基于ICoSaMP重建的TDCS寬帶壓縮感知算法*

劉 洋，任清華，2，蘇玉澤，王桂勝，徐兵政

（1.空軍工程大學信息與導航學院，西安 710077；2.中國電子科技集團航天信息應用技術重點實驗室，石家莊 050081）

0 引言

變換域通信系統（Transform Domain Communication System，TDCS）是認知無線電的候選技術之一，因其在低信噪比環境下具有良好的通信抗干擾性能以及靈活的頻譜接入方式等優勢受到廣泛關注，具有良好的發展前景[1]。

由于TDCS具有很強的抗干擾性能，因此，非常適合于軍事通信抗干擾領域，在電子對抗過程中敵對雙方采取的干擾方式通常是有精確式干擾，包括單音干擾、多音干擾、窄帶干擾和寬帶干擾等方式，再加之TDCS的通信環境是一個低信噪比的寬帶環境，其無線頻譜具有明顯的稀疏特性，因此，將壓縮感知理論引入到TDCS寬帶頻譜感知的領域中。

目前國內在TDCS寬帶壓縮頻譜感知領域研究較少，高成林[3]等人提出了一種基于時頻二維壓縮的MIMO-TDCS壓縮感知信息反饋方法。李楠[4]等人針對TDCS寬帶壓縮感知使用隨機性觀測矩陣存在的局限，提出一種確定性嵌入式混沌序列-循環Toeplitz結構壓縮感知觀測矩陣構造方法。

壓縮感知技術的關鍵問題就是如何快速精確地重建原始信號，之前的學者研究TDCS寬帶壓縮頻譜感知所使用的重建算法都是基于已知稀疏度條件下的傳統算法，如匹配追蹤（MP：Matching Pursuit）算法、正交匹配追蹤算法（OMP：Orthogonal Matching Pursuit）和壓縮感知匹配追蹤算法（CoSaMP：Compressive Sampling Matching Pursuit） 等 。 其 中CoSaMP算法是在OMP算法基礎上的改進，添加了“回頭檢驗”的思想，即將每次迭代選入支撐集的原子重新檢驗，符合條件則留在支撐集，反之刪除不符合條件的原子。

針對上述問題，本文提出了一種盲稀疏度的ICoSaMP（Improved Compressive Sampling Matching Pursuit）算法。該算法利用頻帶占用率對信號的稀疏度進行估計，利用相鄰兩次迭代的殘差之差小于某個閾值作為迭代終止條件，同時設置了殘差比系數，降低系統噪聲的影響。仿真結果表明，在相同信噪比和稀疏度條件下ICoSaMP算法相比于CoSaMP算法在重構概率方面有顯著提高，在盲稀疏度條件下ICoSaMP算法的重建均方誤差低于CoSaMP算法。

1 TDCS寬帶頻譜感知的模型描述

設TDCS的工作帶寬為B，授權用戶隨機占用一部分頻段，其余頻段處于空閑狀態，因此，寬帶信號在頻域具有一定的稀疏性。如圖1所示。

圖1 寬帶頻譜感知模型

在TDCS前端構建寬帶壓縮感知框架如圖2所示。

圖2 TDCS寬帶壓縮感知框架

AIC為模擬信息轉換器，其以壓縮感知理論為基礎，可以直接對模擬信號邊采樣邊壓縮，從而得到離散的觀測向量y為：

其中，F為N×N離散傅立葉變換矩陣，s為x的頻譜，有K個非零值，并且K＜M，被稱作信號s的稀疏度。將式（2）代入式（1）中得

其中，Θ為M×N維觀測矩陣，其需要滿足約束等距特性（RIP）、零空間特性以及非相關性（Incoherence）等條件。

對于式（4）的求解，通常通過求解一個基于e0范數最小化的問題來重建頻譜s，然后利用式（2）反解出信號x。

這種求解方式得到的解是最優的，但求解式（5）仍然是個NP難題。為此壓縮感知理論采用的主要方法是將e0范數最小化問題轉化為e1范數最小化問題，并且利用線性規劃的思想來求解信號的重建[5]。文獻[6]表明e1最小范數與e0最小范數在一定條件下具有等價性。因此，式（5）可以寫為

目前解決這類凸優化問題主要使用貪婪算法，作為解決上述重建問題的快速有效算法，目前其主要包括匹配跟蹤算法（MP）、分段匹配跟蹤算法（StOMP）、正交匹配跟蹤算法（OMP）和壓縮感知匹配追蹤算法（CoSaMP）等。

