中學數學中概率的相關概念辨析
——從一道高考題談起

趙 軒 任子朝

(教育部考試中心 100084)

1 引言

2018年高考全國Ⅰ卷第20題是一道概率統計大題，該題目內容如下：

某工廠的某種產品成箱包裝，每箱200件，每一箱產品在交付用戶之前要對產品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱產品中任取20件作檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗.設每件產品為不合格品的概率都為p(0

(1)記20件產品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0.

(2)現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.

(i)若不對該箱余下的產品作檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX；

(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據，是否該對這箱余下的所有產品作檢驗？

這道題是試卷中難度較高的一道大題，題目涉及的知識范圍較廣，包括獨立重復試驗概率模型、二項分布的概念和應用、概率的計算、函數求導、隨機變量的數學期望的計算與應用、統計中參數的估計等.這道題綜合考查了很多概率知識，考查內容豐富，題目文字量較多，難度相對較大，因此在考后受到高校概率專家和中學教師的廣泛關注，并引發了討論.本文通過對題目進行分析和解讀，對于其中涉及到的一些概率與統計的基本概念進行辨析，就中學教學中概率相關知識的一些問題進行說明，以期助力中學概率與統計知識的教學與高考對相關內容的考查.

2 概率

大多數人對于概率這個概念的直觀認識是：概率就是一個事件發生的可能性大小，這種認識符合初學者的認知水平，也是傳統概率論的出發點之一.上世紀30年代，隨著測度論的產生和發展，人們對于概率的認識更加深入，前蘇聯數學家Kolmogorov在此基礎上建立了現代概率論的公理化體系.“概率”這個概念也有了明確而具體的定義.

由定義1可以看出，集合S上的任何一個σ-代數都是S的冪集(S的冪集是由S的所有子集組成的集合，記作2S，即2S={A|A?S})的一個子集，特別地，S的冪集也是集合S上的一個σ-代數(S的冪集也稱作S上的離散拓撲，表示S上最細的拓撲結構).對于集合S而言，其上的任何一個σ-代數都是對S的結構的一種刻畫，在此結構下，這個σ-代數中的元素稱為可測集.

在中學概率統計部分的教學中，我們所處理的都是有限集，一般把一個試驗的所有可能結果的全體稱為這個試驗的樣本空間，樣本空間的任意子集稱為一個事件，樣本空間中的元素(即試驗結果)稱為樣本點.需要說明的是，大學教材中對于事件的定義是樣本空間的可測子集，由于中學生沒有可測集的概念，因此在中學教學中定義為樣本空間的任意子集，那么按照這個定義，如果把樣本空間記為S，所有事件的全體構成的集合就是2S.

通過以上定義，我們得到了一個三元組(S,Ω,P)，這個三元組就稱為一個概率空間.其中S代表樣本空間，Ω是S中可測集的全體(更具體地說，Ω中的任意一個元素都是S的可測子集，從而是一個事件，因此Ω是所有事件構成的集合)，P為S上的概率.值得注意的是，概率并不是對于所有子集均有定義，而是定義在所有可測集(事件)之上.在中學階段的教學中，可以省略對于可測集的說明，認為S的所有子集都是可測的，這時三元組(S,Ω,P)中的Ω=2S，可把概率空間定義中的三元組簡化為二元組(S,P).從定義可以看出，所謂概率就是一個函數(更準確的說是一個測度)，定義在所有事件的集合之上，描述了事件發生的可能性大小.

對于解決概率問題而言，很重要的一點是能夠正確認識和理解其中的概率空間，特別是樣本空間.以本題為例，“每件產品為不合格品的概率都為p(0

另外需要指出的是，產品在生產出來后，合格或不合格就已經確定，其是否合格的狀態是一個確定的試驗結果，而不是樣本空間.也就是說，生產一件產品有兩個可能的結果(樣本空間)，抽查一件產品檢驗只有一種結果(試驗結果，即樣本空間中的一個樣本點).但在沒有檢驗前，并不能判斷其是否合格.我們可以類比地考慮下面的問題：(1)一個盒子里一個正在轉動的硬幣落地時出現正面的概率；(2)盒子里硬幣落地后，在還沒看到的情況下，猜它是正面的“概率”.由于無法判斷結果，因此可以認為兩個問題中的“概率”是一致的.同理，在本題中，“每件產品為不合格品的概率都為p(0

3 隨機變量

大學概率論教材中對于隨機變量的定義也是公理化的，其中有些概念超出了中學生的知識范圍，但對于中學教師來說，應該有所了解.

定義3設(S,Ω,P)是一個概率空間，若X是S上的一個實值可測函數，則稱X為S上的一個隨機變量.

從定義中可以看出，隨機變量是一個定義在樣本空間上的函數，隨機變量本身既不“隨機”，也不是變量.隨機變量的“隨機性”體現在概率P的分布之中.關于樣本空間也存在類似的理解誤區，樣本空間是試驗結果的全體，里面的元素不是隨機的，隨機體現在抽取這些樣本是“隨機”的，這是一個描述，不是一個定義.

