回歸教材 高三復習的正道
——以人教版函數與導數為例

余小芬

(四川內江師范學院數學與信息科學學院 641100)

數學教材為學生的學習活動提供了主題、基本線索和知識結構，是實現數學課程目標、實施數學教學的重要資源.同時，教材是制定教學大綱和高考考試大綱的基本依據.羅增儒教授指出：“教材是課程的載體，因此高考命題最具體、最方便的依據其實是教材.”歷年高考命題中有大量試題直接源于教材或由教材中的例、習題改編而來.比如：2011年高考數學陜西卷文理18題直接考教材上余弦定理的敘述及證明、2016年四川卷理10題改編于教材一道求線段中點軌跡方程的例題、2017年全國卷Ⅲ文12題的雙曲正弦、余弦函數背景源于教材習題.因此，高考復習，回歸教材是正道.什么是回歸教材呢？回歸教材指帶著一定的目的、任務或問題回到教材中重新審視教材的過程.由此可見，回歸教材不是簡單閱讀教材、不是簡單羅列知識、不是簡單梳理方法、不是對教學過程的簡單重現，而是對學科知識脈絡的建構、對教材編者意圖的領悟、對教材隱性知識的挖掘、對學科知識本質的把握.具體到操作層面應該怎么做呢？筆者認為，高三復習回歸教材可從四個方面展開：厘清知識脈絡、拓展教材內容、開發“二手”結論、落實解題變式.

1 厘清知識脈絡——高三復習的基本任務

美國著名學者布魯納認為：“不論我們選教什么學科，務必使學生理解學科的基本結構.這是在運用知識方面的最低要求，它有助于解決學生在課外所遇到的問題和事件，或者在日后訓練中遇到的問題.”

因此，厘清知識脈絡，構建數學知識體系，對高三復習意義重大，這不僅能扎實基礎知識、掌握基本技能，更能啟發學生積極主動地思考、提升數學學習能力、提高應試能力和應試技巧.下文以人教版函數與導數為例，從宏觀和微觀兩個角度進行知識體系的建構.

數學是研究數量關系和空間形式的科學.如果說中學數學的研究對象可分為較單純狀態的“數量關系”、“空間形式”或兩者混合狀態的“數形結合”，那從宏觀角度分析，函數將不同研究對象有機聯系了起來，它覆蓋面廣，具有絕對的統率作用(如圖1)：數可以看成特殊函數；數的運算可以看成特殊的二元函數；代數式可以容易地被改造成一個函數；數列是特殊的函數；解方程也可納入函數問題的討論中；解三角形化歸為一個三角函數問題；函數與平面曲線具有影子一樣的密不可分關系.[1]

圖1

從微觀學習上看，高中函數與導數知識分布在必修1，選修2-2兩個模塊.包括集合與函數概念、基本初等函數Ⅰ、函數的應用、導數及其應用四個學習專題，涉及概念、公式、法則相當多，且知識零散，不利于學生對知識的系統把握.因此，筆者結合教材正文、習題、閱讀材料等內容，圍繞函數的概念、基本性質、圖象問題、導數等核心知識展開梳理，構建了如圖2的思維導圖(限于篇幅，以“函數的性質”為例).該思維導圖意義深刻：首先，圖2具有“索引”功能，能讓學生“按圖索驥”，為復習鞏固、查缺補漏提供線索和圖示；其次，圖2具有整合功能，實現零散知識的有效整合、相關知識的緊密銜接，最終保障知識的融合與內化；最后，圖2具有育人功能.構建圖2對培養學生形成自主學習、獨立思考、歸納整理、交流合作等良好習慣方面發揮獨特作用.陶行知先生曾說：“活的人才教育不是灌輸知識，而是將開發文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學生.”由此可見，厘清知識脈絡，構建知識體系，正是陶行知先生所倡導的“不是教學生，乃是教學生學”的積極嘗試，是激發學習興趣、孕育創新精神的良好途徑.

圖2

2 拓展教材內容——高三復習的廣度保障

教材是知識和能力的載體.教材內容往往以學習形態、教育形態呈現.因此，教材安排的內容從深度和廣度來看是有限的.因此，高三復習需要拓寬教材內容.教材內容不僅僅限于正文部分、例題部分、練習題部分、習題部分、復習題部分，還應拓寬到章前語、旁白、閱讀材料等等.比如：選修2-2第一章《導數及其應用》第20頁閱讀材料“探究與發現”中介紹了牛頓法——用導數方法求方程的近似解.該內容是對教材正文內容的補充和延展，具有深刻的意義：

(1)體現新舊知識有機地銜接.在必修1中，安排了方程的根與函數的零點之間的關系、利用二分法求方程的近似解的教學內容，使學生初步形成了利用數值法求解指數方程、對數方程等超越方程和高次方程的能力；在必修3中，安排了算法和程序框圖的教學內容，讓學生體驗了算法在科學技術和社會發展中的重要作用，培養了算法思想，發展了有條理地思考與數學表達的能力；在選修2-2中，安排了導數的概念、幾何意義及導數計算的教學內容，為用牛頓法求方程近似解提供了理論基礎.

