高濃度氣泡群的參數反演

侯森 趙梅 胡長青

（1.中國科學院聲學研究所東海研究站,上海,201815；2.中國科學院大學,北京,100049）

在海洋環境中存在著大量的氣泡，氣泡的來源有自然環境產生的，如風浪形成的氣泡和海底甲烷泄漏形成的氣泡群等；也有人類活動產生的氣泡，如艦船尾流產生的氣泡和氣幕彈形成的氣泡群等。這些氣泡不僅會影響海洋環境中的理化性質，而且對聲傳播也會產生重要的影響，所以獲取氣泡群的物理參數，對海洋探測和研究水下聲信號的傳播都有重要的意義。

在對水中氣泡群反演方法的研究方面，主要有光學和聲學兩種方法。光學方法對環境要求較高，不僅需要充足的光照環境，而且需要避免氣泡間的影像重疊，在實際應用中適用范圍較窄。而聲學的方法則對環境要求較低，操作簡單且可以對高濃度氣泡群進行大面積探測或反演，是探測海洋中氣泡群的最主要的方法。

國內對氣泡的聲學研究主要集中在船舶尾流和海表風成氣泡的研究上。通常情況下，這兩類氣泡濃度較低，空隙率主要集中在 10–7～10–4之間，與此相關的氣泡反演方法也主要是針對較低濃度下的氣泡參數反演。而在實際情況下，海底甲烷泄漏以及潛艇用氣幕彈都可以形成空隙率高達 10–2以上的氣泡群。所以研究高濃度氣泡群的反演方法在實際應用中有重要意義。早在二十世紀 80年代，錢祖文就對氣泡群的反演進行了大量研究，他推導出了考慮氣泡間多次散射時的等效入射聲場，并解決了實驗中阻尼系數遠高于理論值的問題[1-3]；到 90年代，Medwin提出了聲衰減公式，建立了經典的共振估計模型，并通過大量實驗驗證了模型可以較精確地反演低濃度的氣泡群，但是在反演較高濃度氣泡群時存在誤差大的問題[4,5]。2011年謝萍將阻尼系數和聲速的修正參數引入到經典共振估計模型中，有效解決了頻散和聲速衰減帶來的反演誤差，但是反演高濃度氣泡群時仍存在誤差大的問題[6]。2013年王勇推導了含高濃度氣泡水體中的聲速模型[7]。

本文對經典的共振估計模型進行了修正和改進，有效降低了對高濃度氣泡群的反演誤差。通過在經典模型中引入氣泡間的相互作用和氣泡對聲的非共振衰減，較好地解決了理論值明顯高于實際值和小半徑氣泡理論值嚴重失真的問題。

1 經典的共振估計模型

1.1 共振估計模型理論

經典的共振估計模型認為，聲波透射氣泡群時的衰減主要是由共振頻率與聲波入射頻率相近的氣泡引起，可以通過測量不同頻率下的聲衰減數據來反演氣泡群的半徑分布和氣泡群濃度等參數。假設聲波以頻率f入射氣泡群時，聲波的衰減系數可表示為：

式中，a(f)為聲衰減系數，dB·m–1；n(r)為單位體積內半徑為r的氣泡個數；δ為阻尼系數；f0為氣泡的共振頻率；f為聲波的入射頻率。聲衰減積分為第一類 Fedholm積分方程，由于其本身不適定的特點，很難直接求解。Medwin基于共振衰減理論對積分做了如下化簡并求解出解析式。若入射聲頻率f近似等于半徑為r0的氣泡的共振頻率，則式（1）可化簡為：

式中，f為入射聲頻率，f0為r0的共振頻率，f0與r0的關系式滿足：

式中，p0為環境壓強；γ為常數 1.4；ρ為密度。式（3）表明在環境參數確定的情況下，氣泡共振頻率由且僅由氣泡半徑決定。

將式（3）代入式（2）中求解積分，可以得到不同半徑下氣泡數量與聲衰減的關系：

如式（4）所示，即可以通過測量不同頻率下的聲衰減得到氣泡的半徑分布參數。空隙率即單位體積水中的含氣量，與氣泡群半徑分布的關系如下：

式中，β是空隙率，r為氣泡半徑。在反演得到了氣泡半徑分布的基礎上，可以通過對氣泡群半徑分布積分來獲得空隙率。

1.2 反演氣泡群的仿真計算

共振估計模型在氣泡群濃度較低時，可以做到較為精確快捷的反演。假設有一氣泡群位于淺水環境中，水密度 103kg·m–3，環境壓強為105Pa，氣泡群為甲烷氣體，密度為0.717 kg·m–3，氣泡群半徑分布滿足高斯分布n(r)～N(μ,δ2)，其中數學期望μ為10–4，標準差δ為5×10–5，空隙率為9.72×10–8，氣泡的半徑分布在 10～250 μm 之間，入射聲頻率為10～200 kHz.

