基于凸優化的最佳檢測性能波形設計

周飛

（上海船舶電子設備研究所，上海，201108）

在主動聲吶系統中，發射波形不僅決定了信號的處理方法，而且直接影響著系統在分辨力、參數測量精度、混響抑制和反對抗能力等方面的性能，因此，波形設計成為信號處理中重要的研究方向。常用的聲吶波形主要包括單頻信號、調頻信號和相位編碼信號等。多相編碼信號因具有較大的多普勒容限和較低的自相關旁瓣而備受關注[1]。常見的多相編碼有P3碼序列、P4碼序列、Frank碼序列、Golomb碼序列、Chu碼序列等，其中P3碼由于自身優良的特性在工程中得到了廣泛的應用。目前，主動聲吶在混響下的波形設計和檢測問題主要集中在以下兩個方面：一種是從模糊度函數角度通過理論分析進行波形綜合設計，更多考慮集中在目標的頻率分辨率和時間分辨率上，該方法的缺陷是忽略了信道的影響，在一定的時間帶寬積下很難獲得頻率分辨率和時間分辨率同時最佳的波形。另一種則從發射和接收端聯合考慮，更多的從檢測性能最佳角度出發，考慮分辨率上的約束和要求，也可考慮信道和環境的部分特性。這種方法同時考慮了混響和環境，更接近實際，但存在設計難度大，計算量也大，需要提前知道信號的部分特性等困難，但最佳檢測的效果也非常明顯，本文以第二種方法作為研究的重心。文獻[2]針對已知混響環境下點目標的檢測問題，從理論上分析了在Newman-Person準則下發射波形應該具備的功率譜形狀，同時從最佳檢測的角度討論在已知雜波或者混響的擴展函數的條件下，發射機為達到最佳檢測效果而應該的發射波形。文獻[3]從直接測量功率譜的平方根誤差平方和的角度推導了一個新的代價函數，針對發射波形中對恒模（幅度不變）的要求，找出求解這類發射波形的迭代算法，仿真表明，所設計的波形的功率譜與所要求的功率譜非常接近。

在靜止目標探測中，由于多普勒頻移為零，波形設計評價模糊度函數簡化為自相關函數，在淺水環境或混響占優時，存在主動聲吶即使增加發射功率，仍無法獲得高的檢測概率和目標探測過程中需要同時考慮最佳檢測和參數估計的問題，為此本文提出了PCA-SC算法來進行相位編碼設計，將目標探測過程中的最佳檢測和參數估計同時考慮，把這兩個因素綜合考慮到一個代價函數中，以最大化檢測概率為目標函數，同時施加相似性約束和能量約束，能量約束保證設計編碼為相位編碼，相似性約束保證設計編碼有一定的時域分辨能力（相似性約束中，相似序列一般選用有良好時域分辨能力的相位編碼，本文選擇P3碼），通過調整相似性參數來控制不同因素的比重。

1 方法設計

PCA-SC算法是Antonio De Maio基于凸優化理論提出的一種基于相似性約束的最優化檢測概率的波形設計方法，通過構建了一個最優化數學模型，把時域分辨力和最佳檢測這兩個因素考慮到一個代價函數中，通過約束時間分辨力所希望滿足的最低要求，最大化檢測概率來設計發射波形[4]。

1.1 最優化方法的基本模型

有約束的最優化問題的數學模型：

式中，f(x)為目標函數，ci(x),i=1,2,...,m為約束函數，只要其中一個約束條件是非線性的，則整個問題就是約束非線性優化問題。特別是，如果ci(x)都是線性的約束條件，目標函數f(x)為二次函數，則這樣的問題被稱為二次規劃問題。

1.2 PCA-SC波形優化設計原理

假定干擾矩陣w是一個零均值復循環高斯向量，并已知它的正定協方差矩陣

式中，在對于給定的虛警概率值Pfa，可以得到非波動目標(Non Fluctuate Target，NFT)和波動目標(Fluctuate Target，FT)的檢測概率的解析表達式。對于前者，檢測概率P可表示為[4]：

式中，Q(?,?)表示一階馬庫姆函數。α表示回波幅度（取決于發射幅度、相位、目標反射和信道傳播影響），c表示長度為N的相位編碼，p表示長度為N的多普勒頻移向量，Tr表示脈沖重復時間。具體公式分別為：

上式表明，Pfa給定時，P僅與信噪比SNR有關，SNR的定義如下

對比式（4）和式（5）可以發現，P是隨著SNR增大的函數，因此，P的最大化可以通過最大化下面的二次形式來獲得

由于本文研究了靜止目標的探測問題，fd=0，故。

1.3 PCA-SC波形優化方法

已知協方差矩陣的噪聲環境下，設計發射信號，使得波形具有一定分辨能力的基礎上檢測概率最大的要求就可以用數學簡單的表示為

式中，R為干擾協方差矩陣的倒數。由式（6）得檢測概率的最大化可以通過HcRc的最大化來進行。

第一個約束為相似性約束，第二個約束保證編碼為相位編碼。要求設計的編碼與給定的c0比較接近，而c0具有一定的時域分辨能力，ε∈[0,2]，ε控制著兩個編碼間的距離。顯然，ε越大，設計編碼的自由度就越大，能夠獲得更好的檢測性能。

以上數學模型為凸優化問題，文獻[4]介紹了一種基于松弛隨機化的有效近似算法，取合適的隨機化參數下可以獲得最優解的準確近似解。可以借助Matlab中包含的cvx工具包（內含高速求解內點法SeDuMi），通過優化可以得到算法的全局最優解c。

