基于結構化學習下的數學概念教學

葉怡

一、問題提出

數學概念的教學內容抽象，不像長度、重量等可以通過具體的實物表現，且經過圖形變換之后判斷全等又增加了學習難度。不少教師在組織教學時講得細一點，很容易忽視學生的整體感受、過程體驗和自主建構的時間，以至于教師賣力分析，但學生無法在腦海中建立起知識間的聯系。因此，數學概念的教學要能夠從學生已有認知結構上進行，突出整體關聯結構，從而培養結構化思維。如果一個數學概念能夠以一種自然而又令人恍然大悟的方式與眾多的其他數學概念相聯系，那么它就是具有重要意義的。

二、教學案例——八年級上冊12.1《全等三角形》

這節課的重點內容是讓學生理解全等三角形的有關概念及其性質，以及全等的表示方法，對應部分的關系，教師在教學中僅僅是讓學生觀察兩張形狀相同，大小相同的圖形得出全等，對于學生來說，不需要作出思維上的努力就可以通過觀察辨別出來，這樣思考過程是學生已有的認知基礎，學生很容易得到，但只是對于全等有了簡單感性的認識，數學是整體的，結構的，邏輯的，要抓住核心的和關鍵，扣住本質和聯系，凸顯整體和關聯，讓學生發現隱藏在具體數學知識背后的思維方法。就能化繁為簡化難為易，條理清晰，事半功倍。為了學生能對概念可以抓住本質，學會結構化學習數學的思維，下面進行片段展示。

【片段一】感知特征，認識概念

出示我們經常看到的形狀，大小完全相同的圖形：

師：你能找出生活實際中形狀，大小完全相同的圖形嗎？

（學生觀察可得出）

師追問：你是如何辨別兩個圖形的形狀，大小是完全相同？

生：（交流談論找到方法）將兩個圖形重疊，看看他們是否能夠完全重合，能完全重合，他們的形狀，大小就相同。這時學生從“兩個圖形的形狀，大小完全相同”到“兩個圖形完全重合”就在大腦的思維中建構起來了，教師再適時點題，提出“全等形”的概念，接著教師把圖形換成三角形，拿出兩個形狀，大小完全相同的三角形，就比較自然的過渡到全等三角形的概念，這樣在學生的思維空間中得到了自然生長。這是一種結構化學習，結構化學習是將數學的邏輯結構和學生的認知結構的進行有效對接，是建立在數學知識系統和學生已有的認知基礎之上的，在知識的形成與演化的過程中把握數學本身的邏輯結構，促進認知結構的生長和完善以此洞悉學生身心發展的基本規律。在教學案例中教師從讓學生觀察圖形到如何辨別圖形喚醒了學生對全等的整體認知，在“感性經驗”的支撐下建立全等的直觀表象，從更高層次辨別的方法上把握了學習內容，讓學生重新建構新的數學知識。

【片段二】關系探究，理解概念

師：我把這兩個三角形重合在一起之后，你發現了我們可以把這兩個三角形稱之什么？

生：全等三角形。

讓學生總結全等三角形的概念：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，全等用符號“≌”表示，讀作全等三角形。學生在學習全等三角形的概念上從具體特殊的研究中發現共性，普遍性的數學結構與知識。在探索過程中提煉出概括數學概念素養。

師：適時展示三角形經過平移，翻折180°，旋轉之后是否還是全等三角形考察學生，如：

師：上面圖形位置變化了，仍然全等嗎？

生：會，雖然位置改變，但是形狀，大小沒有改變這個事實，即平移，翻折，旋轉前后圖形仍然全等。

師：那么位置改變后，我們只需要將它們重合在一起比較形狀，大小，那么是不是隨意疊在一起呢？

生：肯定不是，在討論交流中學生就會在大腦上思考出如何重合在一起的方法，答依據角度大小等判斷方法。從位置變化到是否全等？如何判斷等問題層層深入，引導學生揭示隱藏在具體數學知識背后的思維方法。

教師：把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角，因此圖①△ABC≌△DEF。

師：說說圖②，圖③的對應頂點，對應邊和對應角.

教師總結：圖②中對應邊AB和DB按照對應的點的順序寫，為了今后方便不能寫成AB對應邊BD，對應的字母按照重合的順序寫。

在圖形的三種變換下理清全等三角形判斷方法，這兩部分知識整合在一起學習，將學生認知進行整合來研究關系，找到聯系，實現建構，用思維帶動知識學習，著力于同類之間邏輯關聯的整體結構，初步從知識系統化走向思維結構化。

【片段三】實踐運用，拓展思維

（出示變式練習）

（1） 圖①△ABE≌△ACD，用字母表示出這兩個三角形的對應頂點，對應邊和對應角，讓學生找出并說明找的方法！

（2） 圖②與圖③直接讓學生表示全等三角形，并且表示對應點，對應邊和對應角.

翻轉，平移，旋轉之后的變式圖形的練習是對學生思維的鞏固，先從一些具體的研究中發現全等的共性、數學結構與其他知識的關系，通過知識變式提煉出數學思想和方法。因為只有抓住全等三角形與圖形變換之間的聯系，才能更好地把握數學學習結構、理解結構、生成知識。

【片段四】回顧反思，總結方法

師：回顧剛才的練習，你有什么哪些方法判斷全等？

（讓學生討論匯報全等三角形對應元素的方法）

生：可以通過題目給出的兩三角形△ABE≌△ACD中找出對應元素，觀察圖形中角度大小相等以此讓學生掌握全等的認識。“回頭看”這種思維活動，學生能從圖形平移，旋轉，翻轉之后依然能判斷全等，聯想到知識之間的結構關聯是今后學習的持續生長力，結構化學習有效地促進學生自覺的進行比較，總結和反思。不斷引領學生對學習過程進行回顧反思，使零散的知識、經驗匯聚起來，使得學生能夠條理化清晰化去認識事物的本質。

在今后學習中，將概念的教學置于由易到難、螺旋上升的整體性知識系統中，采用遞進式、整體性的教學推進，讓學生經歷數學概念的萌芽、產生、辨析、比較、建模的過程，理解概念的本質意義，體會數學思想方法優越性，形成結構化思維。比如，在教學《矩形》的概念時讓學生觀察一般的平行四邊形到矩形的變化過程，從而得出矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。抓住了平行四邊形與矩形的聯系，這一看似抽象的過程、始終聯系具體實例展開，始終致力于讓學生用自己的語言來描述學習體會和領悟。認知心理學家布魯納指出，學習過程是認知結構的組織和重新組織過程。然而，認知結構的組織和重新組織是由科學知識結構體系的內化和活化來實現的。所以，認知心理學家既強調原有認知結構的作用，也強調學習材料本身的內在邏輯結構，認為具有內在邏輯結構的材料與學生原有的認知結構聯系起來，新舊知識發生相互作用，新知識在學生頭腦中才能獲得新的意義。只有通過這樣的結構化學習，我們才能弄清相關概念的直觀背景，包括如何能將新的概念與先前已掌握的其他概念很好地聯系起來。

責任編輯 徐國堅