解構幾何直觀
——以“分數乘分數”教學為例

□江蘇省南京市金陵小學 周婷

幾何直觀是《義務教育教學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標2011年版”）核心詞之一。“課標2011年版”指出：“幾何直觀主要是利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解教學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。”由此可見，幾何直觀依托于圖形獲得對數學問題的感性認識和理性思考。

課標概括地對義務教育三個學段的共性目標加以闡釋，但在實際教學過程中，怎樣才能讓幾何直觀得到學生原生思維的支持，自然而然地生長？我們需要立足學情，跨越認知和學段之間的界限，解構幾何直觀，以本源促本真。

一、直觀分層，層層剖析

著名特級教教師曹培英將幾何直觀分層敘述：直觀感知，直觀理解，直觀洞察。我將結合實際對三種層次加以說明。

（一）直觀感知

將處于感性認識階段的、較低層次的幾何直觀，稱之為“直觀感知”，即觀察認識了直觀載體的外在現象或表面意義。該層次的幾何直觀源于學生本身的“幾何直覺”，他們能夠發現幾何直觀表述的數學事實即可，不需要他們概括總結。

（二）直觀理解

直觀理解基于直觀感知，學生面對一項數學事實時能夠嘗試總結概括，自主驗證。

（三）直觀洞察

將高層次的幾何直觀，概括為“直觀洞察”，即發現了直觀載體的深層意義或內在本質。這對學生的思維要求較高，課堂之上我們需要不懈努力，力爭喚醒高階思維。

當然，三種層次的幾何直觀之間并不存在明確的界限，它們之間通常具有連續性，漸進性，一種幾何直觀會介于兩種層次之間。對幾何直觀層次進行劃分，只是為了讓其成為數學認知更有力的支撐。

二、定位學情，重塑價值

立足教學實際，小學階段的幾何直觀，以直觀感知為基點，逐步向直觀理解深入，同時又伴隨直觀洞察層次的表現。我們需要依據教學目標、學生學情，合理解構幾何知識，分層教學，層層深入，讓學生不斷積累直觀感知、直觀理解、直觀洞察的體驗，強化幾何直觀意識。

我以蘇教版數學六年級上冊“分數乘分數”為例，淺談自己關于幾何直觀教學的幾點思考。

【傳統教學片段】教師出示等分好的長方形。

教師：涂色部分都表示一張紙的，斜線部分各占幾分之幾？各是這張紙的幾分之幾？

學生通過圖形可知×=，×=。

教師：根據乘法算式在圖中畫斜線，并表示計算結果。

學生通過畫圖可知，×=，×=。

教師：觀察上面每個算式和計算結果，你有什么發現？

學生：我發現分數乘分數，分子和分子相乘，積還做分子，分母和分母相乘，積還做分母。

【思考】

上述教學中，學生看似能用運用幾何直觀理解算理，實則是在教師的牽引下被動表征。這樣的幾何直觀不是從學生腦中自然而然生長的，沒有得到學生原生思維的支撐，只能是“曇花一現”，幾何直觀的重要價值在于激發學生的幾何直觀潛質，讓學生用直觀的方式表征數學，不僅在于形成直觀表征的技能，更在于發展學生思維。

三、精準加工，教學重構

（一）直觀理解：開放表征空間，思維自然生長

【教學片段】

教師：剛剛我們研究出了×的得數。老師這里還有兩道算式。×，×。請你選擇其中一個算式，畫圖表示其含義，并計算結果。

學生1：先把這張長方形紙平均分成3份，表示其中的2份。然后再把這2份平均分成5份，表示其中的1份。

教師：這里的15是怎么來的？

學生：把大長方形先平均分成3份，表示其中的2份，又把這2份再平均分成5份，由圖中可看出，一共把大長方形平均分成了15份，所以是15。

學生2：把長方形紙平均分成3份，表示其中的2份。因為表示的，所以再把這2份平均分成5份，表示其中的4份，最后結果是。

教師：15是怎么來的？8又是怎么來的？

學生：由圖中可以看出，整個大長方形一共平均分成了15份，涂色部分有這樣8份。

【思考】

學生經歷橫向等分涂色、縱向等分涂色的過程，對結果中分子和分母的由來已經有了更深層次的認識，為后面算理的理解積累了豐富的感性經驗。經歷兩道算式的畫圖過程，學生已經由直觀感知循序漸進到直觀理解，思維也向縱深處發展。

【教學片段】

教師請學生自主舉例，畫圖驗證計算結果并進行交流。

學生：老師，我寫的分數是×，該怎么畫圖證明結果呢？

學生：我覺得可以標得再清楚一點。整個大長方形被平均分成了5行53列，5×53等于265份，涂色部分一共是2行51列，51×2等于102份。

教師：現在你知道分數乘分數的計算方法了嗎？

學生：分母乘分母做分母，分子乘分子做分子。

【思考】

教師放手，讓學生自主舉例，這樣做給予了學生更加開放的研究空間，也讓學生充分經歷了自主表征的過程。有學生列舉的分數分子和分母較大，此時已經無法在圖中完全表示出計算結果，激發了直觀表征手段和分數乘法意義之間的沖突。有沖突才有改變，有撕裂才有創新，有學生就想到可以利用省略號，部分顯化，部分隱藏。這種半直觀化的表征方式，是學生思維經歷“抽象—直觀—抽象”的過程，也是直觀理解的體現。

（二）直觀洞察：顯化數學思考，深刻理解算理

教師：你能說一說為什么分母乘分母作為分母，分子乘分子作為分子嗎？

學生1：分母乘分母，相當于分了又分的過程，分子乘分子相當于取了又取的過程。

學生2：分母乘分母，是算出把大長方形一共平均分成了幾份，分子乘分子，是算出一共涂色表示了多少份。

教師：你能結合×這道算式說一說為什么嗎？

學生3（邊畫圖邊說）：表示把長方形平均分成a行，涂色表示這樣的b行。表示把涂色的b份平均分成c列，涂色表示這樣的d列。所以，最后長方形一共平均分成了a行c列，共a×c份，涂色部分是這樣的b行d列，共b×d份，所以a和c的乘積作為分母，b和d的乘積作為分子。

【思考】

學生充分經歷結合直觀表征分數乘分數意義的過程，積累了豐富的直觀經驗，并形成了相關幾何表象，獨具個性化的“a行c列，b行d列”外顯學生思維過程，動態展現學生思維的深刻程度。無論是動手畫圖還是在腦海想象，抽象出算理并個性化解讀的過程就是直觀洞察的體現。也許，這節課中，直觀洞察并不是那么“突然”，沒有“豁然開朗”的頓悟，沒有“天馬星空”的跳躍，但是從無到有，從懵懂到理解，學生一步步從直觀感知邁向直觀理解，再朝直觀洞察深入，最終理解算理，這才是我們立于課堂的追求。

康德說：“人類的一切知識都是從直觀開始的，從那里進到概念，而以理念結束。”幾何直觀的介入為學生認識數學提供了有力的指引，我們需要做的，只是一層一層揭開幾何直觀外面的神秘面紗，讓學生在可承受范圍內，理解、接受、運用它。立足課堂，解構幾何直觀，追尋思維本質，我們一直在路上！