新高考理念下的反證法在解題中的應用

陳鎮(zhèn)偉

摘? ?要：反證法和分析法的證明過程其實是一種綜合法，它每步是推演其必然結果.分析法每步是追溯其充分條件.“否定式的分析法”，這種提法在有關資料書籍中也沒有發(fā)現(xiàn)過，按字面理解“否定式的分析法”還是一種分析法.

關鍵詞：數(shù)學模型;抓住主要特征;矛盾律;培養(yǎng)創(chuàng)新能力

反證法是中學解題中常用的一種方法，這種思維方法在生活中說理與爭論過程被應用，初次接觸都比較讓人難以接受，如果證“若A則B”這個命題，你先假設B不對，那么……，你也許會嘀咕：人家正要你證B是對的，你卻說B是不對的，豈非不戰(zhàn)自敗嗎？其實，只要在證明過程中每一步到下一步完全合乎邏輯，但每一步的結論卻其實不能發(fā)生.這種證法就叫反證法，亦稱歸謬法，有關反證法論述很多，但我覺得還是有很多問題值得一談：

1? 反證法的邏輯依據(jù)

證題方法的依據(jù)，可以通過追究這種證法具體步驟的理由而獲得，分析通常所用反證法的根據(jù)，便可知反證法的依據(jù)是邏輯基本體中的矛盾律和排中律.用反證法證明命題“若A則有B”的過程可寫為：①假設無B，根據(jù)本題條件和已有的定義、公理、定理推出的一對矛盾的結果，即與矛盾律對立：②根據(jù)矛盾律，斷言無B不能成立;③根據(jù)排中律，無B不成立，則必有B成立，故本命題得證;

在許多有關反證法的資料中都有提到逆否命題，并似乎都有一種共識，認為反證法就是改證論題的逆否命題，它的依據(jù)是逆否命題的等價性，這種說法是否妥當呢？ 如果把逆否命題僅限于命題本身的條件和結論的否定，換位而得，那上述提法顯然不正確，若把已知的定義、公理、定理都算入本體的條件，則一個命題的逆否命題為：

結論的否定：與本題條件對立或與已知定義成立或與已知公理對立或與已知定理對立時

用這種觀點來看反證法的步驟1，那就是結論B的否定，矛盾體（已知公理）的否定.

因此，反證法的第一步就是證明論題的一個逆否命題，由于反證法的具體工作都在第一步，可以說反證法就是改證論題的逆否命題，雖然不全面，也算是抓到了問題的本質.但說“反證法的依據(jù)是逆否命題的等價性，情況則不同了，人們將會問，在推理系統(tǒng)中逆否命題的等價性的證明，是如何證明的呢？在八年級下學期幾何第二章上給出了逆否命題等價性的證明.下面我們按相同的方法由逆否命題為真，來證明原命題成立.

已知命題? ?若無B則無A

求證命題? ?若有A則有B

證明：假設無B，則可以一直命題推出無A，這與求證命題的條件有A成立，為矛盾律所不容，故無B不能成立，有排中律必有B.這個證明過程顯然和反證法的步驟完全一致，由此可見，反證法的結構本身就是由逆命題為真，證明原命題成立的過程，再根據(jù)互為逆否命題的性質，在確定認定反證法的同時，也就確定了逆否命題的等價性.反證法和逆否命題的等價性就相當于自己依據(jù)自己一樣，是不成立的，不妥當?shù)?

還有一種較為離譜的說法，認為反證法就是通過證明逆否命題的成立，從而得出原命題成立的一種方法，而在這之前證明了逆否命題的等價性，若要問證明逆否命題等價采用的是什么證題方法，容易看出這是出現(xiàn)了循環(huán)論證的邏輯毛病.

2? 反證法的分析法特點

數(shù)學通報2015年11期《漫談反證法》中提出“反證法具有的特點，它們都是從結論推演開來，不同的是第二個從結論開始，另一個是從否定結論開始”.在作出舉例對照表后進一步提出“反證法實際上是否定式的分析法”.

我們知道反證法證題時，由于推出什么類型的矛盾結果事先并不知道.不可能從欲證的結論出發(fā)逆證追溯條件.因此，反證法根本缺少分析思維的條件，從結論反面出發(fā)進行綜合推演，這是反證法的一個顯著特點.

這里用反證法和分析法的證明過程其實是一種綜合法，它每個步驟都是推演其必然結果.分析法每步是追溯其充分條件。“否定式的分析法”，這種題法我在有關資料書籍中也沒有發(fā)現(xiàn)過，按字面理解“否定式的分析法”還是一種分析法. 因此把“從結論推演開來”作為判斷分析法的依據(jù)，這是不妥當?shù)模菢右粊恚镁C合法證明在一逆命題就是從原命題的結論推演出來.全部都成了分析法，根據(jù)互逆的關系，每一命題也是逆命題的逆命題，于是用綜合法證明任一命題也可叫分析法了，這就使得綜合法和分析法完全混為一談了.

3? 反證法證題

很多數(shù)學命題當正面推證有困難時可考慮反面入手，用直接法來推證主要有2個辦法：（1）用分析法從肯定結論入手，找出充分條件; （2）用反證法從否定結論入手，找出矛盾.怎樣的數(shù)學命題宜用反證法證明呢？一般地說，（1）在命題的形式上結論由否定形式給出;（2）在證明的方法上命題用直接法較困難;（3）在證明的方向從結論的反面著手較易論證，往往可用反證法.

參考文獻：

[1]黃道金.數(shù)學模型法解決數(shù)學問題[J].新課程，2015（1）.