創設深度說理時空培養歸納推理能力

林彩蓮

歸納推理是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分對象的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納推理能力的培養是數學課程和教學的重要目標，歸納推理能力的培養有利于數學推理能力和數學學習力的形成。小學階段是培養學生歸納推理能力的關鍵期，在小學數學中適時、適當地進行歸納推理的教學，有利于小學生思維水平產生及時的飛躍，甚至可以提前產生質變。

史寧中教授指出：“數學教學的最終目標……會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界……數學的思維就是推理，數學的語言就是模型。”這一觀點基本符合小學數學學習的目標，只不過在小學階段是初步要求，或初步滲透。曹培英教授認為：“啟發學生說理，是培養推理能力初級教學階段最主要的手段與基本途徑。誘導學生恰如其分地使用尚未學習的數學知識來說理，是小學數學教學的一種境界。”因此，作為小學數學教師，要有意識地為學生創設深度說理的時間和空間，恰如其分地啟迪學生用語言表達歸納推理過程，使學生無意識地進行推理，“用而不宣”，即“滲透”，從而達到培養學生歸納推理能力的目標。

一、分層啟迪，在理清關系中培養歸納推理能力

學生歸納推理能力的培養，需要經歷在教師啟迪下的一定層次的分析說理，通過縱橫對比，在發現不同點的基礎上發現相同點，理清關系，從而歸納出結論。

【片段一】

層次一：縱橫分析，尋找異同

師：剛才我們通過擺一擺，寫出了很多算式，我們一起來觀察一下，這些算式之間有什么不同的地方？有什么相同的地方呢？

層次二：引發猜想，驗證結論

師：（圈上除數，同時板書：除數）你能發現每個除法算式的余數和除數之間的秘密嗎？如果用一個符號來連接，你會用什么符號？……如果用20根小棒擺正方形，余數也是比除數小嗎？……25根呢？30根呢？ 39根呢？……看來，余數確實比除數小（擦去）

層次三：歸納小結，形成結論

師：那為什么余數一定要比除數小呢？余數比除數大行嗎？如果剩余的小棒數為4根、5根、6根，行嗎？……看來，如果余數是4根、5根、6根都還可以再擺一個正方形，只有余數小于4根才不能再擺正方形，所以余數<除數。

層次四：深入感悟，理性認識

師：既然我們知道余數必須比除數小的關系，那么是不是所有的除法算式都適用呢？如果不是用小棒擺正方形，而是擺三角形，如果有剩余，可能剩余幾根小棒？……用一堆小棒擺五邊形，如果有剩余，又可能剩幾根小棒？……看來，不管擺幾根小棒，也不管擺成什么圖形，剩余的根數都比除數小。

以上是人教版《義務教育教科書·數學》二年級下冊第六單元編排的例2“余數與除數的關系”的教學片段，在學生進行了“自主探究，合作交流”后，筆者有意識地啟迪學生縱橫分析，尋找除法算式的異同，從而發現余數小于除數的關系;接著分別通過增加小棒（改變被除數的大小）和改變形狀（改變除數的大小）的活動，讓學生經歷各層的感悟過程，讓學生在說理的過程中領悟余數必須小于除數的關系，體驗和感悟歸納推理思想，積累一定的操作、猜想、歸納的經驗，培養學生觀察、分析、表達、動手操作及歸納推理的能力，在思想引領下產生頓悟，理解余數必須比除數小的道理，實現了歸納推理從方法到思想層面的上升，促進了學生歸納推理能力的發展，讓課堂成為學生終身發展的起點。

二、巧妙留白，在公式的推導中培養歸納推理能力

小學數學的數量關系式有很多，其中計算公式主要是圖形的周長、面積和體積公式，以及比、正比例、反比例、比例尺、百分數等的應用和計算。很多計算公式是在學生探索、交流的基礎上歸納得到的，在引導學生進行公式的推導過程中，如果能夠巧妙地留白，有利于培養學生的歸納推理能力。

浙江省的袁曉萍老師在執教浙教版五年級上冊“平行四邊形的面積”中，首先為每一位學生提供兩張畫有完全一樣的平行四邊形的紙，其中一個畫在方格紙上，一個畫在白紙上，讓學生自主選擇獨立驗證“平行四邊形的面積為什么等于底乘高”后，發出挑戰：“你能不能不僅自己會研究，還能看懂別人是怎么研究的？”

【片段二】

留白一：生3：我認為他那里面有漏洞，這個和這個可以拼……但是他并沒有數。師：他關注的漏洞是哪一部分？……然后他告訴了我們一個很重要的動詞你們聽到了沒有？……他說像這樣小的部分我們要把它拼起來，就可以把這些小的三角形拼成剛才這個男孩子所說的1平方厘米的正方形了。

