一組有限維向量的極大無關組的求法

張麗娟

摘要：文章利用向量空間之間的同構關系，將求任意數域F上有限維向量空間中一組向量的極大無關組的問題轉化為求? 中一組與之對應的向量組的極大無關組的問題.

關鍵詞：極大無關組;同構映射;矩陣的秩;向量空間的基

中圖分類號：0151.21? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）49-0194-02

設 為數域F上n維向量空間V中的一組向量，下面將介紹如何求它的一個極大無關組.

一、利用同構映射轉化問題，并判斷向量組的線性關系

首先，我們總可以找到V的一個基 （此組向量線性無關，且V中每一個向量都可以由這組向量的線性組合唯一的表示），且令其次，由“任一數域F上n維向量空間V都與 同構”可知V與 之間必存在一個同構映射，我們可以根據上面表示的唯一性，依向量和它關于某個基的坐標構造一個同構映射f，則

最后，依據以下定理可將問題轉化.

定理1 映射f為數域F上n維向量空間V到F 的一個同構映射，則V中的一組向量 線性關系與 中的一組向量 的線性關系一致.

定理2 一個矩陣的秩等于其列向量構成向量組的秩.

例1 求實數域上3行2列的實矩陣構成向量空間 （R）中一組向量

由上述說明可知，任意n維向量空間中一組向量的線性關系問題都可以轉換成這些向量關于此空間中某個基的對應坐標在 中的線性關系，下面將詳細討論 中一組向量的極大無關組的求法.

二、 中一組向量極大無關組的求法

當向量組中有零向量時，我們可以先將此向量組中的所有零向量除去，在剩余的由非零向量構成的向量組中求其極大無關組即為所求.

所以，不妨設 全不是零向量，又由于

定理3 設A= 若A可經過矩陣的行初等變換化為B，則B中 線性無關當且僅當A中相應的 線性無關.

從而可將求向量組 的極大無關組的問題轉化為求以此組向量為列的矩陣的變換問題，且當A交換兩列時只需將B的相應列進行交換，所以最終我們只需考慮將A通過行初等變換和第一類列初等變換所得矩陣 是r階的單位矩陣，

本文在求任意有限維向量空間中一組向量的極大無關組時，假設這個向量空間的一個基是已知的，才會有上述做法，而任意有限維的向量空間，從理論上而言其基必是存在的，但它的求法因實際情況而定;除此之外當給出的向量是行向量時

再對A進行行變換和第一類列變換，也可令 進行列初等變換和第一類行變換求解.

參考文獻：

[1]劉仲奎，等.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003：272-284.

[2]北京大學數學系幾何與代數教研室前代數小組.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]張禾瑞，等.高等代數[M].北京：高等教育出版社.