立方晶體外延應(yīng)變薄膜穩(wěn)定性分析

周旺民

(浙江工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,浙江 杭州 310023)

1 引言

在襯底與外延薄膜的晶格錯(cuò)配體系中,應(yīng)變膜的生長對(duì)制備半導(dǎo)體和光電器件非常重要.晶格錯(cuò)配在沉積的膜中產(chǎn)生了應(yīng)變,導(dǎo)致薄膜不穩(wěn)定性―不利于平面膜的生長.應(yīng)變膜可以通過引入位錯(cuò)或在膜表面經(jīng)由擴(kuò)散形成共格波紋或島(無位錯(cuò))來弛豫.這些共格波紋或島可以自組織形成周期排列,作為量子線或量子點(diǎn)結(jié)構(gòu).因此認(rèn)識(shí)和預(yù)測(cè)應(yīng)變薄膜的演化對(duì)改進(jìn)半導(dǎo)體器件的制備非常必要.

由于在膜中引入位錯(cuò)存在能障,所以薄膜的初期生長往往出現(xiàn)共格波紋或島狀.在島棱邊較大應(yīng)力提供了位錯(cuò)形成的路徑,故一旦島體積達(dá)到一臨界體積才會(huì)在島棱邊出現(xiàn)位錯(cuò)[1].實(shí)驗(yàn)上已觀測(cè)到,在膜厚小于一定厚度時(shí),無位錯(cuò)的平模對(duì)于擾動(dòng)是穩(wěn)定的,而較厚的膜是不穩(wěn)定的[2-10].眾多實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),在薄膜的初期演化中沒有位錯(cuò)出現(xiàn)[1-10],因而本文僅考慮無位錯(cuò)薄膜.

Asaro和Tiller[11]首先研究了初始平面系統(tǒng)的不穩(wěn)定性,隨后Grinfeld和其他作者[12-16]更詳細(xì)地討論了這個(gè)問題.這些工作假定薄膜與襯底是各向同性彈性材料,且具有相同的彈性常數(shù).Springholz與Pei等人[17-19]在自組裝量子點(diǎn)超晶格結(jié)構(gòu)中研究了彈性各向同性與各向異性材料的特征差異,表明彈性各向異性強(qiáng)烈影響外延系統(tǒng)的應(yīng)變、應(yīng)力與應(yīng)變能密度分布,以及異質(zhì)外延過程中的自組裝性與自有序性.因此,研究彈性各向異性對(duì)外延應(yīng)變薄膜不穩(wěn)定性的影響很有必要.

本文研究了立方晶體異質(zhì)外延體系,進(jìn)行了由外延膜與襯底材料之間的晶格錯(cuò)配引起的彈性場(chǎng)的線性分析,著重分析了材料的彈性各向異性對(duì)外延應(yīng)變薄膜不穩(wěn)定性的影響.

2 問題概述

應(yīng)用彈性理論考慮一襯底上薄膜的擾動(dòng)(如圖1所示).

圖1 襯底上薄膜擾動(dòng)示意圖

膜與襯底之間的晶格錯(cuò)配εm在膜中產(chǎn)生了應(yīng)變?chǔ)?假設(shè)襯底與薄膜材料是立方晶系彈性各向異性,具有相同的彈性常數(shù)C11,C12與C44.度量材料彈性各向異性通常由各向異性率R=2C44/(C11?C12)表征,其中R=1.0表示彈性各向同性.它大體等于沿方向的Young模量與沿方向的Young模量之比[20].膜與襯底的R值可以不同,然而,這里使用相同的R值以便于清晰地觀測(cè)彈性各向異性效應(yīng).這種處理也是由于在已觀測(cè)到的量子點(diǎn)結(jié)構(gòu)中,例如Ge/Si,InAs/GaAs和PbSe/PbTe等,膜與襯底的R值是非常接近的.膜表面位于y=h(x,t),整個(gè)膜材料處于y>0區(qū)域,襯底占據(jù)y<0區(qū)域,膜―襯底界面為y=0.整個(gè)系統(tǒng)在z方向是不變的,所有的量在z方向都是以單位寬度來計(jì)算,即把系統(tǒng)看成是平面應(yīng)變狀態(tài).因此,所有應(yīng)變?cè)趜方向的分量等于零,即

假定膜與襯底材料之間沒有混合,這樣在參考態(tài)(對(duì)應(yīng)于厚度為的平膜完全共格于襯底上)就存在初始平衡應(yīng)力

那么在擾動(dòng)態(tài),總應(yīng)力σij是初始應(yīng)力與由表面擾動(dòng)引起的應(yīng)力之和,即

現(xiàn)在簡(jiǎn)要敘述確定系統(tǒng)平衡應(yīng)力與應(yīng)變的方程.應(yīng)力―應(yīng)變關(guān)系為

不計(jì)體力的力學(xué)平衡方程是

由于應(yīng)變?chǔ)舏j不是獨(dú)立的,而是與彈性體的位移有關(guān),所以它們須滿足相容性方程

對(duì)于我們研究的系統(tǒng),相容性方程可以簡(jiǎn)化為

邊界條件如下:

這里n是外法線方向.由方程(2)-方程(6),完全可確定平衡應(yīng)力與應(yīng)變.

