淺談化圓為方問題的“前世今生”

吳建軍 劉晶

摘 要：本文主要介紹了古希臘三大幾何難題之化圓為方問題從提出到徹底解決的全過程。全文以化圓為方問題的歷史發(fā)展為線索，追蹤了古希臘數(shù)學家對該問題的探討和研究，在深刻刻畫尺規(guī)作圖等價條件的基礎(chǔ)上，指出了化圓為方問題的本質(zhì)，并最終利用π的超越性，完全否定了“化圓為方”作圖的可能性。

關(guān)鍵詞：化圓為方;尺規(guī)作圖;可構(gòu)作數(shù);π的超越性

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2019）32-0005-03

引 ? ?言

古希臘的科學成就燦爛而系統(tǒng)，對世界數(shù)學的發(fā)展影響巨大。它繁榮于公元前后各約600年的千年時段內(nèi)，除早期之外，還可分為兩個時期：雅典時期和亞歷山大時期。著名的希臘三大難題之一化圓為方問題，就是在公元前5世紀由智人學派（sophist）提出的[1]。這一數(shù)學難題引起古希臘人和以后2000多年無數(shù)人的努力，極大地推動了數(shù)學的發(fā)展。到19世紀，這一難題直接催生出群、域等代數(shù)理論，伽羅瓦（Evariste Galois）理論，代數(shù)數(shù)和超越數(shù)理論，引發(fā)了嶄新的現(xiàn)代數(shù)學的誕生。

一、尺規(guī)作圖和化圓為方問題簡介

直尺（straightedge）和圓規(guī)（compasses）是古希臘平面幾何作圖的工具，稱為歐幾里得工具（Euclidean tools）。古希臘人對它們的使用方法是有規(guī)定的，不能隨意使用。直尺的使用方法是：過平面上給定的兩點作一條直線。圓規(guī)的使用方法是：以給定的點為圓心，過另一給定的點作圓。特別要注意的是：①直尺是沒有刻度的，也不可在直尺上做記號;②不允許利用直尺和圓規(guī)作其他的圖形;③不允許利用直尺和圓規(guī)制造出新的工具[2]。

尺規(guī)作圖（也稱歐幾里得作圖）就是在已經(jīng)給定的一些初等圖形（點、直線、圓）的基礎(chǔ)上，利用直尺和圓規(guī)，在有限步驟之內(nèi)，作出新的圖形。

化圓為方（the Squaring the Circle）即任意給定一個圓，要求用直尺和圓規(guī)構(gòu)作出一個正方形，使其面積等于該圓的面積。這個問題也可敘述為：任給線段長r（圓的半徑），要求用直尺和圓規(guī)作出線段長x，使x2=πr2，其中π是圓周率。

二、化圓為方問題的早期探索

1.希波克拉底（Hippocrates）的“化月牙為方”法

于是，利用可構(gòu)作數(shù)的定義，定理2可表述為：x是基于a1，a2，...，as的可構(gòu)作數(shù)的充要條件是，可由1，a1，a2，...，as經(jīng)有限多次的加減乘除和開平方運算得到。

基于以上定理，我們再來談化圓為方問題。化圓為方就是用尺規(guī)構(gòu)作，歸結(jié)為構(gòu)作π，即要求π是可構(gòu)作數(shù)。

結(jié) ? ?語

基于“圓周率π是超越數(shù)（1882年由德國數(shù)學家林德曼證明）”這一事實，我們知道π為“不可構(gòu)作數(shù)”，從而知化圓為方尺規(guī)作圖不可能，完全否定了“化圓為方”作圖的可能性，由此，經(jīng)過2000多年無數(shù)數(shù)學家的努力，“化圓為方問題”得到了徹底的解決。解決這一難題的歷史進程極大地推動了數(shù)學的發(fā)展，直接催生出許多數(shù)學理論，促進了現(xiàn)代數(shù)學的誕生。

[參考文獻]

張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂版）[M].北京：高等教育出版社，1978.

張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)（第四版）[M].北京：高等教育出版社，1999.

張賢科.代數(shù)數(shù)論導引（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2006.

潘承洞，潘承彪.代數(shù)數(shù)論（第二版）[M].濟南：山東大學出版社，2001.

姜伯駒.古希臘名題與現(xiàn)代數(shù)學[M].北京：科學出版社，2007.

盧介景.數(shù)學史海攬勝[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，1988.

基金項目：本文系省級課題“基于核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學史知識在高中數(shù)學課堂教學中的運用研究”（課題編號：GS〔2017〕MSZX141）的研究成果。

作者簡介：吳建軍（1987.1—），男，甘肅武威人，理學碩士，一級教師，研究方向：高中教育教學。

劉晶（1987.7—），女，甘肅蘭州人，文學碩士，二級教師，研究方向：高中教育教學。