2 CoSaMP算法

與其他貪婪算法相比，CoSaMP算法的優點是在每次迭代的過程中能識別多個原子，從而能夠快速收斂，同時添加了“回頭檢驗”的思想，使得重構精度提高，避免了閾值選擇的難題。其算法偽碼如下。

輸入：觀測矩陣Θ，測量值y，稀疏度K。

1）m=m+1。

6）終止判決，若 m＜K，則返回 1），否則執行 7）。

3 殘差比閾值迭代終止條件設置

文獻[7]針對傳統迭代終止條件的不足，設計了一種新的殘差比閾值迭代終止條件，解決了傳統迭代終止條件在低信噪比下的不足。

首先，測量值y可以分解為

本文借鑒以上思想，對CoSaMP算法進行改進，提出了一種盲稀疏度的ICoSaMP算法。

4 盲稀疏度的ICoSaMP算法

4.1 算法分析

根據第2節針對CoSaMP算法的分析可知，其最大的缺陷就是需要知道信號稀疏度這樣的先驗信息，并且將其作為迭代次數，這使其在實際應用中的潛力大打折扣。第3節針對傳統迭代終止條件的不足，設計了一種殘差比閾值迭代終止條件，一定程度上克服了重建信號的過程在較低信噪比下的影響。

由以上分析，可將殘差比閾值迭代終止條件應用到CoSaMP算法作為迭代終止條件而不依賴信號稀疏度K，即每迭代一次可以算出該次的殘差比fm，再將其與設定的閾值θ進行比較，若fm＜θ，則迭代停止，輸出，否則繼續迭代，直到fm＜θ為止。對于CoSaMP算法在迭代過程中出現的稀疏度K，可以由該頻段的占用情況進行估計。

在TDCS實際工程應用當中，信號的稀疏度很難獲得，但是某個頻段的占用率范圍這個指標很容易求得，通常通過頻譜檢測儀器在一定區域內對某個頻段進行檢測獲得，也可以對相關頻譜管理部門進行問詢來獲得長期的調查統計結果，得到頻帶占用率范圍之后就可以對信號的稀疏度進行一個粗略估計，例如美國相關研究部門對30 MHz～3 GHz這個頻段內的頻譜占用情況進行調查，其結果是5.2%～13.1%，因此，該頻段的稀疏度范圍為N×5.2%～N×13.1%，其中N為Nyquist采樣頻點數，稀疏度估計值K′在該范圍取便可。

4.2 算法流程

ICoSaMP算法的偽碼如下：

輸入觀測矩陣Θ，觀測值y，稀疏度估計值K′

2）m=m+1。

7）迭代判決，如果 fm＜θ，則執行 8），否則返回2），閾值的取值范圍通常為0.1～0.5。

算法結束。

在改進后的ICoSaMP算法中，不需要知道信號稀疏度K這個先驗信息，只需知道所研究頻段的占用率即可，而這個參數在實際應用過程中很容易獲得。該算法另一個優點是融合了殘差比閾值迭代終止條件進而產生步驟7）迭代判決過程，代替了信號稀疏度這個迭代終止條件。解決了CoSaMP算法在TDCS盲稀疏度條件下無法精確重建信號的難題。

5 仿真分析

5.1 重建概率分析

為了驗證改進后的ICoSaMP算法的重建效果，尤其是在TDCS這種較低信噪比的環境下ICoSaMP算法與其他算法在重建概率上的差異，利用MATLAB仿真平臺進行驗證，測量矩陣選用高斯隨機測量矩陣，Nyquist采樣頻點數N=256，觀測值數量M=128，頻帶占用率 η=10%，判決閾值 θ=0.2。

5.1.1 無噪條件下重建概率仿真分析

圖3所表示的是在無噪條件下，OMP、ROMP、StOMP、CoSaMP和 ICoSaMP算法的重建效果對比圖。

圖3 無噪條件下不同算法的重建概率對比

由圖3可知，ICoSaMP算法的重建概率曲線明顯優于先前的CoSaMP算法，當信號稀疏度低于13時，各算法都能以接近百分之百的概率重建原始信號；信號稀疏度在15～40之間時，OMP和ROMP的重建概率開始明顯下降，而CoSaMP和ICoSaMP算法依然能以接近百分之百的概率重建原始信號；而當稀疏度大于45時，CoSaMP和ICoSaMP算法的重建概率開始驟降，甚至低于先前的幾個算法。這可能是由于CoSaMP和ICoSaMP算法在較高稀疏度下每次迭代需要選入更多原子作為支撐集進而產生過匹配的情況所致，因此，在較低稀疏度下，ICoSaMP算法重建效果優勢明顯。