2 波形設計代價函數與品質因數

離散信號的自相關函數可表示為：

式中,k=0,1,…,N-1，“*”表示復共軛。r（k）,k≠0為離散自相關旁瓣，r（0）為主瓣且等于信號能量。

定義ISL代價函數度量波形時域分辨力優劣：

同時約束在零時刻的自相關rx(0)=N。

從式（10）可以看出，設計序列的ISL代價函數越小，自相關函數旁瓣級越小，所設計波形的時域分辨力越高。

定義品質因數MF：

從式（11）可以看出，ISL矩陣的最小化等價于品質因數MF的最大化。ISL越小即MF越大時，自相關旁瓣所占比例越小，匹配濾波器的距離分辨力越高。

3 計算機仿真與分析

設定PCA-SC算法相似序列為長度為N=128的P3碼，P3碼對瑞利波動目標的檢測概率如實線所示，所設計PCA-SC編碼對瑞利波動目標的檢測概率如圖1虛線所示。假定干擾的協方差矩陣是由延遲為1的自相關系數ρ=0.8指數形式構成的，即

設定虛警概率Pfa的值為10–6，隨機化次數L=20，相似系數ε={0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0}。

仿真1：PCA-SC算法設計編碼檢測概率曲線

圖1給出了瑞利波動目標情況下，PCA-SC編碼的相似序列為P3碼時，相似性系數ε逐漸變小，設計編碼檢測概率隨信噪比變化曲線。從圖1可以直觀看到，相似性系數ε減小，設計編碼和相似編碼越來越相似，算法優化性能越來越差。ε=0時，優化序列的檢測性能與相似序列一致。

表1給出了不同的相似系數ε下PCA-SC算法所設計編碼的檢測概率P值。可以發現，隨相似性系數ε增大，PCA-SC算法對檢測概率的優化性能越來越好。但觀察圖2～圖6，可以發現，隨相似性系數ε增大，歸一化自相關函數圖的旁瓣級越來越高，具體體現在MF逐漸變小（見表2）。PCA-SC編碼方法基本思想是設計一種滿足系統時域最低分辨能力檢測概率最大的發射信號，故PCA-SC算法的優化往往希望有較大的相似性系數ε，因此算法的相似序列一般采用有良好的時域分辨能力的相位編碼（本文采用P3碼），來滿足系統對時域分辨力的最低要求來最大化檢測概率。

圖1 P3碼（實線）和 PCA-SC(P3)(相似序列為相同長度的P3碼)（虛線）的檢測概率P隨信噪比參數的變化曲線

表1 PCA-SC算法所設計編碼檢測概率（P）隨信噪比的變化情況

仿真 2:PCA-SC(P3)和 PCA-SC(CAN(P3))算法設計編碼歸一化自相關函數圖

圖2～圖6是用P3碼作相似序列，相似性系數ε逐漸增大時，使用PCA-SC算法所設計的編碼歸一化自相關函數旁瓣級圖。可以發現，當ε逐漸增大時，直觀的從圖2～圖6上看，PCA-SC(P3)算法所設計編碼的自相關旁瓣級逐漸增大，也就意味著設計編碼的距離分辨力越來越差（MF逐漸變小），表2對 PCA-SC(P3)算法所設計編碼的旁瓣級用品質因子進行了量化，給出了不同ε下MF的具體數值。

表2 PCA-SC(P3)和PCA-SC(CAN(P3))算法所設計編碼的MF

圖2 ε=0時PCA-SC(P3)的歸一化自相關函數

圖3 ε=0.2時PCA-SC(P3)的歸一化自相關函數

圖4 ε=0.4時PCA-SC(P3)的歸一化自相關函數

圖5 ε=0.8時PCA-SC(P3)的歸一化自相關函數

圖6 ε=1.2時PCA-SC(P3)的歸一化自相關函數

仿真3 隨機化次數對于檢測性能的影響

圖7展示了隨機化次數L對檢測性能的影響，可以看出，10次隨機化的曲線和100次的非常接近，也就是說，這個算法具有很迅速的收斂特性。

圖7 隨機化次數對檢測性能的影響(L=[1,10,100,1 000],ε=0.8)

綜上，PCA-SC編碼是一種基于相似性約束最優化檢測概率的波形設計方法，通過約束時間分辨力滿足最低要求，最大化檢測概率來設計發射波形。在實際中，可根據具體需求調節相似性系數，在時域分辨能力和檢測性能之間尋求一個平衡，另外，PCA-SC編碼算法還要求選取適當的隨機化的次數，以提供令人滿意的效果。

4 結論

本文給出了一種在能量和時域分辨力約束下針對隨機目標檢測性能的相位編碼信號設計方法PCA-SC算法。在優化設計過程中，首先定義了衡量隨機目標時域分辨性能的MF，并將之作為重要約束條件來確保目標滿足聲吶系統的時域分辨能力要求。同時，考慮發射信號能量約束條件，采用最大化檢測概率優化準則，利用隨機化方法得到能夠最優逼近全局最優解的相位編碼信號近似解。實驗結果表明，本文所提相位編碼信號設計算法能夠使所設計信號在滿足系統必要時域分辨力的前提下，有效逼近原優化問題的全局最優解，最大化目標的檢測性能。另外，所提相位編碼信號設計算法能夠更好地吻合實際工作場景的需求，具有很大的實際應用價值。