溫度變化對固支FGM輸流管道橫向振動的影響

郭 靜，王忠民

(西安理工大學土木建筑工程學院，陜西西安710048)

管道是現代工業中最重要的一種載流裝置，常見的管道系統有城市供水的長距離管線、大規模集中供暖系統、油田的長距離輸油管線、核電站中的水循環系統等，這些管道系統對國民經濟以及人民生活起著十分重要的作用。由于輸流管道內的流體流動方式以及兩端支撐條件的多樣性，會導致管道產生橫向復雜的動力學行為。流體流速越大，引起管道的振動越明顯，甚至當流速超過某一臨界值時，管道會發生屈曲失穩。同時，振動也是造成設備損壞、結構失穩、壽命減少等的主要原因，所以，為了提高管道系統的穩定性與安全性，輸流管道動力學問題的研究得到越來越多學者的廣泛關注。

2004年，Sarkar和Paidoussis[1]分析了懸臂梁、兩端支撐的輸流直管的流固耦合的振動機理。李寶輝[2]研究了管道固有頻率、臨界速度、臨界壓力與流體壓力、流速、管道固支長度之間的關系。He[3]等利用線性和非線性熱彈性理論分析了熱載荷作用下簡支輸流管道的振動穩定性問題。宋日新[4]基于復合材料的細觀力學方法，采用等應變理論，對功能梯度圓筒進行了受熱荷載下和受內壓下的彈性理論和數值分析。Kadoli[5]和Haddadpour[6]研究了特定溫度邊界條件下的功能梯度圓柱殼熱屈曲和自由振動特性，給出了不同結構邊界條件下，溫度改變對殼體最小自振頻率的影響。葉曦[7]基于經典殼體理論，推導了溫度場作用下功能梯度材料圓柱殼自由振動方程，研究了沿厚度方向不同溫度分布對功能梯度殼體頻散特性的影響。Wu[8]等采用 Donnell殼理論，對熱彈性圓柱殼的穩定性進行了研究。周軍帥[9]將哈密頓體系引入到圓柱殼的熱屈曲和熱-機械載荷耦合的動態屈曲中，研究圓柱殼在熱-機械載荷耦合作用下的動態屈曲特性，分析討論了影響圓柱殼動態屈曲的主要因素。Wang等[10]用辛方法分析了等溫條件下FGM輸流管道的穩定性問題。綜合上述文獻，在輸流管道橫向振動問題中，采用辛方法分析溫度影響下FGM輸流管道的動力特性還比較少見。

本文基于Hamilton原理，引入無量綱量，推導了溫度變化影響下的兩端固支約束FGM輸流管道的運動微分方程。通過引入對偶變量建立對偶體系，在辛空間中描述正則方程和對應的邊界條件，將問題轉化為哈密頓體系下的熱本征值和本征解的問題。通過數值計算，討論了管道的一階、二階臨界流速以及在不超過臨界流速的前提下溫度軸力和流速對FGM輸流管道無量綱復頻率和撓度響應的影響。

1 運動微分方程

兩端固支的FGM輸流管道及其坐標系oxyz如圖1所示，軸線方向為x軸，橫向方向為z軸，與xz平面垂直的方向為y軸。假定管道長度為L，平均半徑為R(中環線處的半徑)，厚度為e，撓度為w0x,t，x方向位移為ux，輸流管道內部流體速度為v0，液體的單位長度質量為ρf。將輸流管道系統置于溫度變化為ΔT的均勻溫度場中。

圖1 兩端固支的FGM輸流管道Fig.1 FGM pipe conveying fluid with both ends clamped

FGM輸流管道材料由陶瓷和金屬兩種組分材料復合而成，材料成分由管道內表面的純陶瓷(徑向坐標n=-e/2)沿管道厚度方向按照冪率規律變化到管道外表面的純金屬(n=e/2)。材料屬性Q(泛指彈性模量E、熱膨脹系數α、熱傳導系數K以及管道質量密度ρ)與徑向坐標n滿足關系式[6]：