(2)豐富求解方程近似解的算法，為實現算法的優化提供可能.求方程的近似解是一類重要的數學問題，解決問題的關鍵是確定有根區域和精確近似根.二分法和牛頓法求解方程的近似解各具特點：二分法適用于“閉區間[a,b]上的連續函數f(x)，且滿足f(a)·f(b)<0”的情形，是通過計算區間中點函數值，縮小有根區域不斷接近零點的一種線性收斂算法.華羅庚先生將二分法視為特殊情況的優選法，它在利用中點縮小有根區域時不依賴于函數f(x)，但它不能計算復根和重根；牛頓法是用曲線f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸交點的橫坐標xn+1作為方程f(x)=0的近似解的一種二階方法.牛頓法求非線性方程單根時具有二階收斂速度，但它對初始值x0要求苛刻，而且還要求函數的導數.由此可見，兩種方法各有優缺點，因此在實際應用時常將兩種方法結合起來，先通過二分法縮小有根區域，再利用牛頓法迭代運算，從而節約求解時間，提高運算效率，保障運算精確性，實現算法的組合與優化.

(3)蘊涵深刻的數學思想.“數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象和概括.”[2]牛頓法求解高次代數方程蘊含了以直代曲、逼近、近似代替精確、數形結合等重要數學思想.這樣將數學知識與思想方法辯證統一地結合，能有效促進學生對知識的理解，對數學思想的感悟.

(4)滲透數學文化.材料詳細介紹了牛頓在其著作《流數法》中求解高次代數方程的數值解法.同時，材料中思考題還要求學生進一步了解古今中外對方程根求解的探索歷程，引導學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術、社會發展中的作用，感悟數學的價值，提升學生的科學精神、應用意識和人文素養.

(5)命制高考試題的典型素材.該材料被多次運用到高考命題中，比如：2007年四川高考理科21題就以牛頓法求方程的近似解為命題背景,試題如下：

例1(2007年四川卷·理21)已知函數f(x)=x2-4，設曲線y=f(x)在點(xn,f(xn))處的切線與x軸的交點為(xn+1,0)(n∈N*),其中x1為正實數.

(Ⅰ)用xn表示xn+1；

(Ⅱ)證明：對一切正整數n，xn+1≤xn的充要條件是x1≥2；

圖3

因此，教師應充分利用該教材資源，展開研究性學習：讀材料——明白學習內容和探究問題；思原理——體會利用切線去“以直代曲”地“逼近”方程近似解的數學本質，能推導牛頓法公式；說流程——能設計算法框圖表達牛頓法求方程近似解的操作流程；作對比——能體會二分法與牛頓法求解方程近似解的聯系與區別，實現新舊知識的有機結合；悟心得——能反思問題解決中的成功與失敗，能分享古今中外對方程近似解求解方法的探索歷程；活應用——通過精選例題，感受牛頓法的應用價值，檢驗知識把握程度.總之，學生在主動閱讀問題、思考問題、解決問題、反思問題的過程中不斷完善認知結構，這對培養學生的數學能力、創新精神和實踐能力具有深遠的意義.

3 開發“二手”結論—高三復習的深度依靠

高考命題“既源于教材，又高于教材”.因此，高三復習需要對教材二次開發.二次開發教材也稱為教材的文本再構，主要指教師基于《普通高中數學課程標準(2017年版)》、《普通高等學校招生全國統一考試大綱》，結合高考命題實際，對教材中的某些內容進行刪減、拓展、補充、改進、增補、變式、整合等.通過二次開發，將學習形態的數學轉化為應試形態的數學、將教材結構轉化為應試結構.

教材中結論主要以公式、定理、法則的形式直接呈現.事實上，教材中間接隱含了一些結論(這里稱為“二手”結論)需要開發.“二手”結論往往是高考命題的重要取材、是解答高考試題的重要工具.比如：選修2—2習題1.3B組第1題：利用函數的單調性，證明不等式ex>x+1,x≠0，并通過函數圖象直觀驗證.正如前蘇聯數學教育家奧加涅所說“很多習題潛在著進一步擴展其教學功能、發展功能和教育功能的可能性……”該習題既有教學價值，也有應用價值.