留白二：師：我們繼續來欣賞——你還能再看懂嗎？……師：這個同學又是怎樣拼的？跟前面的拼法有什么不一樣呢？

留白三：師：我們繼續來看，你還能再看懂嗎？……師：我沒聽懂耶，哪一部分拉到哪一部分？……

留白四：師：不管我們用哪一種方法，我們在方格紙當中，通過圖形變換，都研究出了平行四邊形面積。……沒有用上方格紙的同學他們的思考方法和我們的思考方法是不是差不多呢？誰有本事，看到了差不多的地方？……師：不管我們是數出來的，還是用我們的方法直接進行移動的，我們發現，實際上我們算出來的這個答案都是——……有沒有同學說我算出來的，和你們數出來的是不一樣的？生：沒有。師：那我們現在可不可以說這個平行四邊形的面積是可以用底乘——高來計算的，可以了嗎？……

正是由于袁老師在學生的困惑點進行的四次巧妙的留白，把說理的時間和空間交給學生，不僅能讓在學生思辨、交流中發現平行四邊形的面積等于底乘高，并理解其中的道理，達到了知其然又知其所以然的目的，又能讓學生擁有了一次“將平行四邊形的面積轉化為長方形面積”的成功經驗，從而觸動了學生對于平面圖形推導的多米諾骨牌，推開了圖形面積推導的一扇窗，培養了學生的歸納推理能力。

三、逐一枚舉，在規律的探究中提升歸納推理能力

歸納推理一種情形是考察一類的全部個體對象，根據它們具有（或不具有）某種屬性，從而概括出關于該類全部對象的一般結論。這是完全歸納推理。另一種情形是只考察一類中的部分個體對象，根據它們具有（或不具有）某種屬性，從而概括出關于該類全部對象的一般結論。這是不完全歸納推理。不完全歸納推理的前提是對某類的許許多多個體對象進行過考察。而且被考察過的對象僅僅是該類的部分對象，而不是該類的全部對象。雖然小學數學學習中更多的是不完全歸納推理，但是就教學來說，總是盡可能讓學生經歷了完整的歸納思維的過程，往往通過情境引出個別對象（一定事實材料或具體算式、圖形等），讓學生在觀察、分析、歸納得出可能的結論（猜想），再經過多次的解釋、驗證、證明，進行修正、改進，最后驗證結論（猜想），從而提升學生的歸納推理能力。

在教學人教版《義務教育教科書·數學》六年級下冊第100頁例1“數學思考”時，筆者有意識地讓學生在經歷猜測，通過逐一枚舉，在充分實驗、觀察的基礎上，完整表達自己的分析、類比、歸納的過程。

【片段三】

生：2個點連了1條，3個點連了3條，增加2條。……4個點連了6條，比上一次增加3條。……師：5點連了幾條線段？……比前一次多了幾條？……6個點連了幾條線段？……師：8個點呢？……你能發現什么規律？……生：6個點的總條數就是從l加到5;8個點的總條數就是從1加到7;有多少個點，線段的總條數就是從1加到比人數少1的數。師：應用剛才總結的規律，說一說12個點能連成多少條線段？……20個點呢？……如果是n個點呢？生：1+2+3+……+（n-1），現在，你能解決剛開始上課時老師出的那道數學題“100個點能連成多少條線段”嗎？……

讓學生從2個點開始連線，逐步經歷連線過程，隨著點數的增多，得出每次增加的線段數和總線段數，初步感知點數、增加的線段數和總線段數之間的聯系。通過課件演示，先探究2個點時總線段數怎么計算，之后列出3個點和4個點時總線段數對應的算式，讓學生觀察發現這些算式的共有特征：都是從1依次加到點數減1的那個數，從而讓學生明白總線段數其實就是從1依次連加到點數減1的那個數的自然數數列之和。然后再追問：如果是8個點、12個點時，這樣計算你們感覺怎樣？于是引導學生進行深層次的思考，由于大部分學生已掌握了“等差數列求和”的計算方法，很自然地引出用字母表示規律，有效地促進了學生歸納推理能力的發展。

總的來說，數學教師要關注數學核心素養，從知識教育、能力教育走向核心素養教育。兒童歸納推理能力的形成和發展不同于一般知識與技能的獲得，它是一個隱性的、緩慢的漸進過程，我們要順應兒童思維發展需要，給予他們充分說理的時空，促進他們數學思維的發展，提升他們的推理能力，落實立德樹人的根本任務。

責任編輯龍建剛