數學，也應講故事

尚飛

2016年，《中國學生發展核心素養》總體框架正式發布，相應地基礎教育階段的數學教育也有所變化，史寧中教授認為這個變化就是能更好地實現從“雙基”走向“四基”的課程目標。

讓學生形成基礎知識和基本技能，一直是我國數學教育的基本特征之一，也成為我國數學教育的優勢，那怎樣的教學才能更好地走向基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗呢？

當你打開這本書時，就會欣喜地發現，史寧中教授以答問的方式，講述了小學數學教學內容的實質，探討能夠實現“四基”課程目標、適合小學生認知規律的表達方式和教學方法。

下面我擬從書中感受最深的三句話說起。

第一句，讓抽象的核心舍去現實背景，聯系的核心是回歸現實背景。

數感是什么呢？史寧中教授在談到“數感”的時候指出：主要指關于數與數量、數量關系、運算結果的估計等方面的感悟。建立數感有助于學生理解現實生活中數的意義，理解或表述具體情境中的數量關系。

從他的表述中我們可以得知，數感不僅是讓學生感悟“數是對數量的抽象”，還應當讓學生再反過來感悟“抽象出來的數與數量是有聯系的”。比如，同樣是“50”這個抽象了的數，但50粒綠豆和50頭牛給人的現實感覺是大不一樣的。再比如，去市場買菜，帶50元錢就足夠了，但是購買汽車，只有50元是遠遠不夠的。所以，在現實生活中，人們需要感悟數與現實背景之間的聯系，從而感悟并判斷在日常生活和科學研究中數所提供的信息。

其次，學生對于運算結果也應當有一定的感悟或者說直覺判斷，比如，應當能夠直覺判斷15÷3比15÷2大還是小，3/5加上1/2比1大還是小。

如果有了這樣的感悟，學生就可以在現實世界中比較合理地把握數以及數的運算了。比如，合理地估計一筐雞蛋的數量，數學書封面的周長，能知道50人大約有多少，300人需要多大場地，1000人呢？這期間就涉及到對數量單位（量綱）的認識。也就是要讓學生明白，在思考的同時，是需要根據問題背景的不同而選擇不同的量綱的。比如，越野賽合適的計時單位是小時，800米中跑，合適的計時單位是分鐘，50米短跑合適的計時單位是秒。

通過以上思考，我們要更加認識到人的感覺是依賴背景的，只有“全面”地把握事物的背景，才能深刻理解事物。

第二句，所有混合運算都是在講述兩個或兩個以上的故事。

數感除了表示數與數量、運算結果的估計等方面的感悟，還表示對數量關系的感悟。如何能對數量關系有感悟？還要進行深度聯系，就是及時回歸現實背景。

在混合運算中，關于運算次序有兩個基本法則：有括號先計算括號中的算式，沒有括號，先乘除后加減。顯然，這兩個基本法則就是一種規定。課上為什么要有這樣的規定？這樣的規定合理嗎？如果這樣的規定是合理的，合理性又表現在哪里呢？為了說明它的合理性，就必須回到現實世界。

在三年級第一單元“混合運算”的教學中，第一課時教學的是乘加乘減，課后練習卻有了加減混合運算，大部分學生都是按照運算順序在完成，先算100-75，然后用100-75的差再加上25。

對于高年級學生來說，減號在前加括號要變號，教起來都是十分困難的，學生到了后來總是分不清什么時候括號里要變號。那么一個三年級的學生，他怎么可能明白這道題的解題思路呢？所以在判他作業的同時，我先沒有打√，在旁邊標注了一句話：你能講出道理嗎？課下這位學生從頭至尾地把他的思考過程講了出來：

“其實這道題可以把它看作人們上下車。我覺得有兩種方法。第一種就是先減去下車的人數，得出現在車上的人數，然后用現在車上的人數加上新上來的人，就是現在車上共有的人數;第二種方法，其實我們在以前是學過的，下去75人，上來25人，互相抵消以后，其實比原來少了50人，用原來的人數減去少了的50人，就是現在車上的人數。”

在學生眼里直接聯系到乘車的現實背景，感到這道題就是在講兩個故事。當我們把孤零零的算式看作數學故事的時候，不僅培養了他們的數感，更重要的是有助于培養學生認識和解釋現實事物的能力，這就是著眼于數學素養的教育。

第三句，數學模型就是用數學的語言講述現實中的故事。

“數學課程標準”中強調模型的現實性，是用數學的語言講述現實世界中的故事;強調在建立模型的過程中，讓學生感悟如何用數學的語言和方法描述一類現實生活中的問題。

模型就是“橋梁”，連通數學與現實世界的紐帶。它有別于數學算式，它是能夠用來解決一類具有實際背景問題的數學方法。這樣看來，模型的關鍵不是看數學表達的完美性，而是在于它是否參與了與現實世界的對話，主要體現在以下三個方面。