在低空隙率下，運用經典共振估計法對氣泡參數的反演如圖1所示。反演得到的半徑分布結果與實際分布基本一致，反演得到的空隙率為9.78×10–8與實際值吻合。

圖1 經典共振估計法對低濃度氣泡群的參數反演

相比于對低濃度氣泡群反演時得到的較好結果，經典的共振估計法在反演高濃度的氣泡群時會出現非常大的誤差。假設一高濃度氣泡群所處環境與圖1相同且滿足同一高斯分布，空隙率為1.38×10–2，運用共振估計模型對氣泡群的反演結果如圖2所示。

圖2 經典共振估計法對高濃度氣泡群的參數反演

從圖2中可以看出，反演得出的氣泡分布明顯高于實際的氣泡分布，得到的空隙率 2.27×10–2遠高于 1.38×10–2的實際值。尤其在小半徑氣泡的反演上，誤差更為明顯。這主要有兩方面原因，第一點，經典的共振估計模型沒有計入氣泡間相互作用，在氣泡群濃度較高時，氣泡間的相互作用會導致氣泡群的共振頻帶展寬，提高氣泡群造成的聲衰減；第二點原因，論文[3]中實驗表明，大半徑氣泡會對高頻率聲有較為明顯的非共振衰減，隨著氣泡濃度的增加，這種影響更加明顯，所以共振估計法在反演半徑范圍較廣的氣泡群時，得到的小半徑氣泡群數值會高于實際值，即是非共振衰減的影響。

2 共振估計模型的改進

2.1 改進共振估計模型理論推導

為了解決經典共振估計模型在反演高濃度氣泡群時誤差大的問題，我們建立了改進共振估計模型。一方面我們在模型中引入了氣泡間的相互作用，使模型可以適用于對高濃度氣泡群的反演。另一方面將非共振衰減引入聲衰減計算之中，減小了對小半徑區域內氣泡群反演的誤差。

高濃度氣泡群中，氣泡之間的平均間距較小，聲波在氣泡之間會發生多次的散射，文獻[2]中給出了等效入射聲場的表達式：

式中，v是氣泡瞬時的體積變化，b0是氣泡損耗系數，K0是氣泡的勁度常數，m0為氣泡的伴振質量。對（7）式化簡求解可以得到多次散射聲場下的氣泡等效的勁度常數m和伴振質量K，如式（8）、式（9）所示。

式中，α為多方指數，在過程等效為絕熱過程時為1，ωr為不計入相互作用時的氣泡共振角頻率，ω為入射聲的角頻率，R為氣泡的半徑。

進一步通過式（10）可求得在在入射聲頻率為f時半徑為R的氣泡的等效共振頻率f0。理想情況下，氣泡的共振頻率僅與氣泡半徑相關，在考慮了相互作用后，共振頻率成為了氣泡半徑和入射聲頻率的函數，且具有共振頻率展寬的現象：當入射聲頻率低于氣泡共振頻率時，共振頻率向低頻移動；當入射聲頻率高于共振頻率時，向高頻移動。

可以通過數值求解積分的方法，反演聲衰減系數得到氣泡的半徑分布和濃度。

2.2 反演高空隙率氣泡群的仿真計算

為了驗證改進共振估計模型對高濃度氣泡群的反演效果，對水中幾種較為典型常見的氣泡群分布分別做了仿真模擬。氣泡的半徑為10～250 μm，氣泡群的空隙率在 10–2量級，a組氣泡群服從高斯分布，期望 100 μm，標準差為5×10–5；b組氣泡群服從泊松分布，氣泡半徑集中在100 μm；c組氣泡群服從瑞利分布，氣泡半徑集中在50 μm；d組氣泡群服從指數分布，氣泡群主要集中在小半徑區。反演結果如圖3所示。

圖3 反演高空隙率氣泡群的仿真

從圖3中可以看出，雖然在半徑分布的反演上還存在著一些誤差，但是相比于經典共振估計法（圖2）在反演高濃度氣泡群時有了明顯的改進。對于不同的分布，得到的結果都比較好，在小半徑氣泡的反演上沒有出現明顯的失真現象。

2.3 誤差分析

由于氣泡空隙率的反演是由對氣泡半徑分布積分得到，通過空隙率的反演誤差可以近似估計整體氣泡群分布的反演誤差。

對不同濃度下的氣泡群的空隙率反演誤差做了仿真計算，如圖4所示。從圖中可以看出，在氣泡群濃度較低時，兩種模型誤差都較小，當氣泡濃度較高后經典共振估計模型的誤差快速增長嚴重偏離真實值，改進的共振估計模型誤差雖然隨氣泡群濃度增高有所增加但是一直處于較低水平，在10%以下，反演效果較好。

圖4 不同濃度氣泡群的空隙率反演誤差

3 結論

修正后的共振估計模型與經典估計模型相比，在反演較低濃度的氣泡群時，結果相近；在反演高濃度氣泡群時，修正后的共振估計模型大大降低了反演誤差，將共振估計模型的適用范圍從低濃度氣泡群擴展到可以對高濃度氣泡群的反演。

修正后的模型相比于經典估計模型，增加了計算量，運用共振估計模型反演氣泡群時，在濃度較低的情況可以運用經典估計模型；在濃度較高的情況可以運用修正后的模型。本文通過修正擴展了經典模型的適用范圍，這將為氣泡群的反演研究提供一種新的思路和有益參考。