數學游戲幻三角的啟發式思路分析

王姿婷 李建華

(1.海南鹽灣未來領導力學校 572400;2.北京師范大學數學科學學院 100875)

數學游戲在數學教育中的應用，取決于對數學游戲中的數學內容及其方法的分析.幻三角的規則與經典的數學游戲幻方相類似，只不過形狀上由正方形變成了三角形(如圖1)，幻三角要求將給定的數字填入所給方格使得各向的邊上數字之和一致.它其實是幻方的一種變式游戲，當然，除了變成三角形還可以變成星形、正多邊形等其他具有一定規則性的圖形，而單純從幻三角這一種變形上看，又可以通過設定每邊數字個數來不斷獲得新的變式，我們用啟發式的思路對每邊含有三個數字的幻三角從初步認識到性質推理進行一些數學討論，這些討論將對以幻三角為載體的數學課堂教學設計提供重要參考.

圖1

啟發式思路之一：幻和的最值

在討論幻三角的構造前，我們必須先給定可以用于填入這六個格的數字范圍，可以是1至6、1至7等等，問題的開始，我們可以從最簡單的情況入手，即從數字使用范圍為1至6這六個數字這種情況開始分析.

由幻三角的定義，我們容易想到，要想解決這個問題，繞不開的一個重要問題就是：每條邊的和是多少？我們不妨將這個數稱為“幻和”.

若大家接觸過三階幻方(九宮格)，會發現三階幻方中的幻和很容易求出，因為將三行(或者三列)一起看，會發現它們剛好可以將三階幻方所需數字1～9包含且僅包含一次，更重要的是，它還天然地等分出三個區域，每一行三數之和即為幻和，于是三階幻方的幻和呼之欲出——(1+2+…+9)÷3=15.與三階幻方不同的是，在幻三角中我們沒辦法找到不重不漏地將六個數字囊括進若干個幻和中，那么幻三角的幻和如何確定呢？

雖然目前我們還不清楚具體幻和為多少，但我們還是可以很有把握的說，1不可能是幻和，2也不可能，或者說，至少都需要從6開始往上去分析，當然這個幻和也絕對超不過4+5+6，但6和15這個區間劃分的依舊太大，因此，在分析幻三角的幻和所有具體的可能值之前，很自然地，我們必須先要考慮幻和的最值，這可以為我們避免一些無用功.

注意到若按照幻三角的六個位置所處的連線數目進行劃分，很快就可以按照邊角特點劃分成自然的兩類：三個角上的數會有兩條連線經過，而三個邊格數則只會經過其所在的那一條連線，我們不妨將若干連線一同考慮，再看看哪些位置的數字重復使用了.

當三條線全部用上，我們可以知道，這樣會把六個數字都含了進去，并且三個角的數字會重復使用，于是我們可以知道，當幻和為m，三個角上的數字分別為a,b,c時，就有3m=(1+2+…+6)+a+b+c.很明顯，幻和直接可隨a,b,c的確定而被確定.a,b,c不同，幻和也可能發生改變，這與三階幻方的幻和唯一就有很大區別，幻三角的幻和會是一個區間內的正整數.

我們回到幻和的最值問題的討論上來，上面的式子其實就已經給了我們很好的提示，幻和要想最小，a,b,c三數之和必須是最小的搭配，類似的，幻和的最大值也應通過令a,b,c達到最大搭配求得.也就是說：

這樣我們就將幻和的取值范圍給明確下來了，值得一提的是，這種基于結構特征得到的方法還可以在幻三角的進一步變式中使用.下一步，我們只需要在9，10，11，12中明確具體幻和以及對應的幻三角形即可.

啟發式思路之二：幻三角的構造

知道幻和可能的取值后，我們便可以進入到幻三角構造的工作中.

現在已知兩個入手點：一個是幻和，一個是角上的三個數a,b,c，當然，這兩個入手點是彼此制約而非獨立的.首先，我們從幻和為9的情況入手，在這樣的情況下，必有a+b+c=6，于是a,b,c只能夠對應(1,2,3)這三數，由此，我們便可以在填入角的數值后再依據幻和將剩余的三個位置值求出，見圖2.