1.把握現實世界中一類問題的本質與規律，構建模型。

在談到模型時，史寧中教授說，在小學階段的數學教學中，至少需要考慮兩個模型：一個是總量模型，一個是路程模型。他談到的兩個模型時，把它們歸結到“一類問題的本質與規律”，即指那些在知識結構中，最關鍵、最具有普遍意義和適應性（概括性）最強的概念。例如，“和”的概念、“同樣多”的概念、“數位”和“計數單位”的概念等等。這幾年我一直在做的一件事就是根據知識的內在聯系和兒童智力發展的規律，突出教材中那些最基本的概念、法則和原理，并以此為中心，從縱橫兩個方面進行重新調整和組合，把有聯系的知識串聯在一起，做到有綱有目，使之成為一個新的比較好的知識結構。

2.用恰當的數學語言描述問題的本質與規律，構建模型。

“和”，就是史寧中教授談到的總量模型。馬芯蘭老師也說：“對于一年級學生來說，教好這本書就是要緊緊地抓住一個本質——‘和的概念;一個關系——‘部分與整體的關系。”談到“和”，會想到加法，就是把兩個數（或幾個數）合并成一個數的運算，現實生活中有很多原型，如合并、移入、增加等等。例如，在加法教學中，引導學生這樣表述，一部分有3只熊貓，另一部分有2只熊貓，請問合起來一共有幾只熊貓？當學生把具體事物按情節理解為“兩部分”以后，就能很自然地向認識“和”的概念邁出關鍵一步。通過弄懂“兩部分”，開始為“和”的概念與部分整體關系的相互滲透，在認識上做好充分的準備。

在“移入”加法學習后，當學生初步理解了“一部分”與“另一部分”含義的基礎上，把一年級下冊的教學內容“加法各部分的名稱”前移到這里。整合到這里的原因是什么呢？一是部分孩子已經有了學齡前基礎，課上總往出“扔”這些字眼，但是他們其實不清楚這些名稱的真實含義;二是如果單獨出現加數、加數、和，就只能把“和”理解為一般名詞術語。現在它與“部分”、“部分”、“整體”同時出現，實質上已經不再把“和”作為一般名詞術語，而是把它作為重要的概念。從一開始就把加數與和的關系，同部分與整體關系緊緊聯系在一起，把“加數”理解為一部分，或另一部分，把“和”理解為一個整體。這樣就可以借助學生熟悉的生活經驗，理解抽象的數學概念了。

3.用合適的數學符號表達問題的本質與規律，構建模型。

重視“問題本質與規律”的教學，直接解決的就是孩子們長期不易理解的難點：求部分的加法，求部分的減法。

在教學減法的時候，引領學生靈活使用模型，講講總量即整體的故事，把加法運算變為減法運算。比如上面的故事，一年級孩子搞不懂怎么列算式，原來有8只企鵝，跳進海里一些，剩下2只，請問跳進海里多少只？因為數字小，學生直接列出8-6=2，順向思維的結果。那么還可以怎么做？要為進一步培養算術思維做準備。用總數減去剩下的就是跳進了海里的。學生剛開始怎么也理解不了，如果我們借用“和”的概念講故事，就容易得多了。其實這就是方程思想，簡單的數字學生可以用“接著數”的方法解決，可是數字變大的時候，再到后來變成分數的時候，他們則手足無措，究其原因是在低年級的時候，問題的本質和規律沒把握好。如果他們把“和”理解為部分、部分、整體的關系，那么一看到這個數學問題就自然連接“總量模型”，問部分，用整體減去其中的一部分，就等于另一部分。即▲+■=●，那么▲=●-■，■=●-▲，當學生用圖形符號來刻畫“總量模型”的時候，模型思想就在悄然形成。重視“本質與規律”的教學，通過“和”的概念及部分與整體關系的相互滲透，突出“和”在教材結構中的中心地位，有利于幫助學生了解知識間的聯系，使聯系緊密的數學結構變得可視，最終得到刻畫一類事物的模型。

人們把現實世界中與數學有關的東西抽象到數學內部，形成數學的研究對象，然后從數學的研究對象出發，聯系現實背景，得到研究對象的性質以及描述研究對象的關系和計算結果，從而促進了數學內部的發展，最后通過模型，用數學的語言、符號和方法，描述現實世界的故事，從而構建起數學與現實的橋梁。

講故事，就是為了更好的促進數學內部發展，也許這就是許多學者說的：數學是一門關于模式的科學，終究解決的是一類數學問題。那么，想把這個數學問題解決好，可以從故事講起。