向量在高中數學解題中的應用

□甘肅省金昌市永昌縣第一高級中學 徐有彪

向量是高中數學課程的重要教學內容，也是高中數學解決問題的常用工具。向量最早出現于物理學中，多用來表示速度、位移、力等，英國科學家牛頓首次將向量和有向線段聯系起來，為向量的數學應用鋪平了道路。18世紀末，挪威數學家威賽爾通過坐標平面上的點來表示復數a＋bi，并借助具有幾何意義的復數運算來定義向量運算，向量正式進入數學領域。在高中數學教學中，教師要重視向量的解題應用，以此作為提升學生解題能力的有效方式。

一、數列問題中的解題應用

數列是高中數學的主干知識，也是考試命題的重要內容。高考試卷多以數列作為壓軸題，且數列知識點較多，學生在解題中容易出現誤區，犯錯率較高。雖然平面向量與數列之間的知識聯系較少，但命題者有時將數列的性質與向量共線的條件結合起來，這就需要學生在解題中利用向量的共線定理來解決問題。舉例而言，Sn為數列{an}的和，現在已知an-an＋1=d（d∈R），其果A、B、C三個點處在同一條直線上，且不過O（0，0），那么S200等于多少？本道題表面上是數列求和問題，本質上考查的卻是學生對向量共線定理的掌握情況。學生在解答問題中只要意識到向量定理在本題中的應用價值，接下來的計算難度將大為下降。根據向量共線基本定理，學生可以很快求出數列首項以及末項的和，然后再借助數列的求和公式，快速地得出問題答案，簡單明了，且不易出現計算錯誤。

二、三角函數中的解題應用

三角函數是高中數學解題的常見內容，三角函數的解題方法比較多元，最為常見的便是運用各種公式進行代數運算。三角函數在命題中常滲透平面向量的內容，比如平面向量的數量積、坐標運算以及向量的共性及垂直的條件，使問題的呈現更具新穎性、綜合性。這就要求學生在解題中能夠從向量知識出發。舉例而不僅考查向量的有關概念及運算，更考查向量與其他知識的綜合應用，學生需要借助向量的坐標運算轉化

三、平面幾何中的解題應用

向量具有數形結合的特點，借助向量，不僅可以將枯燥抽象的代數問題轉變為直觀清晰的幾何圖形，也能將幾何問題中的煩瑣求證轉變為相對簡單的代數計算，從而實現化繁為簡的目標。就以平面幾何解題為例，不少平面幾何問題難以借助常規的解法求出，此時，教師可以引導學生嘗試著從向量的角度切入，將平面幾何問題轉化為向量問題，然后再利用向量的基本運算求解，降低題目的復雜性以及解題難度。舉例而言，已知某△ABC，其中AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，CN和BN相交于點E，若AB=m，AC=n，且∠BAC=60°，請求出AE的長度。本題涉及的知識點相對較多，傳統的解題方法不僅煩瑣，而且極易出錯，教師可以借助向量來幫助學生轉變思路，從而提高解題效率。比如先fffffd問題便迎刃而解。

四、立體幾何中的解題應用

立體幾何是高中數學教學的重要內容，也是學生學習難度比較大的內容。相比于平面幾何、解析幾何而言，立體結合對學生的空間思維能力有著更高的要求，學生在解題中，比如證明題中，經常容易出錯。立體幾何解題的常規思路為問題轉化，即將立體幾何的內容轉化為更為熟悉的平面幾何內容，然后再借助平面幾何的知識來解決立體幾何的問題。事實上，學生在解題中大都遵循此一思路。但在實際的解題中，部分問題即便轉化后仍然比較復雜，此時，向量成為突破解題窠臼的有效方法。舉例而言，某平行六面體ABCD-A′B′C′D′的 地 面 為 菱 形ABCD，且 ∠C′CB=∠C′CD=∠BCD=60°，求證C′C與BD垂直。傳統的證明方式較為煩瑣，需要借助線面垂直來推導線線垂直，而利用向量知識可以簡化問題，比如然后利用向量的基本法則可以很快推導

五、結語

向量作為高中數學的重要知識點，是學生數學解題的利器。高中數學中的向量兼有代數形式和幾何形式雙重特征，學生利用其代數形式來解決幾何問題，不僅可以提高學生的解題效率，在幫助學生串聯數學知識點中也有很好的效果。