價值1該習題介紹了證明不等式的重要方法：構造函數法；

價值2利用該習題可以培養學生幾何直觀素養；

價值3由該習題可以得到兩個重要不等式結論：

結論1ex≥x+1(x≥0)，當且僅當x=0時等號成立；

結論2lnx≤x-1(x>0)，當且僅當x=1時等號成立.

結論1、2在本質上是一致的：結論1指數化即為結論2，結論2取對數即為結論1.結論1、2是眾多高考試題的“生長點”.例如，2017年全國卷Ⅲ理科第21題：

例2(2017年全國卷Ⅲ·理21)已知函數f(x)=x-1-alnx.

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值；

利用結論1、2還可作以下探討：

由此可見，結論1,2是解決高考試題的有力工具.事實上，近年高考中不乏利用結論1,2解決的試題，例如：2017年全國卷Ⅲ文21題、2017年全國卷Ⅱ理21題、2016年全國卷Ⅲ文21題、2010年全國卷理21題等.正如教育家葉圣陶先生所說：“教材無非是個例子，它只能作為教課的依據.要教得好，使學生受益，還要靠教師善于運用.”

4 落實解題變式——高三復習的有效機制

所謂數學解題變式，就是數學解題中，相對于某種范式(即數學教材中具體的數學思維成果，含問題情境、基本知識、知識結構、典型問題、思維模式等)的變化形式，在數學解題過程中不斷變更數學問題中的情境或改變思維的角度，變換問題中的條件或結論，轉換問題的形式或內容，配置各種實際應用的環境等，以期暴露問題的本質特征或內在聯系的教學方法.但這些變化所得到的不同表現形式和原有的問題之間保持一定的相似性，這些變化所得到的不同表現形式成為原來問題的變式.[3]布魯納從心理學的角度指出：“早期的多樣化訓練，是產生理智行為的條件之一，除非學生經歷某些變化，否則難以形成一般編碼.”在布魯納看來，一般性編碼就是較高層次的規則，而這無疑是我們通常意義上的程序性知識，或稱技能，要形成一般性編碼就要進行變式練習.在解題中運用變式對學生認識問題的本質、完善認知結構有積極的作用.

選修2-2習題1.2 A組第6題(下文簡稱例3)：已知函數y=xlnx.(1)求這個函數的導數；(2)求這個函數的圖象在點x=1處的切線方程.

例3難度不大，考查知識常規.但試題中的函數模型y=xlnx內涵豐富，具有典型性、深刻性，是歷年高考命題的重要素材.因此，從不同角度開發模型的變式顯得尤為重要.

視角1圍繞利用導數的幾何意義進行變式

變式1：已知曲線C:y=x-1-xlnx，求曲線C在點(2,1-2ln2)處的切線方程.

變式2：已知曲線C:y=x-1-xlnx，求過點(0,3)的曲線C的切線方程.

變式3：已知函數f(x)=x-1-xlnx，若過點P(1,t)存在2條直線與曲線y=f(x)相切，求t的取值范圍.

視角2圍繞利用導數解決函數的單調性問題進行變式.

變式4：求函數f(x)=x-1-xlnx的單調區間.

變式5：已知函數f(x)=ax-a-xlnx在[1,+∞)上單調遞增，求a的取值范圍.

視角3圍繞利用導數解決函數的極值、最值問題進行變式.

變式6：求函數f(x)=x-1-xlnx的極值.

變式8(極值偏移問題)：已知函數f(x)=x+a-xlnx有兩個零點.

(1)求a的取值范圍；(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2>2.

視角4圍繞函數——不等式恒成立問題進行變式.

變式9：設函數f(x)=ax-a-xlnx，若當x∈[1,+∞)時，f(x)≤0，求a的取值范圍.

變式10：設函數f(x)=x-1-axlnx，若當x∈(0,1)時，f(x)≤0，求a的取值范圍.

視角5圍繞高等數學背景——函數的凹凸性進行變式.

變式12：已知函數f(x)=x-1-xlnx，設0

視角6圍繞定積分的幾何意義及簡單應用進行變式.

數學教育家G·波利亞指出：“如果不‘變化問題’，我們幾乎不能有什么進展.”可以看出，圍繞教材中的看似不起眼的例3，通過變式衍生了一系列經典的問題，而這些經典的問題幾乎覆蓋高考導數部分的所有題型，這對于實現知識結構脈絡化、模塊知識系統化、關聯知識整體化有積極意義，對學生尋“根”究“本”尤為重要.解題變式，無疑是高三復習的有效機制.

高三復習，回歸教材是正道.其中，厘清知識脈絡是基本任務、拓展教材內容是廣度保障、開發“二手”結論是深度依靠、落實解題變式是有效機制.這四個方面相為犄角、相互促進，構成了回歸教材一個意義系統，為回歸教材構建了范式.