圖2

下面，我們試試幻和為10的幻三角，要想幻和為10，a,b,c三數的和需要為9，而這樣的三數組合可以為(1,2,6)、(1,3,5)或者(2,3,4)，那么，幻和為10的幻三角是否有多個呢？我們同樣依據角數及幻和構造試試看(見圖3).

圖3

可以看到，圖3中，左圖里面1與2共邊的那條邊上還缺7，而右圖中3，4共邊的那條邊上缺的是3，而3已經使用過，因此以(1,2,6)、(2,3,4)作為角上的三數無法構造出幻三角，唯獨(1,3,5)可以.這也就是說，幻和為10的幻三角也只有一個.

類似的，我們繼續分析幻和為11的情形，這種情形下，a,b,c三數之和需為12，能夠滿足這個要求的三數組為(1,5,6)、(2,4,6)或(3,4,5).

圖4

如圖4所示，左圖中5與6和已為11，無法插入任何一個數，而右圖中3，5共邊的那條邊上缺的是3，而3已經使用過，因此以(1,5,6)、(3,4,5)作為角上的三數無法構造出幻三角，只有(2,4,6)可以.因此幻和為11的幻三角只有一種.

至于幻和為最大值12時，角上所能放置的三數只能是(4,5,6)，只要余下的另外三數可以湊出該幻三角即可，如圖5.

圖5

啟發式思路之三：幻三角中的性質分析

其實對于幻和取值范圍內的每一個數，與之對應的幻三角是否都能存在，存在的話又是否唯一這些問題都需要我們去思考，而前面的敘述使用了最直截了當的方法：直接去試，在討論的數字范圍是1至6時，這樣的方式確實也不會耗費太多時間，但是當可選取的范圍變為1至9挑6個填入甚至范圍更大的變式幻三角時，或許直接去試就有點無頭蒼蠅的感覺了，因為要討論的種類會增加很多.其實，很多情況下，開始主要問題的研究前，花一些時間找一些數學性質會給后續工作帶來極大便利，往往能達到事半功倍的效果.下面我們一起看看，能不能找到一些有意思的性質.

由前面所做的工作可以知道，幻和為m，三個角上的數字分別為a,b,c時，有3m=(1+2+…+6)+a+b+c，其實，這個式子除了能夠幫我們找出幻和的最值外，由這個式子我們還可以反過來得到角上三數的一個限制：由于1至6的和是21，21加上a,b,c三數后仍是3的倍數，因此a,b,c三數的和必是3的倍數，也就是說，諸如1，2，4這樣的三數組合必然不可能作為幻三角的三個角上的數.我們不妨將所有可能置于角上的三數組合全部找出來：(1,2,3)(1,2,6)(1,3,5)(1,5,6)(2,3,4)(2,4,6)(3,4,5)(4,5,6).這樣一分析，問題就簡化了很多，當三個角的數字一確定，幻和自然地也會被確定，但是，這只能作為幻三角的角上三數的必要條件，是否最終得以確立仍需如前面一般討論，例如(1,2,6)決定出幻和為10但是1，2同為角上的數時它們所夾邊就會缺7，因此這個需要被排除，這樣分析下來結果會與前述結論一致，只不過是思考方向不太相同.

另外，觀察我們最后用1至6構造出的四個幻三角，它們有一個共同特點：1與6都在一條邊上，這是純屬偶然的事情還是有一定的必然性呢？我們不妨回到結構中去尋找一些線索.