假設(shè)表面擴(kuò)散支配著質(zhì)量輸運(yùn)機(jī)理.化學(xué)勢(shì)梯度產(chǎn)生表面原子遷移,其平均速度v由Nernst-Einstein關(guān)系給出:

其中Ds是表面擴(kuò)散系數(shù),s是弧長,T是溫度,kB是Boltzmann常數(shù),χ是表面化學(xué)勢(shì),其表達(dá)式為[11]:

它是固體表面增加一個(gè)原子,自由能的增量.U是表面應(yīng)變能密度,Us是表面能密度,k是表面平均曲率,?是原子體積.取由原子遷移引起的表面流散度,得到表面運(yùn)動(dòng)方程[21]:

其中η是固體表面每單位面積上的原子數(shù).

3 彈性場(chǎng)計(jì)算

在本節(jié)及以后各節(jié),進(jìn)行波長λ,幅度δ的表面余弦擾動(dòng)的線性穩(wěn)定性分析,即尋求膜平均厚度為,表面形貌為形式

方程(9)的一階δ近似解.

為了計(jì)算應(yīng)力與應(yīng)變,考慮到擾動(dòng)形貌與邊界條件,取如下形式的應(yīng)力函數(shù):

其中f(y)是待定函數(shù).那么,擾動(dòng)態(tài)應(yīng)力可以表示為

把(11)式代入方程(5),得到

方程(12)有特征根

對(duì)大多數(shù)半導(dǎo)體材料,

當(dāng)R≤1,

當(dāng)R>1,

情形1各向異性率R<1.

當(dāng)R<1,并考慮到條件σij→0(y→?∞),那么,方程(12)的解可表示為:

其中

c1,2是待定常數(shù).由方程(11),得到應(yīng)力

在表面y=h(x,t)上,應(yīng)用邊界條件

其中

精確到一階δ,得到

這樣由方程(14)-方程(17),就可得到所有的應(yīng)力.

情形2各向異性率R>1.

其中常數(shù)

情形3各向同性R=1.

令R→1,上述情形1與情形2的結(jié)果就轉(zhuǎn)化為彈性各向同性的結(jié)果,此時(shí)擾動(dòng)應(yīng)力如下:

本節(jié)結(jié)果表明,擾動(dòng)應(yīng)力正比于晶格錯(cuò)配εm與擾動(dòng)幅度δ,而隨波長λ與各向異性率R的增加而下降.

4 線性穩(wěn)定性分析

由方程(14)-方程(23),精確到一階δ,得到擾動(dòng)態(tài)在表面上的總應(yīng)力

其中

表面應(yīng)變能密度為

這里

是參考態(tài)膜中的應(yīng)變能密度.對(duì)于彈性各向同性R=1,

可用Young模量E與Poisson比v表示.

忽略δ的二階及以上高階項(xiàng),表面曲率為

由方程(8),表面化學(xué)勢(shì)為

由方程(9),得到擾動(dòng)幅度須滿足的方程如下:

求解方程(29),得到

其中δ0是初始擾動(dòng)幅度.方程(29)和方程(30)表明,如果

擾動(dòng)幅度δ隨時(shí)間t的增加而增加;如果

擾動(dòng)幅度隨時(shí)間t的增加而下降.前者意味著當(dāng)擾動(dòng)波長

平膜對(duì)于擾動(dòng)是不穩(wěn)定的.而后者則意味著當(dāng)擾動(dòng)波長

平膜對(duì)于擾動(dòng)是穩(wěn)定的.因此,表征對(duì)于擾動(dòng)平膜是否穩(wěn)定的臨界擾動(dòng)波長是

圖2 臨界擾動(dòng)波長λcr隨各向異性率R的變化曲線

對(duì)于Si襯底(001)上合金膜SiGe,各向異性率R=1.6,相應(yīng)的臨界擾動(dòng)波長

這與實(shí)驗(yàn)觀察到的數(shù)據(jù)基本一致[22].

5 討論與總結(jié)

本文進(jìn)行了立方晶體外延應(yīng)變薄膜彈性場(chǎng)與穩(wěn)定性的線性分析.根據(jù)擾動(dòng)態(tài)表面應(yīng)力的表達(dá)式(24)-(26),可以看到,擾動(dòng)表面的谷是高應(yīng)力區(qū),相應(yīng)地具有較大化學(xué)勢(shì),而擾動(dòng)表面的峰是低應(yīng)力區(qū),相應(yīng)地有較小化學(xué)勢(shì),因此,谷區(qū)中的原子趨于離開該區(qū)域,移動(dòng)到峰區(qū),增大了擾動(dòng)幅度.但是,表面能的作用是降低表面曲率,因而降低了擾動(dòng)幅度.因此表面應(yīng)力與表面能的平衡是臨界穩(wěn)定條件,正如(31)式所示.

擾動(dòng)幅度一階近似的合理性已被Freund[23]應(yīng)用數(shù)值有限元法所證明:這種方法在δ/λ具有高達(dá)0.1階都是可靠的.異質(zhì)外延生長的不穩(wěn)定性已被實(shí)驗(yàn)證實(shí),其可以由本文敘述的機(jī)理來解釋.然而,理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確比較往往不可能,原因在于熱力學(xué)表面性能,一般情況下并不知道,如表面能密度Us等.