基于模式識別下等腰三角形的分類討論

□江蘇省蘇州高新區(qū)第五初級中學(xué)校 何風(fēng)強(qiáng)

在平時數(shù)學(xué)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)等腰三角形的分類討論問題時，存在一定的困惑，即在一條已知直線上，如何確定一點和與該直線不共線的一條線段的兩端點構(gòu)成等腰三角形。為了讓更多的學(xué)習(xí)者能更深入地理解并掌握此類問題的解決方法，我將從一道數(shù)學(xué)習(xí)題的解析展開研究，進(jìn)而確定“等腰三角形按邊分類討論”的一種模式，再結(jié)合典型例題進(jìn)行模式識別和模式的應(yīng)用。所謂模式識別，就是當(dāng)主體接觸到數(shù)學(xué)問題后，首先要辨別題目的類型和所給條件，再結(jié)合已有知識和經(jīng)驗，將問題分解歸類，從而產(chǎn)生摩擦，最終生成新問題的解決方法。

一、“等腰三角形按邊分類討論”模式的構(gòu)建

例1如圖1，已知線段AB，在直線CD（與線段AB不共線）上找一點P，使得ΔABP為等腰三角形。

解析：因為要使ΔABP為等腰三角形，即從邊的分類討論有三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP。找出符合題意的點P如下：①如圖2，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓（弧）交直線CD于點P，連接AP和BP，此時AB=AP，即ΔABP為等腰三角形；②如圖3，以點B為圓心，AB長為半徑畫圓（弧）交直線CD于點P，連接AP和BP，此時AB=BP，即ΔABP為等腰三角形；③如圖4，圓（弧）交于E、F兩點，并過E、F作直線EF（即為線段AB的垂直平分線）交直線CD于點P，連接AP和BP，此時AP=BP，即ΔABP為等腰三角形。

在例1中，從等腰三角形的定義入手，結(jié)合分類討論思想，易知有三種情況，即三角形的任意兩邊相等，然后考慮找出符合題意的點P，圖2和圖3結(jié)合畫圓或弧交直線CD于點P，利用半徑的相等性構(gòu)造等腰三角形，而圖4是作線段AB的垂直平分線交直線CD于點P，并利用垂直平分線性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形。

因此，我通過例1構(gòu)建了“等腰三角形按邊分類討論”模式，即任意兩邊相等的三角形是等腰三角形，分三種情況進(jìn)行考慮研究，而找出等腰三角形的第三個頂點的做法是畫圓（弧）法和作垂直平分線法。

二、從模式的構(gòu)建，再到模式的識別

例2如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=3cm，動點P從B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運動時間為t，求t為何值時，△ABP為等腰三角形？

解析：如圖5，因為首先由“勾股定理”易知BC=4cm，然后要使得△ABP為等腰三角形，即分為三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP（找出點P的畫法依然是畫圓弧法和作垂直平分線法，具體畫法略）。①如AP，在Rt△ACP中，由“勾股定理”得AC2+(4-AP)2，時，ΔABP為等腰三角形。

例2是對“等腰三角形按邊分類討論”模式的直接識別，雖然問題情境是三角形，但找出點P的方法是一樣的，由三角形任意兩邊相等構(gòu)成等腰三角形進(jìn)行分類討論，依舊是存在三種情況，對于作圖之后的問題解決就思路清晰了，從中我們還可以提煉出三種解題依據(jù)或方法，第一種是根據(jù)等腰三角形的“三線合一”求解，第二種是根據(jù)“等量代換”直接求解，第三種是根據(jù)勾股定理”求解，此三種解題方法也是后續(xù)解決此類問題的突破性方法。

思考題：在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為長方形，O為坐標(biāo)原點，A（10，0），C（0，4），點D是OA的中點，點P在線段BC上運動，當(dāng)△ODP是腰長為5的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)。（此題僅作思考）

解：略。

只要我們能善于識別出這個“等腰三角形按邊分類討論”的模式，并靈活應(yīng)用到幾何解題中，那么就一定能順利而且有效地解決此類問題。同樣，我也希望通過對這種識別方法的闡述與應(yīng)用能對學(xué)習(xí)者有所啟發(fā)，模式只是提供了一種相對穩(wěn)定的樣本，既非萬能又非一成不變，當(dāng)遇到一個新的、更深刻或非常規(guī)的問題時，我們需要轉(zhuǎn)化或者分解問題，還需要對模式加以補(bǔ)充，創(chuàng)造出更多或更高層次的模式，逐漸進(jìn)入得心應(yīng)手的境界.

最后，我想借張奠宙先生的一段話來結(jié)尾，即：“欣賞外表直觀之秀，內(nèi)涵深刻之慧，文化底蘊之濃，理性思考之精，也許這就是數(shù)學(xué)欣賞的普遍規(guī)律。”