若1和6不共邊，那么它們一定分別位于兩條不同的邊線上，但注意到，幻三角中的邊線都是兩兩相交的，也就是說1和6所在的兩條邊會交于一個角格，不妨假設該角格填入的數字為n，那么這兩條邊上都已分別填入了兩個數字，一條是1和n、一條是6和n，那么接下來我們就需要在1至6中找到除了這三個數之外的兩個數字，使之能夠分別搭配這兩對數字獲得兩組和相等的三元數組，即1+n+x1=6+n+x2，也正是如此，我們知道x1-x2=5，然而1至6中只有1和6能夠相差5，剩余的三數不可能做到，這就引發了矛盾.故1和6必須共邊！值得注意的是，前面的這個分析，無論放在哪些連續的自然數數組中，都會有最大最小兩個值之間的差值無法由其余數對搭配出來這樣的現象，因此，這個推論在幻三角的許多變式中依然具有效力，即最大值與最小值必須共邊.事實上，如果一開始就分析出這個結論，那么幻和的最值的必要條件就具備了，因為1和6必須共邊，因此能夠搭配的最小數就是2，此時這邊三數之和為9，不可能更小，相對應地，我們可以找到幻和最大時應該是1、5、6一起搭配出的幻和12，同樣也不可能找出更大的幻和了.

另外，知道了1和6必須共邊外，我們還可以考慮一下這樣一個問題：能否將這兩個數字同時置于角格上？

注意到1和6如果同在角格上，則另一個角格無論是哪個數都將分別與1、6共邊，而1和6之間差了5，有一個公共角后，無法從剩余數字中再找出間隔為5的數對了，因此，最小數不僅需要與最大數共邊，它們還不能同為角格上的數！同理，也即最大數字與最小數字必須一個位于角格一個位于與這個角格相鄰的邊格上.

數學問題的研究過程中，新的性質的提出不一定帶來新結論但是往往能夠提供一些新的思維視角，而對同一問題多方面思考也恰是我們希望給學生們帶來的深刻啟迪.

啟發式思路之四：幻三角的性質在構造中的應用

在數學問題的研究過程里面，對一個基本問題的性質分析，目的可能主要是在于，當我們再次遇到類似問題甚至是進行一些變式時，能極大的簡化類似的過程.這里不妨將前面分析1至6構造幻三角過程中提及的結論進行一下梳理：

①3m=(1+2+…+6)+a+b+c；

②a,b,c三數的和必是3的倍數；

③最大數字與最小數字一個位于角格一個位于與這個角格相鄰的邊格上.

接下來，我們嘗試著用前面分析出來的一些性質對其進階問題進行思考：當給定的數字是由1到7，如何構造幻三角.

首先，我們要知道，總共就6個位置，那么必有一個是多余的，而為了不重復討論，7必須要使用，否則問題就會完全變回1至6的幻三角構造問題上去了.不妨先假設舍去的那個數字是1，也就是使用2至7這6個數字來構造.

同樣地，由幻和最值的計算方法，我們先計算一下幻和m7-1的取值區間：

3m7-1=(2+3+…+7)+a+b+c,

由角上的三數之和必為3的整數倍，可知角上的三個數a,b,c只能在以下組合中選擇：(2,3,4)(2,3,7)(2,4,6)(2,6,7)(3,4,5)(3,5,7)(4,5,6)(5,6,7).又因為最大數字7與最小數字2必須一個位于角格一個位于與這個角格相鄰的邊格上，因此排除掉(2,3,7)、(2,6,7)、(3,4,5)、(4,5,6)，因為這四組數要么將2、7都放角格，要么都放邊格上，因此，角格數組只能在剩下的四個中挑選構造：

圖6

可以看到，角格數為(2,3,4)時確實可以構造出相應的幻三角，類似的，我們分別將角格數換成(2,4,6)、(3,5,7)和(5,6,7)并嘗試構造相應的幻三角，見圖7：

圖7

由此我們便將使用2至7這6個數字來構造幻三角的問題完成了，總共畫出了4個，且幻和各不相同，這與使用數字1至6這六個數字來構造的情形相似.

剔除2的情形：

下面，我們在1到7這七個數字中剔除2，也就是余下1，3，4，5，6，7這六個數字進行構造.而因為有3m7-2=(1+3+…+7)+a+b+c，而此時六個數字之和為26，因此最后的結果希望被3整除的話，則需要角上的三個數a,b,c之和模3余1，由此，能夠作為角格數出現的數組為(1,3,6)、(1,4,5)、(1,5,7)、(3,4,6)、(3,6,7)、(4,5,7).

