(jìn)行實(shí)驗(yàn),并將WLBF模型的分割效果和原LBF模型的分割效果進(jìn)行了對(duì)比,各圖像的分割效果如圖3所示.

觀察上述分割效果可知,本文WLBF模型的分割方法取得了較好的分割效果,從簡(jiǎn)單的圖像到多孔圖像、醫(yī)學(xué)圖像、不規(guī)則圖像以及背景較為復(fù)雜的圖像,WLBF模型均能獲得較好的分割效果,和LBF模型進(jìn)行對(duì)比,其迭代次數(shù)和演化時(shí)間如表1所示.

圖1:基于LBF模型分割效果圖(第一列為待分割圖像,第二列為迭代10次的結(jié)果,第三列為迭代50次的分割結(jié)果,第四列為迭代500次的分割結(jié)果)

圖2:第一張為待分割圖像,第二張為w=0時(shí)分割結(jié)果,第三張為w=0.5時(shí)分割結(jié)果,第四張為w=1時(shí)分割結(jié)果

表1:LBF模型和本文WLBF模型迭代次數(shù)與演化時(shí)間對(duì)比

圖3:圖像分割圖(第一列為待分割圖像,第二列為L(zhǎng)BF模型分割結(jié)果,第三列為本文WLBF模型分割結(jié)果)

從表1可以看出,在使用原LBF模型進(jìn)行分割時(shí),部分圖像迭代500次還未達(dá)到理想的分割效果,而使用本文提出的WLBF模型時(shí),迭代20次就可以取得滿意的效果.在曲線的演化時(shí)間方面各種圖像均有不同程度的減少,其中圖1、圖4和圖5的演化時(shí)間減少了50%以上,平均演化時(shí)間減少了41.17%.

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)本文WLBF模型對(duì)復(fù)雜圖像例如遙感圖像以及含噪圖像分割的可行性,本文進(jìn)行了分割實(shí)驗(yàn).分別如圖4所示.觀察上述兩張遙感圖像的分割效果,可以發(fā)現(xiàn)圖像中的房屋、河流和公路和草坪等都可以較準(zhǔn)確的被分割出來,迭代次數(shù)均僅為30次,其中第一張圖和第二張圖的演化時(shí)間分別為112.68s和91.97s.

圖4:圖像分割圖(第一張和第三張為待分割圖像,第二張和第四張為迭代30次的分割效果)

另外對(duì)有噪聲圖像的分割,圖像選擇的是空中飛行的飛機(jī),有云、霧等噪聲的干擾,由于圖像分割難度較大,當(dāng)?shù)螖?shù)較少時(shí),會(huì)導(dǎo)致許多非目標(biāo)物體被標(biāo)記出來,如圖5中第二張和第三張所示.使用WLBF模型,雖然較前面數(shù)值算例的迭代次數(shù)有所增加,但經(jīng)過80次迭代,仍能得到較為理想的分割結(jié)果,如圖5中第四張圖片所示.

圖5:含噪圖像分割圖(第一張為待分割圖像,第二張為迭代20次的分割結(jié)果,第三張為迭代50次的分割結(jié)果,第四為張迭代80次的分割結(jié)果)

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種基于小波變換的水平集圖像分割模型和算法,從實(shí)驗(yàn)效果以及分割效率兩方面考慮,本文所提WLBF模型較LBF模型均有不同程度的改善和提高,而且本文所給模型和算法對(duì)噪聲的干擾也顯示模型和算法的魯棒性.