(1)

式中,下標c、m、eff分別表示陶瓷、金屬材料以及中間的過渡材料；k∈[0,)為體積分數指數，k=0時為純陶瓷材料，k→為純金屬材料。

材料的本構方程為：

(2)

管道彎矩值和軸力值的表達式為：

(3)

(4)

式中，A為管道截面面積；

輸流管道的應變能密度為：

(5)

其中，溫度軸力值為：

(6)

輸流管道的應變能為：

(7)

輸流管道的動能表達式為：

(8)

式中，

變質量系統的Hamilton原理[11]為：

(9)

式中，t1和t2分別為任意時間段的始末時刻。

將式(7)、(8)代入式(9)，得到熱環境下的FGM輸流管道的運動微分方程：

(10)

引入無量綱量:

代入式(10)，得到無量綱量表示的運動微分方程：

(11)

2 辛方法求解

兩端固支FGM輸流管道的邊界條件為：

(12)

(13)

(14)

式中，r1=4.730,r2=7.853。

(15)

式(15)兩邊左乘Ψ并從0到1積分，得：

(16)

式中:

拉格朗日函數為：

(17)

引入對偶變量：

(18)

哈密頓密度函數為：

(19)

通過哈密頓正則變換，哈密頓正則方程為：

(20)

令Vτ=q1q2p1p2T，哈密頓正則方程為：

(21)

其中:

(22)

式中，

易驗證H為哈密頓矩陣。

用分離變量法尋求式(21)的解，設

Vτ=ξτΦ

(23)

其中，Φ是4維向量，ξτ是τ的函數，與Φ任意分量無關。

將式(23)代入式(21)，可得

(24)

即

(25)

式中，ω為常量；i=1,2,3,4；φi為向量Φ的第i行的元素。由式(25)得：

ξτ=eωτ

(26)

HΦ=ωΦ

(27)

要使Φ向量有非零解，則式(27)的系數行列式H-ωI=0，則特征方程為：

ω4+4a2+λ12+λ22ω2+λ12λ22=0

(28)

辛本征值ω為：

ω1=

(29)

ω2=

(30)

ω3=

(31)

ω4=

(32)

求本征值對應的本征向量，設φ4=1，則本征值ωjj=1,2,3,4相對應的本征向量Φωj的各元素為：

(33)

不同本征值對應的全狀態向量為：

(34)

3 計算結果分析

通過算例來分析功能梯度材料的體積分數和無量綱溫度軸力對輸流管道復頻率、臨界流速和撓度響應的影響。算例中的管道以不銹鋼(SUS304)-氮化硅為材料，內表面為陶瓷，外表面為金屬。并采用以下幾何和物理參數：泊松比ν=0.3，內外材料密度比n1=0.29，管道壁厚e與平均半徑R之比n2=0.16，彈性模量比n3=1.733，熱膨脹系數比n4=0.174。

3.1 等溫下均質材料輸流管道的無量綱復頻率

圖2為材料體積分數k=0，質量比β=0.245，管道無量綱溫度軸力值NT=0時，兩端固支FGM輸流管道第一、二階無量綱復頻率ω的虛部、實部與無量綱流速的關系曲線。

圖2 固支管道無量綱復頻率與無量綱流速的變化曲線Fig.2 The dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless fluid velocity

從圖2(a)的縱坐標可以看出，當流速為零時，輸流管道的一階無量綱固有頻率為22.37，二階無量綱固有頻率為61.67，這與文獻[10]中所得結果非常接近。圖2(b)中當無量綱流速為零時，ω為虛數，隨著流速的增加，無量綱復頻率虛部減少，實部保持為零，當流速增加到6.39時，即第一階無量綱臨界速度Ucd1=6.39時，管道運動開始處于發散失穩狀態。隨著流速進一步增大，第一階模態復頻率虛部一直為零，直到流速增加到9.09時，管道運動以第二階模態形態發散，此時第二階無量綱臨界速度Ucf2=9.09，流速超過第二階臨界速度后，第一階與第二階復頻率軌跡重合，管道耦合模態顫振產生。