可以推得幻和m7-2可能的取值區間為：

與之前分析類似，數字1和7必須共邊且一個是角格數一個是邊格數這一約束依然成立，因此，能夠作為角格數出現的數組為(1,3,6)、(1,4,5)、(3,6,7)、(4,5,7).

我們將其可能對應的幻三角寫出來，分別是：

圖8

從圖8中可以看出(1,3,6)為角格數時，幻和應為12，而1、3所在邊將缺8，構造失敗，而(1,4,5)、(3,6,7)則都各有一種對應的幻三角.

剔除3的情形：

接下來我們剔除數字3，同樣先計算余下6數的和：1+2+4+5+6+7=25，因此角格數a,b,c之和模3余2，因此，能夠作為角格數出現的數組可能為(1,2,5)、(1,4,6)、(1,6,7)、(2,4,5)、(2,5,7)、(4,6,7)這五種，數字1和7必須共邊且一個是角格數一個是邊格數，因此我們排除掉(1,6,7)、(2,4,5)，對剩下的四個分別進行嘗試：

(1,2,5)為角格數時，幻和應為11，而1、2所在邊將缺8，構造失敗，(4,6,7)為角格數時，幻和為14，而4、6所在邊將重復使用數字4，因此也無法構造，剩下的(1,4,6)、(2,5,7)則都各有一種對應的幻三角(圖9).

圖9

剔除4的情形：

如果剔除的數字是4，則有余下6數的和：1+2+3+5+6+7=24，因此角格數a,b,c之和將為3的整數倍，因此，能夠作為角格數出現的數組可能為(1,2,3)、(1,2,6)、(1,3,5)、(1,5,6)、(2,3,7)、(2,6,7)、(3,5,7)、(5,6,7)這8種，對剩下的四個分別進行嘗試：

圖10

從圖10中可以看到，這8個里面，只有兩種情況可以使用除4外的6個數字構造幻三角.

剔除5的情形：

剔除5時，類似分析，1+2+3+4+6+7=23，因此角格數a,b,c之和模3余1，能夠作為角格數出現的數組可能為(1,2,4)、(1,2,7)、(1,3,6)、(2,4,7)、(3,4,6)、(3,6,7)這6種，數字1和7必須共邊且一個是角格數一個是邊格數，因此我們排除掉(1,2,7)、(3,4,6)這兩個，對剩下的四個分別進行嘗試，見圖11：

這4組角格數里面，只有兩種情況可以使用除5外的6個數字構造幻三角.

圖11

剔除6的情形：

最后一個，剔除數字6的情況：1+2+3+4+5+7=22，因此角格數a,b,c之和模3余2，能夠作為角格數出現的數組可能為(1,2,5)、(1,3,4)、(1,3,7)、(2,4,5)、(2,5,7)、(3,4,7)這6種，數字1和7必須共邊且一個是角格數一個是邊格數，因此我們排除掉(1,3,7)、(2,4,5)這兩個，對剩下的四個分別進行嘗試：

圖12

這4組角格數里面，只有兩種情況可以使用除6外余下的6個數字構造幻三角(圖12).

所有情形分析完后，我們可以看到，用1至7中的六個數字構造的幻三角(算上剔除數字恰為7的情況)總共有：4+2+2+2+2+2+4=18種.

另外，在通過分析角格數可能的數組來尋找可能的幻三角過程中，不知道大家是否注意到，剔除1與剔除7(最初分析的使用1～6的情形)的情況有些接近，都是總共有4種幻和并且每種幻和對應一種幻三角，剔除2的情況與剔除6的情況相近，從角格數分析都是4種角格數組，而分析下來只有兩種幻和，并各對應一種幻三角，而剔除3的情況又與剔除5的類似，4種角格數組，對應4種幻和，但是只有兩個幻和能找到對應的幻三角，這能給我們什么啟示呢？