值得注意的一點是，題目第(2)問中“現對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品”這個條件即不是對樣本空間，也不是對隨機變量的描述，而是給出了一個確定的檢驗結果(試驗結果)，這個試驗結果是樣本空間S1×S2×…×S20中的一個元素(樣本點).此外在統計中，“檢驗20件產品恰有2件不合格”可理解為對頻率的一種描述，一般來說檢驗結果中不合格品出現的頻率與產品制造時不合格的概率可以不相同.在本題第(2)問中“對一箱產品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品”的概率與制作20件產品恰有2件不合格的概率是相同的，因此“以(1)中確定的p0作為p的值”體現了極大似然估計的思想.

4 獨立性

我們知道，在概率空間(S,Ω,P)中，兩個事件A,B獨立的定義是P(AB)=P(A)P(B).討論事件獨立性的前提是所有事件都包含在同一個概率空間中.事件獨立不應簡單地直觀理解為兩個事件之間沒有關聯，事件的獨立性可以理解為一種比例關系.

值得注意的是，在隨機變量獨立性的定義中，所有隨機變量都定義在同一個概率空間上.對于定義在不同概率空間上的隨機變量，若要討論其獨立性，需要將它們統一到同一個概率空間中，即在它們所在的概率空間的乘積空間上進行討論.

在本題中，“每件產品為不合格品的概率都為p(0

5 關于解答的一些補充

基于上述討論，可以給出本題的一種解答：

令f′(p)=0，得p=0.1.當p∈(0,0.1)時，f′(p)>0；當p∈(0.1,1)時，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.

(2)由(1)知，p=0.1.

(i)令Y表示余下的180件產品中的不合格品件數，依題意知Y～B(180,0.1)，X=20×2+25Y，即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果對余下的產品作檢驗，則這一箱產品所需要的檢驗費為400元.

由于EX>400，故應該對余下的產品作檢驗.

如對本題中的概率空間(樣本空間)沒有正確的理解，混淆了定義，可能會導致解題中出現錯誤，例如，一種典型的錯誤就是誤用超幾何分布進行計算.事實上超幾何分布中三個參數N,M,n的含義可以理解為：已知N件產品中有M件不合格品，不放回的抽取n件時，其中的不合格品個數k的分布；本題中事先并不知道一箱產品中不合格品的總數，因此不應使用超幾何分布進行描述.

部分教師認為“每件產品為不合格品的概率都為p(0

對于統計類題目來說，答案往往存在一定開放性，對同一個問題，可能有多種理解角度，能夠采用不同的統計方法，而不同統計方式可能產生不同結果.本文中給出的是基于生產實際的一種解法.事實上，在實際生產中，面對大批量產品時，產品檢驗都是成批次進行，題干中也給出了“根據檢驗結果決定是否對余下的所有產品作檢驗”這條說明，因此，在上述解答過程中產品檢驗只分兩種情況討論：要么對余下產品都進行檢驗，要么都不檢驗，不存在第三種情況.

6 小結

今年高考全國I卷第20題綜合考查了概率與統計的基礎知識和基本思想方法，以及學生綜合應用所學的概率與統計知識分析問題、解決問題的能力.試題設計較新穎，蘊含了極大似然估計的統計思想，情境熟悉而不落俗套，具有一定難度，有較好的選拔功能.正確理解此題，需要學生能夠正確掌握概率、隨機變量、獨立性等定義，了解獨立重復試驗概率模型、二項分布等概念和應用范圍，并能將所學知識靈活運用.本題強調了對于基本概念的考查，對于中學教學具有很好的導向作用，引導概率統計教學回歸教材、重視概念.

在中學階段，學生僅具備初等數學的基礎，因此概率、統計上的許多概念，其公理化的嚴格定義很難讓中學生理解并接受，但作為中學教師應該正確理解，并在教學過程中根據嚴謹性和量力性原則進行直觀的解釋，而不是錯誤的解釋.特別是不能混淆概率中的概念和統計中的概念，比如概率和頻率，在教學中可以將此類概念進行對比說明.此外，還應突出重要概念的實際意義，突出用概率、統計方法解決問題的基本思想，突出知識的綜合應用，通過實際問題加深學生對于概念的認識.讓學生將抽象的概念與具體的生活實際相結合，從而幫助其進一步理解這些概念的深層次內涵.

在中學概率與統計部分的教學中，比較容易出現重視做題忽視概念教學的情況，更加注重對各種題型的解法技巧訓練，而忽略了對基本概念的理解.但對于知識的內化和遷移，則需要建立在對概念深刻理解、靈活應用的基礎之上.中學階段所學的這些基本內容在大學階段的進一步學習中將起到極其重要的作用，是深入學習和理解后續數學知識的基石，因此中學教學中應該進一步強化概念基礎，強調對于知識和概念本質的理解.高考作為高校選拔新生的測試，今后也應進一步加強基本概念考查，對中學教學發揮積極的導向作用，引導中學注重基本概念、基本原理的教學，打破機械刷題的學習模式.