上文中得到的一階、二階無量綱臨界流速6.39、9.09與文獻[12]中的一階、二階無量綱臨界流速6.28、8.99非常接近。以某輸水管道為例，管道長度L=8 m，平均半徑R=0.05 m，單位長度水的質量ρf=6.647 6 kg，得到一階、二階有量綱臨界流速252.56 m/s、359.28 m/s，該值符合工程實際。

3.2 溫度影響下FGM輸流管道無量綱復頻率

圖3為k=5和β=0.245時，兩端固支FGM輸流管道在不同無量綱溫度軸力下，無量綱復頻率的虛部、實部與無量綱流速的關系曲線。

從圖3可看出以下幾點：

1) 不同無量綱溫度軸力下，在FGM輸流管道無量綱復頻率虛部中，隨著無量綱溫度軸力的增大，其第一階和第二階的無量綱臨界流速都相應減小；

2) 在同一流速下，無量綱溫度軸力越高，對應的復頻率虛部越小；

3) 相同溫度中，無量綱復頻率虛部與無量綱流速的關系仍服從均質管道在無溫度影響的環境中的變化規律。隨后，兩階模態的復頻率軌跡于虛軸結合在一起，并沿著虛軸遠離原點，且溫度越低遠離越快。

圖4與圖5為k=5，β=0.245時，無量綱流速低于無量綱臨界流速，不同流速情況下，FGM輸流管道第一階、第二階無量綱復頻率與無量綱溫度軸力的關系曲線。不同溫度環境中的FGM輸流管道前兩階復頻率虛部隨著管道無量綱溫度軸力的增大而減小；同時，在第一次達到臨界流速之前，同一無量綱溫度軸力情況下，隨著流速的增加，FGM輸流管道前兩階復頻率虛部不斷減少。

圖3 不同無量綱溫度軸力下固支管道無量綱復頻率與無量綱流速的變化曲線Fig.3 The dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless fluid velocity under different dimensionless thermal axial forces

圖4 固支管道第一階復頻率與無量綱溫度軸力的變化曲線Fig.4 The first dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless thermal axial force

圖5 固支管道第二階復頻率與無量綱溫度軸力的變化曲線Fig.5 The second dimensionless complex frequencies of the clamped pipe versus the dimensionless thermal axial force

3.3 不同無量綱溫度軸力下FGM輸流管道的撓度響應

圖6 不同無量綱溫度軸力下在=0.5處固支管道無量綱撓度響應隨時間的變化情況Fig.6 The dimensionless deflection response of the clamped supported pipe versus the dimensionless time under different dimensionless thermal axial forces at=0.5

圖7 不同無量綱溫度軸力下在=0.75處固支管道無量綱撓度響應隨時間的變化情況Fig.7 The dimensionless deflection response of the clamped supported pipe versus the dimensionless time under different dimensionless thermal axial forces at =0.75

4 結 論

在溫度變化的影響下，固支FGM輸流管道橫向振動的數值計算結果表明：

1) 在不超過第一臨界速度的情況下，體積分數相同且不考慮溫度的影響或同一溫度時，管道固有頻率隨著流速的增加而減小，超過第一臨界速度后，輸流管道運動開始發散，超過第二臨界速度后管道耦合模態顫振發生；

2) 在相同體積分數和同一流速情況下，兩端固支邊界條件下輸流管道的固有頻率隨著無量綱溫度軸力的增加而減小；

3) 撓度響應幅值隨著無量綱溫度軸力的增加而緩慢增加，撓度響應周期隨著無量綱溫度軸力的增加而增大。