注意到這些相似的數對——1和7、2和6、3和5，它們在1到7這七個數中的位置恰是對稱的(將1到7按順序排列后所在位置前后對稱)，這個如何理解呢？我們可以用字母表示數，將這些數字的一般關系表示出來：在1至7這些數中，任意一個數字a，其對稱數字為8-a.假設這七個數字中的某六個能夠構造出幻三角，如圖13，那么我們將每一個數字都換成它對應的對稱數字，會發現，當a+d+b=b+f+e=a+e+c時，那么下式也將成立——(8-a)+(8-d)+(8-b)=(8-b)+(8-f)+(8-e)=(8-a)+(8-e)+(8-c).也就是說，換數字后依然能夠組成幻三角！理解這些關系后還會驚喜地發現，下式中8其實換成9也依舊成立，或者說這種關系其實與這些數字是1到7還是1到8無關，連續6個以上的數字都可以有類似性質.這個小結論意味著我們一旦寫出一個幻三角，將每個數字換成其對稱數字即可立刻構造另一個幻三角，可以幫我們節省一半的尋找工程，簡直太美好了！

圖13

除了上述的對稱數字的描述，在用1到7中六個數字構造幻三角過程中，去掉7(使用1到6)與去掉1(使用2到7)二者的相似性還可以如此分析：從1到6變為2到7，相當于每個數字都加一，而有了a+d+b=b+f+e=a+e+c便可以推出(1+a)+(1+d)+(1+b)=(1+b)+(1+f)+(1+e)=(1+a)+(1+e)+(1+c)，同樣滿足幻三角的定義.也就當分析完1到6的幻三角構造流程后，相應地也能推導出由2到7這六個數字構造的幻三角，甚至還能看到，當數字換成3到8時也類似地由1到6所造的幻方每個數字加上2得到，同理，4到9的、5到10的這種連續6個數能夠構造出來的幻三角，也是有且僅有4種.值得一提的是，這種在已有幻三角的六個數字同時加上相同的數字而得到在更大數字選用范圍限定下的幻三角的方法，不止在連續6個數字中適用，而是在任意六數所造的幻三角中都可以推廣(如1至8能構造的幻三角個數將與2至9構造的幻三角一樣，因此我們只需要討論1與9同時存在的情況所有的幻三角個數即可)，這結論是顯然的，所以我們在分析更大的數字選用范圍時，其實完全可以借助之前的分析來節省工作量，新的分析任務將只集中在討論1與最大數字同時存在的情況數目即可.

在前面的分析中，我們主要是從剔除的數字進行分類，并從角格上的三個數可能有的取值數組入手分析，隨著數字可選擇的范圍的增大，剔除數字也將由1個增至若干個，分類數將增加，而且角格上的三數組合也將明顯增多，因此，繼續使用這樣的遍歷模式可能在后續工作上會比較困難.可以考慮先計算出幻和的取值范圍，然后按幻和分類，再利用前述的若干結論進行遍歷(不需要所有幻和都遍歷一遍，只需要折半分析，后半部分可由前半部分利用對稱性構造出來).當一邊固定1與最大數并選其一放于角格上后，該邊也就只有一個位置需要確定，并且幻和也將隨著該數的確定而被相應地定下，例如，在1至8的幻三角分析中，只需要考慮1和8同時在的情況(1不在或者8不在的情況將由1至7的構造數目確定，各有18種)即可.

由于1、8必須共邊，且一個位于角格一個位于邊格，可以依此分為兩類(見圖14).而由前面的分析我們知道，在所有的數字選用范圍為1至8這8個數時，1與8剛好是位置對稱的兩個數，因此，這兩類所對應的幻三角數目相同，故現只需要分析其中一類(不妨取圖14中的左圖這類)能夠得到的幻三角最后乘以2即可得到所有的數目.

圖14

如圖14所示，在b的位置，最小放的是2，最大放的是7，從而幻和最小是11，最大16.而b=2與b=7在這組數中正是對稱位置，因此當b=2時，幻和為11，需要f+c=9;e+c=10，在剩余的數字3，4，5，6，7中，3+6=4+5=9；3+7=4+6=10，因此c的位置可以有三種選擇：3、4、6，分別可以對應三個幻三角，如圖15.

