帶交叉擴散與自擴散項的捕食-食餌模型正解的局部分歧

容躍堂

(西安工程大學理學院,陜西 西安 710048)

1 引言

用建立微分方程模型的方法來研究生物數學中物種的動力學行為已經非常普遍,并且學者們在這方面的研究也得到了許多不錯的成果[1-7].文獻 [1]中,作者提出并研究了如下的Variable-Territory捕食-食餌模型:

這里,關于模型(1)的生物學意義可參考文獻[2-3].

由于實際上物種在空間分布上是不均勻的,且這一因素很可能會影響系統的生態動力學行為,因此文獻[4]在上述模型基礎上考慮了擴散項,研究了模型:在Dirichlet邊值條件下的平衡正解的存在性及穩定性.

考慮到種群間的相互影響在種群擴散中所起到的重要作用,文獻[8]在模型(2)的基礎上再研究帶有交叉擴散項的情形,即模型

在交叉擴散項影響下的局部分歧.模型中,?為有界開區域,??Rn,且邊界光滑,食餌和捕食者的種群密度分別是u,v,參數a,b,c,d,α,β均為正常數.

本文討論在交叉擴散和自擴散項影響下的局部分歧.討論模型

對應的平衡態方程為:

取

由于

因而(u,v)≥0與(U,V)≥0之間一一對應.下面主要研究模型(5)的等價半線性橢圓系統:

那么X也為Banach空間,

那么由文獻[9]知,問題(7)的特征值λ1(p,q)是簡單函數,且滿足

同時還有?1,?2,···是它們的對應特征函數.此外,λ1(p,q)隨p和q(x)的遞增而遞增,即λ1(p,q)是嚴格單調遞增函數.這里取λi(1,q)為λi(q),且

討論邊值問題

2 解的估計

引理2.1[9]如果a≤λ1,則u=0是問題(8)的唯一非負解,若a>λ1,那么問題(8)有唯一正解為θa.即當a>λ1時,問題(5)有半平凡解(θa,0);若a≤λ1,問題(5)不存在正解.若a>λ1,則問題(6)有半平凡解,此處

定理2.1假如a>λ1,問題(6)有任意正解(U,V),那么?x∈?,

證明若?x0∈?,滿足

且

故

同理可得,若?x1∈?,滿足

則得

因此,

又(u,v)與(U,V)一一對應,因此定理得證.

3 解的分歧

引理3.1[10]取

若a>λ1,則L(a)可逆.

引理3.2[11]假如d>λ1,同時m3d>c,那么就

對于d是嚴格單調遞增的,

且?ψ?≥0滿足

下面,給出全局分歧解的存在性條件.

定理3.1假如a>λ1,d>λ1,m3d?c>0,那么問題(6)有分歧點,且在該點鄰域內有正解

a?由

惟一確定,(a(s);Φ1(s),Ψ1(s))是C1連續函數,

且有

證明取

其中

由

得

由于

可化為

當ψ≡0時,由算子L(a?)可逆推出φ≡0,反證法得ψ不恒為零,由引理3.2知,

從而

算子L(a?;0,0)有核空間

且

取L(a?;0,0) 的自伴算子L?(a?;0,0),則

再根據Fredholm選擇公理得,

于是

取

下面證明

成立.用反證法假設?(h,k)∈X,滿足

可得

從而

上式兩邊同乘以ψ?并分部積分得

因為m3d?c>0,θa是嚴格單點遞增函數,故上式左端大于0,與假設矛盾.故?δ>0和連續曲線

滿足

同時有 Φ1(s)Ψ1(s)∈Z滿足

最后因為

所以局部分歧正解Γ?存在.