若干Hermite-Hadamard型不等式的改進

曾志紅，時統業

(1.廣東第二師范學院 學報編輯部，廣東 廣州 510303；2.海軍指揮學院，江蘇 南京 211800)

1 引言

若f是區間I上的凸函數，則對于任意a，b∈I，a

(1)

式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式。對Hermite-Hadamard不等式的加細和推廣以及利用導函數來估計由Hermite-Hadamard不等式生成的差值已有很多結果，比如文獻[1-20]。

文獻[9-10]通過考慮[a，b]上滿足a≤x0)的4個點x，y，y′，x′，推廣了文獻[9]的結果。

設f是[a，b]上的可積函數，a≤x0，記

當λx+λ′x′=λy+λ′y′時，可將H(t)和P(t)分別化為文獻[11]中的H1(t)和P1(t)。由文獻[11]的引理1.2得

在f為[a，b]上可微的凸函數，且λx+λ′x′=λy+λ′y′的情況下，文獻[11]利用不等式

給出了結果：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

本文的定理1給出式(2)～(6)的改進。

引理1 設f是[a，b]上的可微函數，且f′在[a，b]上可積，a≤x

證明用分部積分法容易證明，這里略去過程。

引理2[11]設f是[a，b]上的凸函數，a≤u0，λu+λ′u′=λv+λ′v′，則有

λf(v)+λ′f(v′)≤λf(u)+λ′f(u′)。

2 主要結果

定理1 設f是[a，b]上可微的凸函數，a≤x0，則有

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中

故式(7)的右邊得證。

對任意s∈[x,y]時，有

f(ts+(1-t)y)-f(y)≤f′(ts+(1-t)y)t(s-y)≤f′(x)t(s-y)，

對任意s∈[y′,x′]時，有

f(ts+(1-t)y′)-f(y′)≤f′(ts+(1-t)y′)t(s-y′)≤f′(x)t(s-y′)，

于是有

故式(8)的右邊得證。

對任意s∈[x,y]時，有

f(tx+(1-t)s)-f(y)≤f′(tx+(1-t)s)(t(x-s)+s-y)≤f′(x)(t(x-s)+s-y)，

對任意s∈[y′,x′]時，有

f(tx′+(1-t)s)-f(y′)≤f′(tx′+(1-t)s)(t(x′-s)+s-y′)≤f′(x′)(t(x′-s)+s-y′)，

于是有

故式(9)的右邊得證。

故式(10)的右邊得證。

對任意s∈[x,y]時，有

f(tx+(1-t)s)-f(ts+(1-t)y)≤f′(tx+(1-t)s)(t(x-s)+(1-t)(s-y))≤

f′(x)(t(x-s)+(1-t)(s-y))，

對任意s∈[y′,x′]時，有

f(tx′+(1-t)s)-f(ts+(1-t)y′)≤f′(tx′+(1-t)s)(t(x′-s)+(1-t)(s-y′))≤

f′(x′)(t(x′-s)+(1-t)(s-y′))，

于是有

故式(11)的右邊得證。

類似可證式(7)～(11)的左邊。

在中國，大大小小的旅游城市有不少，似乎都難逃一紅火就亂象叢生的“魔咒”。我的家鄉廈門也是一座“網紅”旅游城市。隨著游客數量陡增，很快就滋生出不少“帶人進廈大”的黃牛黨、繞路拒載還與餐館勾結的出租車司機，以及環島路海邊“磨刀霍霍向游客”的海鮮店家，這些人雖然自己賺到了錢，卻讓游客的旅游體驗大打折扣，也損害了家鄉的聲譽，令人心痛。

推論1 設f是[a，b]上可微的凸函數，a≤x0，λx+λ′x′=λy+λ′y′，則有

其中

定理2 設f是[a，b]上的可微函數，a≤x0，λx+λ′x′=λy+λ′y′，若|f′|是[a，b]上的凸函數，則有

(12)

(13)

(14)

(15)

證明由引理1及|f′|的凸性得

(16)

類似可證

(17)

利用式(16)和式(17)及引理2，得

類似可證式(13)～(15)。

推論2 設f是[a，b]上的可微函數，且f′在[a，b]上可積，a≤x

在推論2中若取t=1，則得到文獻[7-8]的結果。