圖15

當b=3時，幻和為12，需要f+c=9;e+c=11，在剩余的數字2，4，5，6，7中，2+7=4+5=9；4+7=5+6=11，因此c的位置可以有三種選擇：4、5、7，分別可以對應三個幻三角，如圖16.

圖16

當b=4時，幻和為13，需要f+c=9;e+c=12，在剩余的數字2，3，5，6，7中，2+7=3+6=9；5+7=12，因此c的位置可以有1種選擇：7，對應的幻三角如圖17.

圖17

圖18

當b=5時，幻和為14，需要f+c=9;e+c=13，在剩余的數字2，3，4，6，7中，2+7=3+6=9；6+7=13，因此c的位置只能有2種選擇：6、7，對應的幻三角如圖18.

當b=6時，幻和為15，需要f+c=9;e+c=14，在剩余的數字2，3，4，5，7中，沒辦法找到和為14的兩數，因此這種情況不可能構造出幻三角，同理，當b=7時也沒辦法構造出幻三角.

因此，我們在將1放角格8放邊格的這一類分析中總共找到了9種幻三角，而反過來將8放角格1放邊格的情況，只要將每個數字換成其對稱數字即可，同樣將有9種，也就是共18種如圖19.

圖19

由前述分析，可以知道，現在1～8所構造的幻三角可以依據使用數字分為以下幾類：1.使用連續6個數字(使用1～6、2～7、3～8)；2.在連續7個數字中剔除除了首尾兩數之外的任一個數獲得6個數(在1～7中同時使用1、7；在2～8中同時使用2、8)；3.1、8都用上.第一類與使用1～6構造的幻三角個數一致，為4種，第二類與在1～7中同時使用1、7的情況數目一致，各10種，第三類為18種，因此，1～8所構造的六數幻三角總共有4×3+10×2+18=50種.

注意到計算1～8所構造的六數幻三角總數時所分的三類，最關鍵的就是在每一次新數字范圍中最值同時出現時幻三角的個數(如1～6中1、6；1～7中1、7；1～8中1、8同時出現)，并且它們可以直接呈現出一種類型能夠構造出的幻三角數目.用a1,a2,a3,…,an,…分別表示從1～6、1～7、1～8、…等幻三角構造問題中，最大最小值同時用上時幻三角的個數(例如1～8分類中的第三類)，用b1,b2,b3,…,bn,…分別表示使用數字范圍為1～6、1～7、1～8、…時能構造出的幻三角總數目(例如1～8時總共有50種)，則有：

其中，初始值a1=4；a2=10；a3=18.

若用Sn表示數列an的前n項和，則有：bn=bn-1+Sn(n≥2).要梳理出數列bn的通項公式，必須找出數列an的通項公式，現尚未找出統一的公式，于是就很有必要依托之前找到的各種小結論，以縮減我們尋找每一項的工作量.

可以看到，僅構造六數幻三角的問題便可分析出如此多的結論及發現，在使用數字的數目不多且僅使用加減法便可逐步分析的情況下，它依舊能夠找到諸多值得思考及深入的問題，并且它們常常不像想象中那么簡單，需要具備一定的歸納梳理能力，其教育價值不言而喻.在將此游戲活動引入課堂的過程中，我們可以讓學生從嘗試填上一些空缺數字以及半猜半算地去拼湊幻三角，但隨著學生思維水平的逐步提升，我們可以將幻三角背后的一些思維啟發呈現給學生，也有必要讓他們去體驗數學問題中哪些問題是重要的，常常以哪些問題作為著力點，并借由數學游戲活動讓他們感受到很多數學內容都以簡單形式開始，但是其背后的奇妙邏輯其實是具有挑戰性的.要想在解決問題時更加高效，我們就必須在面對問題時多觀察多思考，所有的驚奇發現都是某一次思考時的“靈機一動”產生的，而幻三角正是這樣的數學游戲.