5.1.2 有噪條件下重建概率仿真分析

TDCS傳輸系統的工作環境往往是低信噪比環境，因此，在較低信噪比環境下進行各重建算法的重建概率對比實驗更具有實際意義。實驗結果如圖4所示。

圖4 不同算法在SNR=-1時的重建概率對比

圖5 不同算法在SNR=0時的重建概率對比

圖6 不同算法在SNR=1時的重建概率對比

圖4～圖6是幾種算法在較低信噪比下重建概率與稀疏度的關系示意圖，由圖可知，各算法的重建概率在較低信噪比的環境下均受不同程度的影響，信噪比越低，重構概率越低。同時可以看出，ICoSaMP算法的重建概率曲線明顯優于其他幾種算法，通過計算可知，ICoSaMP算法在相同信噪比環境下的重建概率比CoSaMP算法高10%左右，這是由于ICoSaMP算法利用相鄰兩次迭代的殘差之差以及殘差比系數來削弱隨機噪聲的影響，進而提高自身的抗噪聲性能。因此，ICoSaMP算法在較低信噪比環境下的優勢更為明顯。

5.2 重建效果仿真分析

以上實驗驗證了ICoSaMP算法在TDCS低信噪比環境下的重構性能明顯優于先前的CoSaMP算法，下面驗證ICoSaMP算法在盲稀疏度下的重建效果，稀疏度K=25，頻譜占用率η=10%，其余條件不變，實驗結果如圖7、圖8所示。

圖7 原始信號

圖8 兩種算法的恢復信號對比

根據圖7和圖8可以直觀地看到ICoSaMP算法和CoSaMP算法重建原始信號的效果基本一致，但是ICoSaMP算法是在未知稀疏度K的條件下對原始信號進行恢復。因此，ICoSaMP算法在盲稀度條件下優勢已有體現。

5.3 均方誤差（MSE）分析

為了檢驗ICoSaMP算法在TDCS低信噪比下的信號恢復精度，本文對OMP算法、CoSaMP算法和ICoSaMP算法進行均方誤差（Mean Square Error，MSE）仿真分析，信號稀疏度K=25，頻譜占用率η=10%，測量矩陣選高斯隨機測量矩陣，Nyquist采樣頻點數N=256，觀測值數量M=128，判決閾值θ=0.2。仿真結果如圖9所示。

圖9 不同算法的信號恢復MSE對比

圖9給出了OMP算法、CoSaMP算法和ICoSaMP算法恢復原始信號的MSE值隨信噪比變化的曲線。由于TDCS在較低信噪比下仍然具有良好的性能，因此，本文所選取的仿真環境是較低信噪比。由圖9可知，不同算法恢復原始信號的MSE值都隨著信噪比的增加而減小，且ICoSaMP算法的MSE始終略優于CoSaMP算法，這是由于ICoSaMP算法將相鄰兩次迭代的殘差比閾值作為迭代終止條件，同時增加了殘差比系數，這些改進措施使ICoSaMP算法具有一定的抗噪聲性能，因此，在TDCS較低信噪比環境下恢復信號的精度高于CoSaMP算法，但另一方面，由于處于高噪聲的仿真環境中，且噪聲對重建算法的恢復精度有很大影響，因此，在高噪聲環境下ICoSaMP算法與CoSaMP算法的恢復難度都很大，所以ICoSaMP算法的重建精度相比于CoSaMP算法是在可見范圍內的提升。同樣，圖9中CoSaMP算法的MSE始終略優于OMP算法，這是由于CoSaMP算法是在OMP算法基礎上通過添加“回頭檢驗”的思想而進行改進的算法，因此，在相同條件下CoSaMP算法恢復信號的精度也就略高于OMP算法。

6 結論

在TDCS低信噪比環境下，信號在頻域具有明顯的稀疏特性，因此，利用壓縮感知技術對TDCS前端的頻譜環境進行感知。在實際的工程應用中，信號的稀疏度很難獲得，而傳統的CoSaMP算法在使用時必須要知道信號稀疏度這樣一個先驗信息。為此，本文利用頻譜占用情況對信號的稀疏度進行估計，利用殘差比閾值迭代終止條件對CoSaMP算法進行改進，提出了一種盲稀疏度的ICoSaMP算法。通過仿真實驗，ICoSaMP算法相比于CoSaMP算法的重建精度更高，抗噪聲性能越強，對于TDCS低信噪比下的寬帶頻譜感知具有重要意義。