關于加法冪等元半環簇的幾個結果

任苗苗,趙憲鐘

(西北大學數學學院,陜西 西安 710127)

1 引言和預備知識

設 V是一個同型號的代數類,若V對類算子同態像,子代數和直積封閉,則稱其為簇.由Birkho ff定理知一個同型號的代數類是簇當且僅當它是等式類,即,滿足某個恒等式集合的代數的全體.設V是簇,如果存在有限的恒等式集合Σ使得Σ確定的等式類等于V,那么稱V是有限基底的.否則,稱V是非有限基底的.V的有限基底問題是問V是否為有限基底的.該問題也被稱作Tarski基底問題,它是簇的經典問題之一,且是國際上一大批代數學家所熱衷研究的問題.若一個代數生成的簇是有限基底的,則稱其為有限基底的.否則,稱其是非有限基底的.有限群[1],有限環[1]都是有限基底的.然而,有限半群[1]和有限半環[2]未必是有限基底的.

如果一個代數的每個有限生成的子代數是有限的,那么稱該代數是局部有限的.進一步,若簇V的每個成員是局部有限的,則稱V是局部有限的.1902年,Burnside[3]提出如下問題:滿足恒等式xn≈1的群是否為局部有限的?該問題已成為群論中最重要的問題之一,到目前為止還沒有被徹底解決.一般地,一個簇的Burnside問題是問這個簇是否為局部有限的.1952年,Green和Rees[4]證明了恒等式xn≈1確定的群簇和半群簇的Burnside問題是等價的.另一方面,一個簇的限制Burnside問題是問該簇的所有局部有限成員作成的類是否為它的子簇.

在簇的Burnside問題和有限基底問題的研究過程中,遺傳非有限基底的簇發揮著非常重要的作用.具體地說,若一個局部有限的簇滿足條件:包含它的每個局部有限的簇是非有限基底的,則稱這個簇是遺傳非有限基底的.換句話說,一個局部有限的簇是遺傳非有限基底的當且僅當包含它的每個有限基底的簇都不是局部有限的.如果一個代數生成的簇是遺傳非有限基底的,那么稱其是遺傳非有限基底的.從而得到,若一個簇是遺傳非有限基底的,則可以回答一些與之相關的簇的Burnside問題和有限基底問題,即包含這個簇的每個有限基底的簇不是局部有限的,且包含它的每個局部有限簇是非有限基底的.特別地,一個遺傳非有限基底的簇一定是非有限基底的.本文將給出關于加法冪等元半環簇的有限基底問題和Burnside問題的兩個結果.

設(S,+,·)是(2,2)型代數,若加法導出(S,+)是交換半群,乘法導出(S,·)是半群,且(S,+,·)滿足恒等式

則稱(S,+,·)是半環,簡記為S.半環是環和分配格的共同推廣,它在幾何學,理論計算機科學和信息科學領域有著廣泛的應用.若半環滿足恒等式x+x≈x,則稱其為加法冪等元半環,也被稱作半格序半群.分配格,半群的冪半環,集合上的二元關系半環,max-plus代數以及半格的自同態半環都是加法冪等元半環.反之,每個加法冪等元半環可嵌入到某個半格的自同態半環中.為了方便敘述,引入下列符號:設m和n是正整數,且m

在過去的20年中,國際上關于加法冪等元半環簇的研究是相當活躍的.1978年,McKenzie和Romanowska[5]證明了Sr(2,1)的滿足恒等式xy≈yx的子簇都是有限基底的.本世紀初,Zhao,Guo和Shum[6]證明了Sr(2,1)的與格林關系相關的一些子簇是有限基底的.在此基礎上,2005年,Pastijn,Zhao和Ghosh[7-8]證明了Sr(2,1)的每個子簇是有限基底的.2017年,Ren,Zhao和 Wang[9]證明了 Sr(3,1)的每個子簇是有限基底的.此外,Gajdo和 M.Kuil[10]證明了當m≥2時,Sr(n,m)不是局部有限的;Sr(n,1)是局部有限的當且僅當G(n,1)是局部有限的,從而表明了群簇G(n,1)的Burnside問題與加法冪等元半環簇Sr(n,1)的Burnside問題是等價的.

2 主要結果

命題 2.1設S是加法冪等元半環,則S是局部有限的當且僅當(S,·)是局部有限的.

證明設A是S的任意非空子集,分別表示S的由A生成的子半環和(S,·)的由A生成的子半群.由于中的每個元素可表示為A中有限個元素的乘積,且S的乘法對加法滿足左右分配律,容易驗證,

由命題2.1知一個加法冪等元半環的Burnside問題和它的乘法導出的Burnside問題是等價的.由文獻[1](定理1.4.37)得到了一般的局部有限簇是遺傳非有限基底的一個充分必要條件,即下列結果:

命題2.2設V是局部有限的加法冪等元半環簇或半群簇,則V是遺傳非有限基底的當且僅當對于任意的n≥1,存在有限生成的無限代數An使得An的每個n-生成子代數是V的成員.

