也談函數的單調性

2019-01-16 02:02:24胡鳳娟保繼光

數學通報 2018年12期

關鍵詞：定義數學

胡鳳娟保繼光

(1.首都師范大學教師教育學院 100048;2.北京師范大學數學科學學院 100875)

函數是數學中的核心內容，而單調性是函數的基本性質，也是高中數學教學的重點.但是，在教學實踐中存在著許多模糊認識和錯誤理解.準確把握好函數單調性的概念教學，是切實關注通性通法的重要方面，更是落實數學學科核心素養的需要.

本文首先討論了函數單調性的定義，然后給出在指數函數單調性、極值和最值教學中的相關建議.

1 函數單調性的定義

在現行的高中數學教材6個版本(人教A版、人教B版、北師大版、蘇教版、湘教版和鄂教版)中，函數單調性的定義大同小異，沒有本質區別.追溯高中數學教材各時期的版本，函數單調性的敘述也是如此.據了解根據《普通高中數學課程標準(2017年版)》正在修訂的教材中，函數單調性的定義也大同小異.下面是人教A版必修一中單調性的定義[1]：

一般地，設函數y=f(x)的定義域為D：

如果對于定義域D內某個區間I上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1

如果對于定義域D內某個區間I上的任意兩個自變量的值x1,x2，當x1f(x2)，那么就說函數y=f(x)在區間I上是減函數(decreasingfunction).

如果函數y=f(x)在區間I上是增函數或減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間I叫做y=f(x)的單調區間.

1.1 關于區分單調與嚴格單調的建議

查閱了諸多數學相關書籍，發現《中國大百科全書·數學》《數學辭海》以及《數學分析》的教科書基本上都明確區分了單調與嚴格單調的定義.下面給出《中國大百科全書·數學》中關于單調函數的描述[2]：

如果對D中任意兩數x1,x2，當x1f(x2))總成立，則稱函數f為D上的嚴格增函數(嚴格減函數)；增函數與減函數統稱為單調函數；嚴格增函數與嚴格減函數統稱為嚴格單調函數(這里并沒有清楚地說明D是否為區間).

有一些文獻將嚴格單調增函數(嚴格單調減函數)稱為增函數(減函數)、將增函數(減函數)等同于非減函數(非增函數)[3][4]，這里不再展開敘述.

數學百科全書(Encyclopedia of Mathematics)[5]上的相關表述是：A real-valued functionfis said to be increasing over an interval if, over that interval, greater input values produce greater (or possibly equal) output values, that is, ifaandbare two values in the interval witha

綜上所述，我們建議函數單調性的定義如下：

設函數y=f(x)的定義域為D，區間I?D，

(1)如果對于任意的x1,x2∈I，當x1

(2)如果對于任意的x1,x2∈I，當x1f(x2)，則稱函數y=f(x)在區間I上是嚴格減函數(strictly decreasing function).

由于定義域的英文是domain, 區間的英文是interval，所以將定義域和區間應該分別簡記為D和I.

在這個定義下，可以借助導數給出函數的單調性的充要條件.

設函數y=f(x)在區間I上可導，則

(1)y=f(x)是I上增函數的充要條件是f′(x)≥0，x∈I;

(2)y=f(x)是I上減函數的充要條件是f′(x)≤0，x∈I.

判斷函數f(x)=x5在實數集R上是增函數.

當然，如果想進一步判斷嚴格單調性，還需要更細致的討論.事實上，不難證明：設函數y=f(x)在區間I上可導.(1)若在區間I上f′(x)≥0，且僅在有限個點為0，則y=f(x)是區間I上的嚴格增函數；(2)若在區間I上f′(x)≤0，且僅在有限個點為0，則y=f(x)是區間I上的嚴格減函數.

這樣一來，不僅把單調性問題陳述的更加簡明，同時也與大學階段的函數單調性的定義，以及它的英文表述一致，充分體現數學的整體性.

1.2 關于淡化單調區間概念的建議

根據中學教材中現行單調區間的定義，若區間I是函數y=f(x)的單調區間，則區間I的任意一個子區間也是y=f(x)的單調區間，也就是說對于給定的函數單調區間不是唯一確定的！這是定義中的大忌.

在教學和評價中，單調區間常常被默認為是使得函數單調的最大區間.但是，在實踐中對區間端點的認識還是不到位.另外，需要注意的是，函數的單調性是整體性質，只能在給定的區間上討論，不能在某一點討論.比如，問題“f(x)=x2在x=0是單調上升還是單調下降？”本身就是不科學的！

例如在人教A版教材中有考查函數單調區間的例題，在習題中也有類似的題目，如下[6]：

例1圖1.3-4是定義在區間[-5，5]上的函數y=f(x)，根據圖像說出函數的單調區間，以及在每一單調區間上，它是增函數還是減函數？

圖1.3-4

解函數y=f(x)的單調區間有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5].其中y=f(x)在區間[-5，-2)，[1，3)上是減函數，在 [-2，1)，[3，5]上是增函數.

實際上，根據現行單調區間的定義，函數y=f(x)的單調區間可以是[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，也可以是它們各自的任意子區間；按照默認的最大單調區間的理解，函數y=f(x)的單調區間應該是[-5，-2]，[-2，1]，[1，3]，[3，5].原因是閉區間比相應的半開半閉區間更大.

高考中也經常會考查函數的單調區間.例如2018年天津理科卷第20題：已知函數f(x)=ax，g(x)=logax，其中a>1.第1問是：求函數h(x)=f(x)-xlna的單調區間.該題的答案是：函數h(x)的單調遞減區間(-∞,0)，單調遞增區間為(0,+∞).實際上，根據現行單調區間的定義，函數h(x)的單調遞減區間可以是(-∞,0)，也可以是(-1,0)或(-2,-1)；按照默認的最大單調區間的理解，函數h(x)的單調遞減區間應該是(-∞,0]，它比(-∞,0)更大.類似地，單調遞增區間應該是[0,+∞).

基于上述原因，我們認為，教材中最好不出現單調區間這個概念.如果出現，就應該理解為最大的單調區間.只有這樣概念才具有確定性和唯一性.

2 指數函數單調性的教學

在指數函數的教學中，一般是通過“看圖說話”的方法獲得它的單調性.給出具體指數函數(如：y=2x和y=3x)的圖像，進而“粗暴地”抽象出指數函數的單調性.一些教材還讓學生通過計算機進一步驗證指數函數的單調性.這種從特殊到一般的處理方式，非常具體、直觀，學生易于理解，但在凸顯直觀的同時，過多地喪失了數學的嚴謹性.

如何更好的得到指數函數y=ax在實數集R上的單調性呢？

不妨認為a>1, 要討論指數函數y=ax在實數集R上的單調性，根據單調性的定義，就是要在R上任取兩個數x1，x2，且x1>x2，進而判斷ax1-ax2的正負.根據指數冪的運算性質，ax1-ax2=ax2ax1-x2-1，且ax2>0.因此要判斷ax1-ax2的正負，只需判斷ax1-x2-1的正負，即ax1-x2與1的大小關系.這歸結為當x>0，ax與1的大小關系.

下面討論當a>1和x>0時，ax與1的大小關系.

(1)若x是正整數，則ax是x個a的乘積，因為a>1，所以ax>1；