數形相依，綻放思維之花

林吟艷

借助直觀形象模型理解抽象的數學概念以及抽象的數量關系是小學生學習數學的重要方法。教學活動雖然有圖形、有算式，但活動中不關注這些圖形的形狀與度量特征，而是關注圖形的個數，并沒有滲透數學意義上的“數形結合”思想。這一現象引起了筆者思考，“數與代數”領域中哪些知識點可以滲透“數形結合”思想？

一、借助數軸，理解抽象的概念

數學知識本身是抽象的，建立直觀是非常必要的，而數形結合是建立數學直觀的有力工具。小學生的邏輯思維能力比較弱，他們對抽象概念的理解基本上要借助感性的直觀材料，借助數形結合圖形直觀的特點，為抽象概念的學習提供了較好的方法。數軸實現了數與形的聯系，將數與直線上的點建立了對應關系，揭示了數與形的內在關系，從而使抽象的“數”有“形”可依。

【片段】求一個數的近似數。

師：0.984保留一位小數的近似數，為什么是1.0，而不是1呢？末尾的0到底該不該去掉呢？

操作要求：請同學們借助這條數軸“找一找、圈一圈、畫一畫、議一議”，分別找到近似數是1和1.0的數。

師：從剛才同學們畫的范圍可以看到，近似數是1的范圍是0.5～1.5（不包含1.5），近似數是1.0的范圍是0.95～1.05（不包含1.05），也就是說，近似數為1.0的精確度要更高點。保留的小數位數越多，近似數的精確度越高，正因為這樣，在表示小數的近似數時，末尾的0是不能省略的。盡管大小相同，但精確度會受影響。

借助數軸對比，學生直觀感受到保留的位數越多，近似數的精確度越高。可以追問學生近似數1.00的范圍、近似數1.000的范圍，拓展思維，體驗極限的思想。數形結合使“數”與“形”統一起來，豐富了學生對數的形象感知，發展了學生的數感。

二、借助線段圖，理解抽象的數量關系

解決問題作為一種貫穿整體的教學方式，每時每刻都在進行。具體問題的題意理解、數量關系分析、問題解決策略的形成都離不開直觀手段的運用。歸一、歸總問題是建立兩步問題數量關系和形成學習方法的關鍵，是培養畫圖意識和畫圖能力的關鍵。以下是學生歸總問題畫的線段圖：

通過線段圖比較，明確畫圖時反映信息問題要準確全面，通過尋找共性特點，幫助學生發現中間問題或關鍵因素，即學生要解讀出總量不變這一關鍵問題，并在線段圖上反映為長度相等，又要用不等長的線段區分6元與9元價錢，在“等長”和“不等長”的圖示表達中經常會顧此失彼。此時，引導學生圍繞“整條線段表示什么”“同樣長是反映哪條信息，同樣長想表達什么信息”等問題展開討論，梳理各信息之間的內在聯系和畫圖步驟，幫助學生全面、有序地表達題意。線段圖對解題思路分析、整理數量關系、數學模型建構都有明顯的直觀效果。

三、借助“面積模型”理解分數及運算算理

學生只有理解了算式的意義，才能正確地運用算式解決問題，對算式意義的理解實際上是對運算意義的理解。運算的含義對學生來說是抽象的，學生理解這些抽象的概念會有一定的困難，一定要處理好直觀與抽象的關系，加強直觀教學，突出從概念的本質上理解運算的意義。

【片段】連除簡便計算。

師：像600÷2÷3=600÷（2×3），400÷5÷2=400÷（5×2），900÷3÷10=900÷（3×10）這樣的算式，為什么就相等了呢？你是怎么判斷的？

生：左右兩邊算式的計算結果是一樣的，所以相等。

師：是不是只要有這樣特點的算式都是相等的呢？100÷4÷7和100÷（4×7）這兩個算式相等嗎？

學生有的沉默，有的搖頭，有的點頭。

生：都除不盡怎么判斷？

（多媒體出現一個長方形圖）

師：如果把這個長方形看成100，100÷4÷7怎么表示？100÷（4×7）又怎么表示？

學生操作。

生：把100平均分成4份，再平均分成7份，就是把100平均分成28份。100÷（4×7）也表示把100平均分成28份。

外在的形式上，a÷b÷c和a÷（b×c）存在明顯的不同，當我們把兩個算式的意義歸結到除法平均分的意義上，結合“面積模型”直觀演示，清晰理解“連除性質”的本質。在學習過程中，學生溝通了知識間的聯系，建構起了完整的“知識鏈”。

四、借助“直角坐標系”，初步感知函數思想

學生在學習正、反比例關系時，把兩個量在直角坐標系中表示出來，借助于形象的圖像，直觀呈現兩個變量之間的相依關系，深入理解抽象的函數關系。正比例的概念比較抽象，如何讓學生正確建構出正比例的模型，關鍵是帶領學生找到正比例最核心的本質，即比值一定。應用數形結合思想可以把抽象的數量關系與形象的直角坐標圖聯系起來，在“數”與“形”互譯中理解正比例的本質，初步感知函數思想。

數形結合思想反映了客觀事物深層次的內在聯系和矛盾統一。我們要重視數形結合思想在小學數學教學中的運用，讓學生在學習中不斷積累經驗，形成方法和策略，思維獲得有效的發展。