定理2.1設S是局部有限的加法冪等元半環,若S是遺傳非有限基底的,則(S,·)是遺傳非有限基底的.

證明設 W 表示半環S生成的加法冪等元半環簇,Ws表示半群(S,·)生成的半群簇.若S是遺傳非有限基底的,則由定義知W是遺傳非有限基底的半環簇.進一步,由命題2.2知對于任意的n≥1,存在有限生成的無限加法冪等元半環An使得An的每個n-生成子半環是W的成員.設Bn是An的任意有限生成元集,即.則由命題2.1的證明知的每個n-生成子半群是W的某個成員的乘法導出的子半群.由于W的每個成員的乘法導出是Ws的成員,可得的每個n-生成子半群是Ws的成員,且由命題2.1的證明知是有限生成的無限半群.再次利用命題2.2可得Ws是遺傳非有限基底的,由定義知(S,·)是遺傳非有限基底的.

定理2.1的逆命題是否成立是未知的,目前文獻中尚未有刻畫遺傳非有限基底的加法冪等元半環簇的結果.另一方面,定理2.1,若一個法冪等元半環的乘法導出不是遺傳非有限基底的,則該半環不是遺傳非有限基底的.又由文獻[11]的主要結果可得,階數小于6的半群都不是有限基底的,這蘊含著它們都不是遺傳非有限基底的.從而得到一個有限遺傳非有限基底的加法冪等元半環的階數大于7,即下列結果成立:

推論2.1階數小于6的加法冪等元半環都不是遺傳非有限基底的.

然而,階數小于6的加法冪等元半環的有限基底問題尚未被解決.特別地,到目前為止還沒有發現階數小于6的非有限基底的加法冪等元半環.因此,系統地研究小階加法冪等元半環的有限基底問題是非常有必要的,這是后續工作的一個方向.眾所周知,Zimin字在字的組合理論和半群簇的研究中發揮了非常重要的作用.具體地說,稱如下歸納定義的字Zn為Zimin字:

由文獻[1](定理3.6.34)知有限半群S是遺傳非有限基底的當且僅當對于任意的n,S不滿足非平凡的恒等式Zn≈W.設T是Sr(n,1)中的任意有限成員,則(T,·)滿足非平凡的恒等式.由上述結論得半群(T,·)不是遺傳非有限基底的.進一步,利用定理2.1可得半環T不是遺傳非有限基底的.由此得到下列推論:

推論2.2Sr(n,1)中的任意有限成員都不是遺傳非有限基底的.

接下來將肯定地回答Sr(n,1)的限制Burnside問題.為此,需要文獻[12](定理1),即下面的結果:

引理2.1設V是有限基底的半群周期簇,則存在遞歸函數f(k)是V中所有k-生成有限半群的基數的上界當且僅當V中所有的nil-半群是局部有限的.

定理2.2Sr(n,1)的所有局部有限成員的類作成簇.

證明由文獻[1](問題3.10.4)可得,一個有限基底的簇V的所有局部有限成員的類作成簇當且僅當對于任意的k≥1,V中所有k-生成有限代數的基數存在上界.注意到Sr(n,1)是有限基底的.因此,為了證明Sr(n,1)的所有局部有限成員的類作成簇,僅需要表明對于任意的k≥1，Sr(n,1)中所有k-生成有限代數的基數存在上界.設是Sr(n,1)中任意k-生成有限半環,則由命題2.1的證明知是Sg(n,1)中k-生成有限半群,且

由于Sg(n,1)是有限基底的半群周期簇,且它中的每個nil-半群是平凡半群,利用引理2.1得存在遞歸函數f(k)是Sg(n,1)中所有k-生成有限半群的基數的上界.這蘊含著

進一步,利用(1)式可得

這表明2f(k)是Sr(n,1)中所有k-生成有限代數的基數的上界.由此說明Sr(n,1)的所有局部有限成員的類作成簇.

最后,將給出參考文獻[10](定理2.4)的一個簡潔證明.

定理2.3下列命題是等價的:

(a)加法冪等元半環簇Sr(n,1)是局部有限的;

(b)半群簇Sg(n,1)是局部有限的;

(c)群簇G(n,1)是局部有限的.

證明(a)?(c).假設群簇G(n,1)不是局部有限的.則在G(n,1)中存在一個有限生成的無限群G.進一步,半群(G0,·)不是局部有限的.在集合G0上按如下方式定義加法運算:

容易驗證,(G0,+,·)是 Sr(n,1)中的成員,且不是局部有限的.從而得到Sr(n,1)不是局部有限的,這與已知條件矛盾.故G(n,1)是局部有限的.

(c)?(b).由文獻[5]的主要結果可以得到.

(b)?(a).設S是半環簇 Sr(n,1)的任意成員,則(S,·)是半群簇 Sg(n,1)中的半群.由(b)知半群(S,·)是局部有限的.進一步,由命題2.1可得半環S是局部有限的.故Sr(n,1)是局部有限的.