反正切有限時間收斂微分器設計*

駱長鑫，張東洋，譚詩利，張 濤

（空軍工程大學防空反導學院，西安 710051）

0 引言

高超聲速飛行器是當今世界航空航天技術發展的新制高點，在未來國防裝備發展和民用空天技術應用中將發揮著極其重要的戰略作用。而微分信號的精確提取對高超聲速飛行器的控制具有重要意義。當需要從受到噪聲污染的信號中提取微分信號時，低通濾波器和微分傳遞函數等傳統方法往往很難奏效[2]。我國韓京清研究員第一次提出了跟蹤微分器（Tracking Differentiator，TD）的概念，并給出了幾種具體的TD[3]。近些年來，國內外許多學者對TD的設計方法進行了深入研究，已提出了多種形式的TD[1，2-8]。盡管TD結構簡單，并具備一定的噪聲抑制能力，但無法證明估計誤差有界[1-2，7]。現在的TD只能用于提取輸入信號的有限階導數（通常是一階導數），而對于高階微分信號的提取，尚未取得滿意的結果。為獲取輸入信號的任意階導數，以色列學者Levant提出一種高階滑模微分器（High-order Sliding Mode Differentiator，HSMD）[9]。HSMD 在理論上可以提供輸入信號的任意階導數，但其設計參數選取異常困難，且對噪聲十分敏感。所以，設計結構簡單、具備一定噪聲抑制能力并能夠提供輸入信號的任意階導數的新型微分器勢在必行[12-13]。

基于以上微分器研究現狀分析，本文通過引入非線性函數設計了一種新型反正切有限時間收斂微分器（FD）。反正切函數可以保證FD收斂的快速性并能有效消除輸出顫振。值得一提的是，所設計的FD簡化了微分器設計參數，并能夠提供輸入信號的任意階導數，具有傳統微分跟蹤器無法比擬的優越性。通過仿真驗證了FD的改進效果及相對其他微分跟蹤器的優勢。

1 有限時間收斂系統設計

考察如下系統：

式中，a1，a2，…，an∈R+為待設計的參數，x1，x2，…，xn∈R為系統狀態變量，fA（·）為連續函數且有fA（0，…，0）=0。

為了證明式（1）是有限時間收斂的，先根據文獻[10]給出有限時間收斂的定義：

考慮下面時變系統

2）Lyapunov穩定：對于原點的任意一個開鄰域Uε，存在一個包含原點的N的開子集Uδ，使得對和，有。

那么，式（2）的原點稱為有限時間平衡點。

由定義知，對于式（1），若滿足下列合理假設，則是有限時間收斂的。

假設1：式（1）是有限時間穩定的且停息時間函數Tf在原點連續，存在正定連續函數V0，使得0為實值并在N上連續，且有

假設2：存在一個Lipschitz的Lyapunov函數V0使式（3）成立，且其 Lipschitz常數為M0。

假設4：輸入信號υ（t）分段連續可導，在整個時域內，υ（t）的前n-2階導數存在，且允許在某些時刻tj（j=1，2，…，k），n-1階不可導，但是其左導數與右導數均存在，并滿足。

假設1～假設4的證明如下：

證明假設1：存在一個原點的開鄰域Uε滿足0＜x1＜x2＜…＜xn＜1。選取如下 Lyapunov函數

對V0求時間的一階導數并代入式（2），有

注意到 0＜a1≤A2≤A3≤…≤An-1，an-1≤An-1，則式（6）變為

則式（7）變為

可見，假設1成立。證畢。

證明假設2與假設3：考慮到

有

進一步，可得

可見，假設2與假設3也同樣成立。證畢。

綜上所述，式（1）是有限時間收斂的。

2 FD設計

FD的設計思路[10]：構造一個有限時間收斂式（1），通過等價變換，即可得到一種新型FD。

定理 1：如果式（1）滿足假設 1～ 假設 3，υ（t）滿足假設4，則得到如下新型FD

證明：根據文獻[10]中的定理 1可知，式（14）成立。證畢。

特別地，傳統 TD[2，6-8]只能對輸入信號的一階導數進行估計，本文提出的FD可估計輸入信號的前n-1階導數。

3 仿真分析

為驗證設計的FD（僅以n=2的情形為例）的估計效果，分別將 FD 與下列新型TD[11]以及 HSMD[9]進行對比仿真。

仿真采用四階Runge-Kutta法進行求解，仿真步長取為0.001 s。分別在以下兩種情況下進行仿真。

仿真1：假設在高超聲速飛行器控制中需要提取的信號為 υ（t）=sin（2πt）的微分，不考慮噪聲影響，FD 的設計參數取為：R=600，a1=15，a2=0.005。

3種微分器對υ（t）及其微分值的估計效果如下頁圖1～圖4所示。圖2與圖4表明，在3種微分器中，本文提出的 FD 對 υ（t）與（t）的估計誤差最小，精度最高。由圖4進一步可見，TD存在一個較為嚴重的峰值現象，HSMD在零點附近存在嚴重的抖振現象。因此，當不考慮噪聲時，本文提出的FD較TD與HSMD均具有一定的優勢。

仿真2：輸入信號取為 υ（t）=sin（πt），并假設υ（t）受到隨機噪聲污染（見圖5），FD 的設計參數取為：R=60，a1=0.2，a2=0.1。

由仿真結果（見圖6～圖9）可見，當輸入信號υ（t）受到噪聲污染時，本文提出的FD仍能實現對υ（t）與（t）的高精度、平滑估計。因此，與 TD 和HSMD相比，本文提出的FD在噪聲抑制方面也具有一定的優勢。

圖1 v（t）估計效果

圖2 v（t）估計誤差

圖3 （t）估計效果

圖4 （t）估計誤差

圖5 受到噪聲污染的v（t）

圖6 受到噪聲污染的v（t）估計效果

圖7 v（t）估計效果局部放大

圖8 受到噪聲污染的（t）估計效果

圖9 （t）估計效果局部放大

4 結論

本文基于反正切函數和終端吸引子函數設計了一種新型有限時間收斂微分器。仿真結果表明，FD不僅結構形式簡單、設計參數相對較少，而且在跟蹤精度、響應時間和濾波能力等方面較幾種跟蹤微分器均有一定的優勢。